Apuntes 1

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Funciones de varias variables
Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios
Sección 3
Apuntes #1
Ultima actualización: 17 de marzo de 2020
1. Introducción
2
1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Introducción
• Una gran cantidad de problemas en economía y negocios requiere
funciones de más de una variable
Ejemplos:
• La demanda por Coca Cola suele depender no solo del precio de la
Coca Cola, pero también del precio de otras bebidas similares
• La producción de una empresa depende no solo de la cantidad de
trabajadores empleados, pero también del capital físico disponible
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Definición: funciones de varias variables
Definición
Una función f de n variables con dominio D es una regla que asigna un
número f (x) a cada uno de los vectores x de dimensión n contenidos en
D.
• El dominio representa todos puntos (vectores) a los cuales f asigna un
valor
• Si una función está definida por una fórmula y no se especifica su
dominio, entonces el dominio se entiende que es el conjunto de todos
los vectores en que la expresión dada está bien definida
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Ejercicios: Dominio
Ejercicios cortos
1 ¿Cual es el dominio de f (x ,y) =
√
x −1+√y ?
2 ¿Y de f (x1,x2) = ln(x1) + ln(x2)?
3 Suponga que f (x1,x2) representa la cantidad producida por una
empresa cuando usa x1 unidades de trabajo y x2 unidades de capital.
¿Cual debería ser el dominio de f ?
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Ejemplos de funciones multivariables
• Función de demanda: nos dice la cantidad demandada como función
del precio del bien o servicio y del ingreso (y precios de otros bienes u
otras variables relevantes)
xd = 100 Ipx
• Función de utilidad esperada media-varianza: nivel de utilidad
“esperada” como función del retorno esperado y la varianza de los
retornos de una inversión
UE = retorno esperado− 12varianza
• Funciones de utilidad: nivel de utilidad alcanzado al consumir una
cierta combinación de bienes y servicios
U = F (peras, manzanas)
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Funciones de varias variables: notación
• Muchas veces escribimos expresiones como:
f : D ⊂ Rn→ R
• Esto se lee como: “f es una función de n variables con dominio D”
• Si n = 2 decimos que la función es bivariada
• En general, cuando n > 1 decimos que la función es multivariable
• As veces, cuando D es un conjunto conocido, escribimos simplemente
f : D→ R
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Rango de una función
• El rango/imagen/recorrido de la función es el conjunto de todos los
valores que f puede tomar:
rango = {z : f (x) = z para algún x ∈ D}
• La expresión arriba se lee cómo: “el rango es el conjunto de todos
números reales z tales que f (x) = z para algún x que pertenece al
conjunto D”
• Otra manera de representar el mismo conjunto es
rango = {f (x)|x ∈ D}
• Cuando sabemos de antemano que el rango de una función no son
números reales pero un subconjunto I ⊂ R podemos escribir
f : D ⊂ Rn→ I
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Ejercicios: Rango
Ejercicios cortos
1 ¿Cual es el rango de f (x ,y) =
√
x −1+√y?
2 ¿Y de f (x ,y) = ln(x) + ln(y)?
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
2. Gráficos y curvas de nivel
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Gráfico de función bivariada
−2 −1 0 1 2−2
0
2
0
0,5
1
x
y
f(
x,
y)
Gráfico de f (x ,y) = e−x2−y2+xy
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Mapa de calor función bivariada
−2 −1 0 1 2−2
−1
0
1
2
x
y
Mapa de calor de f (x ,y) = e−x2−y2+xy
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
• El mapa de calor asigna diferentes colores en el plan (x ,y) a depender
del valor de la función f
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Curvas de nivel
• La curva de nivel c de una función bivariada f (x ,y) son todos los
pares (x ,y) que satisfacen la ecuación f (x ,y) = c
−2 −1 0 1 2−2
0
2
0
0,5
1
x
y
f(
x,
y)
Gráfico de f (x ,y) = exp(−x2− y2 + xy)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
0
0,5
1
x
y
f(
x,
y)
Recorte en f (x ,y) = exp(−x2− y2 + xy)
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Curvas de nivel
0,9 0,5
0,5
0,5
0,5
0,
2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,
2
−1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5
−1
0
1
x
y
Curvas de nivel de f (x ,y) = e−x2−y2+xy
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Ejercicios: Curvas de nivel
Ejercicios cortos
1 Dibuje tres curvas de nivel de f (x ,y) =−x2− y2.
2 Dibuje algunas curvas de nivel de la función representada abajo.
−4 −2 0 2 4 −5
0
5−20
0
20
x
y
f(
x,
y)
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Ejercicio: Curvas de nivel y el problema del
consumidor
Ejercicio
Un agente deriva utilidad de consumir manzanas y pera. Su función utilidad
u : R+→ R es u(x ,y) = ln(x) + ln(y), donde y representa la cantidad
consumida de manzanas y x representa la cantidad consumida de peras. Algunas
curvas de nivel de la función u(x ,y) están representadas en el gráfico abajo.
