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Funciones homogéneas y homotéticas Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios Sección 3 Apuntes #3 Ultima actualización: 26 de marzo de 2020 1. Introducción 2 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Introducción Hoy estudiaremos dos tipos de clases de funciones muy importantes en economía: 1 Funciones homogéneas 2 Funciones homotéticas 3 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas 2. Funciones homogéneas 4 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Funciones homogéneas: motivación • Considere una empresa con función de producción Y = F (K ,L) • Supongamos que esta empresa duplica la cantidad de trabajo y capital • ¿Cuanto cambia la producción? • Si la producción mas que duplica decimos que hay retornos crecientes de escala • Si la producción menos que duplica decimos que hay retornos decrecientes de escala • Si la producción duplica decimos que hay retornos constantes de escala • Que tipo de función podemos usar para modelar economías con retornos crecientes, constantes o decrecientes de escala? 5 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Funciones homogéneas Definición Dado un escalar k, decimos que una función f (x1,x2, ...,xn) es homogénea de grado k si f (tx1, tx2..., txn) = tk f (tx1, tx2..., txn), para todo x1, ...,xn y t > 0. • En el ejemplo de la función de producción: • homogénea de grado k > 1: retornos crecientes de escala • homogénea de grado k < 1 : retornos decrecientes de escala • homogénea de grado k = 1: retornos constantes de escala 6 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Ejercicios: Funciones homogéneas Ejercicios (pos clase) 1 Sea f (x1,x2,x3) = axk11 x k2 2 x k3 3 . Verifique que f (·) es homogénea de grado k = k1 +k2 +k3. 2 Sea f (x1,x2,x3) = axk11 x k2 2 x k3 3 y g(x1,x2,x3) = bx m1 1 x m2 2 x m3 3 , donde m ≡m1 +m2 +m3 = k1 +k2 +k3. Verifique que h(x1,x2,x3) = f (x1,x2,x3)+g(x1,x2,x3) es homogénea de grado m. 3 Verifique que f (x1,x2) = x21 x42 + x51 x12 es homogénea de grado 6. 4 Verifique que f (x1,x2) = x21 x72 + x1x52 no es homogénea. 7 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Ejercicios: Funciones homogéneas y el pro- blema del consumidor Ejercicio corto Considere el problema del consumidor usual, donde el consumidor maximiza su utilidad u(x ,y) sujeto a restricción presupuestaria pxx +pyy = I. Denote por D(px ,py , I) la cantidad optima demandada por esto consumidor, como función de los precios y de su ingreso (o sea, D(·) es la función de demanda). ¿D(px ,py , I) es una función homogénea? 8 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Funciones homogéneas: Propiedades • Ahora vamos discutir algunas propiedades frecuentemente usadas en economía • ¿Que otras propiedades útiles tienen las funciones homogéneas? • ¿Que podemos decir sobre sus curvas de nivel? 9 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Propiedad 1: Derivadas parciales Teorema Sea f (x1, ...,xn) una función con derivadas parciales continuas y definida en un cono abierto. Si f es homogénea de grado k, entonces sus derivadas parciales de primera orden son funciones homogéneas de grado k−1. Demostración: • Si f es homogénea de grado k, para todo t > 0 f (tx1, ..., txn) = tk f (x1, ...,xn) • Sacando la derivada parcial con respecto a algún xi de los lados de la expresión arriba: ∂f ∂xi (tx1, ..., txn) · t = tk ∂f ∂xi (x1, ...,xn) ∂f ∂xi (tx1, ..., txn) = tk−1 ∂f ∂xi (x1, ...,xn) 10 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Propiedad 2: TMS Teorema Sea f (x1,x2) una función definida en R2+ con derivadas parciales continuas. Si f es homogénea (de cualquier grado), entonces la pendiente de sus curvas de nivel son constante a lo largo de rayos a partir de la origen: TMSx2,x1(x1,x2) = TMSx2,x1(tx1, tx2), para todo t > 0. x2 x1 • El resultado