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Apuntes 3

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Funciones homogéneas y homotéticas
Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios
Sección 3
Apuntes #3
Ultima actualización: 26 de marzo de 2020
1. Introducción
2
1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Introducción
Hoy estudiaremos dos tipos de clases de funciones muy importantes en
economía:
1 Funciones homogéneas
2 Funciones homotéticas
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
2. Funciones homogéneas
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Funciones homogéneas: motivación
• Considere una empresa con función de producción Y = F (K ,L)
• Supongamos que esta empresa duplica la cantidad de trabajo y capital
• ¿Cuanto cambia la producción?
• Si la producción mas que duplica decimos que hay retornos crecientes
de escala
• Si la producción menos que duplica decimos que hay retornos
decrecientes de escala
• Si la producción duplica decimos que hay retornos constantes de escala
• Que tipo de función podemos usar para modelar economías con
retornos crecientes, constantes o decrecientes de escala?
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Funciones homogéneas
Definición
Dado un escalar k, decimos que una función f (x1,x2, ...,xn) es
homogénea de grado k si
f (tx1, tx2..., txn) = tk f (tx1, tx2..., txn), para todo x1, ...,xn y t > 0.
• En el ejemplo de la función de producción:
• homogénea de grado k > 1: retornos crecientes de escala
• homogénea de grado k < 1 : retornos decrecientes de escala
• homogénea de grado k = 1: retornos constantes de escala
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Ejercicios: Funciones homogéneas
Ejercicios (pos clase)
1 Sea f (x1,x2,x3) = axk11 x
k2
2 x
k3
3 . Verifique que f (·) es homogénea de
grado k = k1 +k2 +k3.
2 Sea f (x1,x2,x3) = axk11 x
k2
2 x
k3
3 y g(x1,x2,x3) = bx
m1
1 x
m2
2 x
m3
3 , donde
m ≡m1 +m2 +m3 = k1 +k2 +k3. Verifique que
h(x1,x2,x3) = f (x1,x2,x3)+g(x1,x2,x3)
es homogénea de grado m.
3 Verifique que f (x1,x2) = x21 x42 + x51 x12 es homogénea de grado 6.
4 Verifique que f (x1,x2) = x21 x72 + x1x52 no es homogénea.
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Ejercicios: Funciones homogéneas y el pro-
blema del consumidor
Ejercicio corto
Considere el problema del consumidor usual, donde el consumidor maximiza su
utilidad u(x ,y) sujeto a restricción presupuestaria pxx +pyy = I. Denote por
D(px ,py , I) la cantidad optima demandada por esto consumidor, como función
de los precios y de su ingreso (o sea, D(·) es la función de demanda).
¿D(px ,py , I) es una función homogénea?
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Funciones homogéneas: Propiedades
• Ahora vamos discutir algunas propiedades frecuentemente usadas en
economía
• ¿Que otras propiedades útiles tienen las funciones homogéneas?
• ¿Que podemos decir sobre sus curvas de nivel?
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Propiedad 1: Derivadas parciales
Teorema
Sea f (x1, ...,xn) una función con derivadas parciales continuas y definida
en un cono abierto. Si f es homogénea de grado k, entonces sus derivadas
parciales de primera orden son funciones homogéneas de grado k−1.
Demostración:
• Si f es homogénea de grado k, para todo t > 0
f (tx1, ..., txn) = tk f (x1, ...,xn)
• Sacando la derivada parcial con respecto a algún xi de los lados de la
expresión arriba:
∂f
∂xi
(tx1, ..., txn) · t = tk
∂f
∂xi
(x1, ...,xn)
∂f
∂xi
(tx1, ..., txn) = tk−1
∂f
∂xi
(x1, ...,xn)
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Propiedad 2: TMS
Teorema
Sea f (x1,x2) una función definida en R2+ con derivadas parciales continuas. Si
f es homogénea (de cualquier grado), entonces la pendiente de sus curvas de
nivel son constante a lo largo de rayos a partir de la origen:
TMSx2,x1(x1,x2) = TMSx2,x1(tx1, tx2), para todo t > 0.
x2
x1
• El resultado generaliza para funciones de mas de dos variables
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Ejercicio: Propiedad 2 y el problema del
consumidor
Ejercicio corto
Considere el problema del consumidor usual, donde el consumidor maximiza su
utilidad u(x ,y) sujeto a restricción presupuestaria pxx +pyy = I. Suponga que
la función utilidad es homogénea y inicialmente este consumidor tiene ingreso I0
y consume 5 unidades de cada uno de los bienes. Ahora suponga que el ingreso
del consumidor duplica. ¿Cuanto el consumidor va pasar a consumir de cada
bien?