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
y
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Ejercicio (cont’d)
Este agente tiene una renta de 20 pesos que debe decidir como gastar entre
peras y manzanas. El precio de la manzana es 2 y de la pera es 1.
1 Escriba una función g(x ,y) que representa el gasto total del agente como
función de la cantidad consumida de cada bien.
2 Dibuje las curvas de nivel 20 de la función g(x ,y).
3 Usando las curvas de nivel de u(x ,y) y la curva de nivel 20 de g(x ,y),
represente en el plano (x ,y) la cantidad consumida de cada bien que
maximiza la utilidad del agente.
4 Suponga ahora que el precio de la manzana sube de 2 para 4. ¿Que pasa
con la cantidad consumida de peras? Represente en un gráfico como el del
ítem anterior la cantidad optima consumida de cada bien antes y después
del cambio en el precio de la manzana.
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Ejercicio: Curvas de nivel y pobreza
Ejercicio
El gráfico abajo (retirado de Jensen y Miller 2008, “Giffen Behavior and Subsistence
Consumption”, AER) representa curvas de nivel de una función utilidad (panel
izquierdo) y además restricciones presupuestarias (panel derecho). ¿Cual la economía
por de tras de este gráfico? ¿Que mensaje quiere pasar?
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
3. Derivadas parciales
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Derivadas parciales (funciones bivariadas)
Definición (Derivadas parciales, 2 variables)
Sea z = f (x ,y). Entonces:
• La derivada parcial de z con respecto a x , denotada por ∂z∂x , es la
derivada de f (x ,y) con respecto a x , manteniendo y constante.
• La derivada parcial de z con respecto a y , denotada por ∂z∂y , es la
derivada de f (x ,y) con respecto a y , manteniendo x constante.
• Formalmente:
∂f (x ,y)
∂x = ĺımh→0
f (x +h,y)− f (x ,y)
h
∂f (x ,y)
∂y = ĺımh→0
f (x ,y +h)− f (x ,y)
h
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Derivadas parciales: Aproximación de cam-
bios discretos
• Para un ponto (x0,y0) la derivada parcial aproxima los siguientes
cambios discretos de z = f (x ,y):
∂f (x0,y0)
∂x ≈ f (x0 +1,y0)− f (x0,y0)︸ ︷︷ ︸
∆z cuando x sube 1 unidad
∂f (x0,y0)
∂y ≈ f (x0,y0 +1)− f (x0,y0)︸ ︷︷ ︸
∆z cuando y sube 1 unidad
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Derivadas parciales: Intuición geométrica
x0 y0x
y
z
pendiente en dirección de x
∂f (x0,y0)
∂x
(x0, y0)
x0 y0x
y
z
pendiente en dirección de y
∂f (x0,y0)
∂y
(x0, y0)
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parcialesPlanos tangentes
• Cuando tenemos una función de una variable y = f (x), la recta la
recta tangente a f (·) en el punto x0 es:
y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)
f (x)
(x0, f (x0))
recta tangente
x
y
• Si tenemos una función de dos variables z = f (x ,y), el plano tangente
a f en el punto (x0,y0) es
z = f (x0,y0) +
∂f (x0,y0)
∂x · (x − x0) +
∂f (x0,y0)
∂y · (y − y0)
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Planos tangentes
−1
0
1 −1
0
1
0
1
recta tangente
en dirección de x
recta tangente
en dirección de y
x
y
z
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Planos tangentes
−1
0
1 −1
0
1
0
1
recta tangente
en dirección de x
recta tangente
en dirección de y
x
y
z
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Derivadas parciales (funciones con dos o
mas variables)
Definición (Derivadas parciales, n variables)
Sea y = f (x1,x2,x3, . . . ,xn), entonces ∂y∂xi es la derivada parcial de
f (x1,x2,x3, . . . ,xn) con respecto a xi manteniendo todas las otras
variables xj , (j 6= i) constantes.