generaliza para funciones de mas de dos variables 11 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Ejercicio: Propiedad 2 y el problema del consumidor Ejercicio corto Considere el problema del consumidor usual, donde el consumidor maximiza su utilidad u(x ,y) sujeto a restricción presupuestaria pxx +pyy = I. Suponga que la función utilidad es homogénea y inicialmente este consumidor tiene ingreso I0 y consume 5 unidades de cada uno de los bienes. Ahora suponga que el ingreso del consumidor duplica. ¿Cuanto el consumidor va pasar a consumir de cada bien? 12 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Propiedad 3: Teorema de Euler Teorema Sea f (x1, ...,xn) una función homogénea de grado k definida en Rn+ con derivadas parciales continuas. Entonces, para cualquier vector x ∈ Rn+: x1 · ∂f ∂x1 (x)+ x2 · ∂f ∂x2 (x)+ · · ·+ xn · ∂f ∂xn (x) = kf (x), (1) o, usando la notación del gradiente: 〈x,∇f (x)〉︸ ︷︷ ︸ producto escalar = kf (x). • De hecho, la vuelta de este teorema también vale: si 1 es satisfecha para todo x ∈ Rn+, f es homogénea de grado k 13 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Propiedad 3: Teorema de Euler Demostración: • Si f (x)es homogénea de grado k tenemos que, para cualquier t > 0 f (tx1, ..., txn) = tk f (x1, ...,xn) • Diferenciando con respecto a t de los lados: ∂f ∂x1 (tx) · x1 + ∂f ∂x2 (tx) · x2 + · · ·+ ∂f ∂xn (tx) · xn = ktk−1f (x1, ...,xn) • Evaluando en t = 1: ∂f ∂x1 (x) · x1 + ∂f ∂x2 (x) · x2 + · · ·+ ∂f ∂xn (x) · xn = kf (x1, ...,xn) • Que es exactamente lo que nos dice el Teorema de Euler 14 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Ejercicios: Teorema de Euler Ejercicio corto (pos clase) Considere el problema del consumidor usual, donde el consumidor maximiza su utilidad u(x ,y) sujeto a restricción presupuestaria px x + py y = I. Suponga que la función utilidad es homogénea de grado k. Responda VERDADERO o FALSO para las siguientes afirmaciones. Si verdadero, pruebe la afirmación, si falso presente un contra-ejemplo que contradice la afirmación. 1 La cantidad consumida de cada bien es una función lineal del ingreso I. 2 La elasticidad de la cantidad consumida de cada bien con respecto al ingreso es igual a 1. En Ayudantía #3 van a ver como la remuneración total de los factores se relaciona con el total producido para funciones homogéneas 15 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas 3. Funciones homotéticas 16 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Funciones homotéticas: motivación • Considere el problema del consumidor y suponga que su utilidad es u(x ,y) = xy • La función de utilidad u es homogénea de grado 2 (verifique) • Considere ahora un segundo consumidor con utilidad ũ(x ,y) = xy +100 • La función de utilidad ũ no es homogénea • Todavía, las curvas de indiferencia de ũ y u tienen el mismo formato! • ũ no es homogénea, pero sus curvas de indiferencia tienen las mismas propiedades que una función homogénea • Efectivamente, lo que nos importa en el problema del consumidor son las curvas de indiferencia, no el nivel de utilidad • ¿Que clase de funciones tienen curvas de indiferencia con el mismo formato que funciones homogéneas? Las funciones homotéticas (por definir) 17 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Transformaciones monótonas Definición (Transformación monótona) Sea I un intervalo de números reales. • Decimos que g : I→ R es una transformación creciente si g es una función estrictamente creciente. • Si g es una transformación monótona y u es una función de n variables, decimos que f (x)≡ g(u(x)) es una transformación creciente de u. Ejemplos: • Sea u(x1,x2) = x1x2 y g(x) = 10x . Entonces f (u(x1,x2)) = 10xy es una transformación creciente de u • Sea u(x1,x2) = x1x2, con dominio en R2+, y g(x) = x2. Entonces, f (u(x1,x2)) = (x1x2)2 es una transformación creciente