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Propiedad 3: Teorema de Euler
Teorema
Sea f (x1, ...,xn) una función homogénea de grado k definida en Rn+ con
derivadas parciales continuas. Entonces, para cualquier vector x ∈ Rn+:
x1 ·
∂f
∂x1
(x)+ x2 ·
∂f
∂x2
(x)+ · · ·+ xn ·
∂f
∂xn
(x) = kf (x), (1)
o, usando la notación del gradiente:
〈x,∇f (x)〉︸ ︷︷ ︸
producto escalar
= kf (x).
• De hecho, la vuelta de este teorema también vale: si 1 es satisfecha
para todo x ∈ Rn+, f es homogénea de grado k
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Propiedad 3: Teorema de Euler
Demostración:
• Si f (x)es homogénea de grado k tenemos que, para cualquier t > 0
f (tx1, ..., txn) = tk f (x1, ...,xn)
• Diferenciando con respecto a t de los lados:
∂f
∂x1
(tx) · x1 +
∂f
∂x2
(tx) · x2 + · · ·+
∂f
∂xn
(tx) · xn = ktk−1f (x1, ...,xn)
• Evaluando en t = 1:
∂f
∂x1
(x) · x1 +
∂f
∂x2
(x) · x2 + · · ·+
∂f
∂xn
(x) · xn = kf (x1, ...,xn)
• Que es exactamente lo que nos dice el Teorema de Euler
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Ejercicios: Teorema de Euler
Ejercicio corto (pos clase)
Considere el problema del consumidor usual, donde el consumidor maximiza su utilidad
u(x ,y) sujeto a restricción presupuestaria px x + py y = I. Suponga que la función
utilidad es homogénea de grado k. Responda VERDADERO o FALSO para las
siguientes afirmaciones. Si verdadero, pruebe la afirmación, si falso presente un
contra-ejemplo que contradice la afirmación.
1 La cantidad consumida de cada bien es una función lineal del ingreso I.
2 La elasticidad de la cantidad consumida de cada bien con respecto al ingreso es
igual a 1.
En Ayudantía #3 van a ver como la remuneración total de los factores se
relaciona con el total producido para funciones homogéneas
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
3. Funciones homotéticas
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Funciones homotéticas: motivación
• Considere el problema del consumidor y suponga que su utilidad es
u(x ,y) = xy
• La función de utilidad u es homogénea de grado 2 (verifique)
• Considere ahora un segundo consumidor con utilidad
ũ(x ,y) = xy +100
• La función de utilidad ũ no es homogénea
• Todavía, las curvas de indiferencia de ũ y u tienen el mismo formato!
• ũ no es homogénea, pero sus curvas de indiferencia tienen las mismas
propiedades que una función homogénea
• Efectivamente, lo que nos importa en el problema del consumidor son
las curvas de indiferencia, no el nivel de utilidad
• ¿Que clase de funciones tienen curvas de indiferencia con el mismo
formato que funciones homogéneas? Las funciones homotéticas (por
definir)
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Transformaciones monótonas
Definición (Transformación monótona)
Sea I un intervalo de números reales.
• Decimos que g : I→ R es una transformación creciente si g es una función
estrictamente creciente.
• Si g es una transformación monótona y u es una función de n variables,
decimos que f (x)≡ g(u(x)) es una transformación creciente de u.