• Notación:
∂y
∂xi
,
∂f (x1,x2)
∂xi
,
∂f
∂xi
, f ′xi (x1,x2) o fxi (x1,x2) , f
′
xi , fi (x1,x2)
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
• Para una función f (x1,x2,x3, . . . ,xn) las funciones ∂y∂xi son las
derivadas parciales de primer orden
• En general las funciones ∂y∂xi son también funciones de x1,x2,x3, ...,xn,
por lo que también podemos encontrar sus derivadas, si existen
• Las derivadas parciales de segundo orden se representan como
∂
∂xi
(
∂f
∂xi
)
= ∂
2f
∂x2i
= fxixi
∂
∂xi
(
∂f
∂xj
)
= ∂
2f
∂xi∂xj
= fxixj
• Las derivadas de segundo orden que toman dos variables distintas xi y
xj se conocen como derivadas cruzadas
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Teorema de Young
Teorema (Young)
Supongamos que dos derivadas parciales de orden m de la función
f (x1,x2,x3, . . . ,xn) se han obtenido con el mismo número de derivaciones
respecto de cada una de las variables y son continuas en un conjunto
abierto S. Entonces las dos derivadas parciales son iguales en todo punto
de S.
• Suponga u(x1,x2) representa la función utilidad de dos bienes 1 y 2 (y
satisface las condiciones del Teorema)
• ∂u
∂x1 y
∂u
∂x2 representan la utilidad marginal de bien 1 y 2,
respectivamente
• El teorema de Young nos dice que el efecto que un aumento en x1
tiene sobre la utilidad marginal del bien 2 es igual al efecto que un
aumento en x2 tiene sobre la utilidad marginal del bien 1
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Teorema de Young
• Usemos la notación f ′′ij para la derivada de segundo orden de f (·) con
respecto a xi y xj
• La matriz Hessiana corresponde a
f ′′11 f ′′12 . . . f ′′1n
f ′′21 f ′′22 . . . f ′′2n
...
... . . .
...
f ′′n1 f ′′n2 . . . f ′′nn

• Dado el teorema de Young, la matriz Hessiana es simétrica
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Teorema de Young: Bosquejo de la prueba
• Considere una función f (x ,y)
• Sea A, B, C y D los vectores representados abajo:
A B
CD
h
h
x
y
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Teorema de Young: Bosquejo de la prueba
(cont’d)
• Entonces, para h ≈ 0:
fxy (A)≈
1
h (fx (D)− fx (A))
≈ 1h
[
f (C)− f (D)
h −
f (B)− f (A)
h
]
= 1
h2
[f (C)− f (D) + f (A)− f (B)]
fyx (A)≈
1
h (fy (B)− fy (A))
≈ 1h
[
f (C)− f (B)
h −
f (D)− f (A)
h
]
= 1
h2
[f (C)− f (B) + f (A)− f (D)]
• Luego fxy (A)≈ fyx (A)
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Ejercicio: Derivadas parciales
Ejercicio
Una función de producción en general relaciona la cantidad producida en una
economía (Y ) con la cantidad de capital (K) y trabajo (L) utilizadas. Una
función de producción mucho utilizada en economía es Y = f (K ,L) = AKαLβ ,
donde A, α y β son parámetros positivos.
1 Encuentre la función que describe la productividad marginal del trabajo.
2 Encuentre la función que describe la productividad marginal del capital.
3 ¿Que pasa con la productividad marginal del trabajo cuando aumenta la
cantidad de capital utilizada?
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
Ejercicio (cont’d)
En lo que sigue, suponga que β = 1−α > 0.
4 En mercados competitivos, la remuneración por unidad de trabajo (salarios)
y capital es igual a la productividad marginal de cada uno de los factores.
Una tendencia observada en muchos países es que la remuneración del
trabajo como proporción de la remuneración total de los factores ha caído,
como ilustrado en el gráfico abajo para la economía de EE.UU.
¿La función de producción Cobb-Douglas propuesta es consistente con esta
tendencia?
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1. Introducción 2. Gráficos y curvas de nivel 3. Derivadas parciales
	Introducción
	Gráficos y curvas de nivel
	Derivadas parciales