de u 18 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3.Funciones homotéticas Transformaciones monótonas y funciones homotéticas • Si f (x ,y) = g(u(x1,x2) es una transformación creciente de una función utilidad u(x ,y) entonces las curvas de indiferencias tienen el mismo formato • Mas precisamente suponga que para dos canastos, (x0,y0) y (x1,y1) tenemos: u(x0y0) = u(x1,y1) • Entonces: g (u(x0y0)) = g (u(x1,y1))⇔ f (x0y0) = f (x1,y1) • Esto motiva la definición de funciones homotéticas como una generalización de funciones homogéneas (próxima transparencia) 19 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Funciones homotéticas Definición (Funcion homotética) Una función f : Rn+→ R es llamada de homotética si es una transformación creciente de una alguna función homogénea. • Aviso: esta definición es diferente del libro, pero es equivalente si f es una función estrictamente creciente (más sobre esto más adelante) Ejemplos: • u(x ,y) = xy +100 es homotética, pero no homogénea • u(x ,y) = (x3y3)+ xy es homotética, pero no homogénea 20 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Funciones homotéticas • El siguiente teorema ofrece otra caracterización de homoteticidad para funciones estrictamente crecientes Teorema Sea u : Rn+→ R una función estrictamente creciente. Entonces u es homotética si, y solo si, para todo x e y en Rn+: u(x) = u(y)⇒ u(tx) = u(ty), para cualquier t > 0. • En palabras: si dos puntos están en la misma curva de indiferencia, cuando los multiplicamos por una constante siguen en la misma curva de indiferencia • y una función estrictamente creciente es homotética si, y solo si, esta condición es satisfecha 21 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Funciones homotéticas • Aviso: el libro define funciones homotéticas como funciones que satisfacen u(x) = u(y)⇒ u(tx) = u(ty) para cualquier t > 0 • Si estamos trabajando solamente con funciones estrictamente crecientes, esta definición es equivalente a la definición en estas transparencias (por el teorema anterior) 22 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Funciones homotéticas • Sabemos que si una función es homogénea, la TMS es constante a lo largo de rayos a partir de la origen • Luego, esta propiedad también vale para funciones homotéticas • El siguiente teorema dice la vuelta también vale: una función es homotética si, y solo si, su TMS es constante a lo largo de rayos a partir de la origen Teorema Sea u una función con derivadas parciales continuas en Rn+. Entonces, u es homotética si, y solo si, la pendiente de sus curvas de nivel (o la TMS) son constantes a lo largo de rayos a partir de la origen. En otras palabras, u es homotética si, y solo si, para cualquier i , j y cualquier x ∈ Rn+: ∂u ∂xi (tx) ∂u ∂xj (tx) = ∂u ∂xi (x) ∂u ∂xj (x) , para todo t > 0. 23 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Sumario: Funciones homotéticas Teorema Sea u : Rn+→ R una función estrictamente creciente. Entonces la siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 u es homotética; 2 u es una transformación creciente de una función homogénea; 3 u(x) = u(y)⇒ u(tx) = u(ty), para cualquier t > 0; 4 Para cualquier i , j y cualquier x ∈ Rn+: ∂u ∂xi (tx) ∂u ∂xj (tx) = ∂u ∂xi (x) ∂u ∂xj (x) , para todo t > 0; 5 La tasa marginal de sustitución es constantes a lo largo de rayos a partir de la origen. 24 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Ejercicios Ejercicio Responda VERDADERO o FALSO para las siguientes afirmaciones. 1 Toda función homogénea es homotética. 2 Toda función homotética es homogénea. 3 Si una función tiene TMS constante a lo largo de rayos a partir de la origen, entonces es homogénea. 25 1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas Introducción Funciones homogéneas Funciones homotéticas
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