Ejemplos:
• Sea u(x1,x2) = x1x2 y g(x) = 10x . Entonces f (u(x1,x2)) = 10xy es
una transformación creciente de u
• Sea u(x1,x2) = x1x2, con dominio en R2+, y g(x) = x2. Entonces,
f (u(x1,x2)) = (x1x2)2 es una transformación creciente de u
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3.Funciones homotéticas
Transformaciones monótonas y funciones
homotéticas
• Si f (x ,y) = g(u(x1,x2) es una transformación creciente de una función
utilidad u(x ,y) entonces las curvas de indiferencias tienen el mismo
formato
• Mas precisamente suponga que para dos canastos, (x0,y0) y (x1,y1)
tenemos:
u(x0y0) = u(x1,y1)
• Entonces:
g (u(x0y0)) = g (u(x1,y1))⇔ f (x0y0) = f (x1,y1)
• Esto motiva la definición de funciones homotéticas como una
generalización de funciones homogéneas (próxima transparencia)
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Funciones homotéticas
Definición (Funcion homotética)
Una función f : Rn+→ R es llamada de homotética si es una
transformación creciente de una alguna función homogénea.
• Aviso: esta definición es diferente del libro, pero es equivalente si f es
una función estrictamente creciente (más sobre esto más adelante)
Ejemplos:
• u(x ,y) = xy +100 es homotética, pero no homogénea
• u(x ,y) = (x3y3)+ xy es homotética, pero no homogénea
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Funciones homotéticas
• El siguiente teorema ofrece otra caracterización de homoteticidad para
funciones estrictamente crecientes
Teorema
Sea u : Rn+→ R una función estrictamente creciente. Entonces u es
homotética si, y solo si, para todo x e y en Rn+:
u(x) = u(y)⇒ u(tx) = u(ty), para cualquier t > 0.
• En palabras: si dos puntos están en la misma curva de indiferencia,
cuando los multiplicamos por una constante siguen en la misma curva
de indiferencia
• y una función estrictamente creciente es homotética si, y solo si, esta
condición es satisfecha
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Funciones homotéticas
• Aviso: el libro define funciones homotéticas como funciones que
satisfacen u(x) = u(y)⇒ u(tx) = u(ty) para cualquier t > 0
• Si estamos trabajando solamente con funciones estrictamente
crecientes, esta definición es equivalente a la definición en estas
transparencias (por el teorema anterior)
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Funciones homotéticas
• Sabemos que si una función es homogénea, la TMS es constante a lo
largo de rayos a partir de la origen
• Luego, esta propiedad también vale para funciones homotéticas
• El siguiente teorema dice la vuelta también vale: una función es
homotética si, y solo si, su TMS es constante a lo largo de rayos a
partir de la origen
Teorema
Sea u una función con derivadas parciales continuas en Rn+. Entonces, u es
homotética si, y solo si, la pendiente de sus curvas de nivel (o la TMS) son
constantes a lo largo de rayos a partir de la origen. En otras palabras, u es
homotética si, y solo si, para cualquier i , j y cualquier x ∈ Rn+:
∂u
∂xi (tx)
∂u
∂xj (tx)
=
∂u
∂xi (x)
∂u
∂xj (x)
, para todo t > 0.
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Sumario: Funciones homotéticas
Teorema
Sea u : Rn+→ R una función estrictamente creciente. Entonces la siguientes
afirmaciones son equivalentes:
1 u es homotética;
2 u es una transformación creciente de una función homogénea;
3 u(x) = u(y)⇒ u(tx) = u(ty), para cualquier t > 0;
4 Para cualquier i , j y cualquier x ∈ Rn+:
∂u
∂xi (tx)
∂u
∂xj (tx)
=
∂u
∂xi (x)
∂u
∂xj (x)
, para todo t > 0;
5 La tasa marginal de sustitución es constantes a lo largo de rayos a partir de
la origen.
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
Ejercicios
Ejercicio
Responda VERDADERO o FALSO para las siguientes afirmaciones.
1 Toda función homogénea es homotética.
2 Toda función homotética es homogénea.
3 Si una función tiene TMS constante a lo largo de rayos a partir de la origen,
entonces es homogénea.
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1. Introducción 2. Funciones homogéneas 3. Funciones homotéticas
	Introducción
	Funciones homogéneas
	Funciones homotéticas

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