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Técnicas de estática comparativa Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios Sección 3 Apuntes #2 Ultima actualización: 26 de marzo de 2020 1. Introducción 2 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Introducción • El punto de partida de muchos problemas en economía y negocios es la construcción de un modelo: Modelo Supuestos Parámetros (variables exógenas) −→ Solución del modelo −→ Resultados y Predicciones • Suponga que cambiamos los parámetros de un modelo. ¿Como cambian los resultados? • Dos maneras de responder esta pregunta: 1 Resolver el modelo de nuevo con los parámetros nuevos 2 Técnicas de estática comparativa 3 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejemplos • ¿Cual el efecto de una subida en la tasa de interés de EE.UU en la actividad económica en Chile? • ¿Como reacciona el desempleo a una subida en el sueldo mínimo? • ¿Cuanto las empresas ajustan su producción si suben los impuestos? • ¿Como cambian la demanda por activos con riesgo cuando sube la aversión al riesgo de los inversionistas? • ¿Como cambia el producto de la economía si el gobierno sube gastos? 4 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades 2. Regla de la cadena 5 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Regla de la cadena • Sea y = f (x1,x2, ...,xn) una función de n variables • Suponga que x1 = x1(t), x2 = x2(t),...,xn = xn(t) (las variables xi son funciones de t) • Sea g(t) = f (x1(t), ...,xn(t)) • Entonces, en general (si algunas condiciones técnicas son satisfechas): dg dt = f1 · dx1 dt + f2 · dx2 dt + · · ·+ fn · dxn dt (Regla de la cadena) • As veces escribimos simplemente: df dt = f1 · dx1 dt + f2 · dx2 dt + · · ·+ fn · dxn dt • Perciba que usamos dfdt y no ∂f ∂t 6 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejemplo: Regla de la cadena • Un agente tiene funcion utilidad U(w ,e) I w = salario I e = esfuerzo • Suponga que ∂U ∂w > 0 e ∂U ∂e < 0 • Ahora suponga que existe una relación entre salario y esfuerzo: w = w(e), w ′(e)> 0 • Queremos entender el efecto que tiene sobre la utilidad (U) un aumento en el esfuerzo e 7 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejemplo: Regla de la cadena • Podemos reemplazar el salario como función del esfuerzo en la utilidad: U(w ,e) = U(w(e),e) V (e) = U(w(e),e) • Usando la regla de cadena: dV de = ∂U ∂e︸︷︷︸ Efecto directo + ∂U ∂w dw de︸ ︷︷ ︸ Efecto indirecto (via salario) 8 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio: Regla de la cadena Ejercicios cortos Usando la regla de la cadena compute las siguientes derivadas: 1 f (t) = et2 2 f (t) = ln ( t3 ) 9 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio: Regla de la cadena Ejercicio Suponga que la producción de una empresa es dada por una función Q = F (K ,L), donde K = capital y L = trabajo. La forma exacta de F no es conocida, pero si tenemos buenos datos que nos permiten estimar la productividad marginal del trabajo y del capital. Además, supongamos que las isocuantas de F (K ,L) son decrecientes, como en este gráfico: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 K L Suponga que hubo una reducción de una unidad capital en esta economía por un desastre natural, y en el curto plazo no hay como reponer este stock de capital. ¿Cuantas unidades adicionales de trabajo serian necesarias para mantener la producción en el mismo nivel? Escriba su respuesta como función de la productividad marginal del capital (PmgK) y la productividad marginal del trabajo (PmgL). 10 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades 3. Diferencial total 11 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Diferencial total • Sea una función y = f (x1,x2...,xn), y dx1,dx2, ...,dxn números reales. Entonces, el diferencial total (df ) es dy = f1 ·dx1 + f2 ·dx2 + · · ·+ fn ·dxn (Diferencial total) Interpretación: • Suponga que, para cada i ∈ {1, ...,n}, xi cambia en dxi unidades • Entonces df representa una aproximación de la variación de y • Pero si dx1, ...,dxn son números pequeños, esta aproximación es muy buena en general • O sea, suponiendo n = 2 e dx1 y dx2 pequeños: ∆y ≡ f (x1 + dx1,x2 + dx2)− f (x1,x2)≈ f1 (x1,x2) ·dx1 + f2 (x1,x2) ·dx2 12 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio: Diferencial total y seignioriage Ejercicio Suponga que la demanda por moneda en un periodo t es dada por MDt = f (it ,Yt ,Pt ) = Pt Y α t it −η , con η > 0,α > 0. Yt representa el PIB (real) de la economía, it es la tasa de interés nominal y Pt es el nivel de precios. Intuitivamente: • Cuanto mayor el PIB, mas bienes los agentes compran y más moneda demandan para hacerlo; • Cuanto mayor la tasa de interés, mayor el costo de oportunidad de tener dinero que no esta invertido, luego menor es la demanda por dinero; • Cuanto mayor el nivel de precios, más moneda los agentes necesitan para comprar bienes. 1 Usando el diferencial total, relacione cambios en la demanda por dinero entre una fecha t y t + 1 (denotado por ∆MDt ) con cambios en it , Yt y Pt . 2 Usando su respuesta del ítem anterior, aproxime cambios porcentuales en la demanda por dinero (denotado por gt = ∆MDt /M D t ) con cambios porcentuales en it , Yt y Pt . 13 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio: Diferencial total y seignioriage Ejercicio Suponga que la demanda por moneda en un periodo t es dada por MDt = f (it ,Yt ,Pt ) = Pt Y α t it −η , con η > 0,α > 0. Yt representa el PIB (real) de la economía, it es la tasa de interés nominal y Pt es el nivel de precios. Intuitivamente: • Cuanto mayor el PIB, mas bienes los agentes compran y más moneda demandan para hacerlo; • Cuanto mayor la tasa de interés, mayor el costo de oportunidad de tener dinero que no esta invertido, luego menor es la demanda por dinero; • Cuanto mayor el nivel de precios, más moneda los agentes necesitan para comprar bienes. 1 Usando el diferencial total, relacione cambios en la demanda por dinero entre una fecha t y t + 1 (denotado por ∆MDt ) con cambios en it , Yt y Pt . 2 Usando su respuesta del ítem anterior, aproxime cambios porcentuales en la demanda por dinero (denotado por gt = ∆MDt /M D t ) con cambios porcentuales en it , Yt y Pt . 13 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio (cont’d) El gobierno tiene la posibilidad de subir sus ingresos simplemente imprimiendo dinero. Este tipo de ingreso del gobierno es llamado de seignioriage. Denote por Mt la oferta de moneda total de una economía. Entonces el ingreso de seignioriage (en términos reales) en periodo t es dado por St = Mt+1−Mt Pt . Denotamos por mt = Mt/Pt la oferta de dinero en términos reales. 3 En equilibrio se debe cumplir que la oferta de dinero es igual a la demanda por dinero. Usando esta condición, escriba el ingreso de seignioriage como un función de gt , it e Yt – o sea, escriba St = St (gt , it ,Yt ). (Ayuda: Perciba que St = Mt+1−Mt Mt Mt Pt = gt MtPt ). 4 Suponga que esperamos que el producto y la tasa de interés de la economía estén constantes en el tiempo. Además, un economista le dice que la tasa de interesa nominal es igual a la tasa de interés real(rt) más la tasa de inflación (πt ): it = rt +πt , donde la tasa de inflación es dada por πt = (Pt+1−Pt )/Pt . Escriba St como una función de rt , Yt y πt . 5 ¿Cuando que una subida en la tasa de inflación de la economía lleva a una subida en St? Interprete económicamente. 14 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio (cont’d) El gobierno tiene la posibilidad de subir sus ingresos simplemente imprimiendo dinero. Este tipo de ingreso del gobierno es llamado de seignioriage. Denote por Mt la oferta de moneda total de una economía. Entonces el ingreso de seignioriage (en términos reales) en periodo t es dado por St = Mt+1−Mt Pt . Denotamos por mt = Mt/Pt la oferta de dinero en términos reales. 3 En equilibrio se debe cumplir que la oferta de dinero es igual a la demanda por dinero. Usando esta condición, escriba el ingreso de seignioriage como un función de gt , it e Yt – o sea, escriba St = St (gt , it ,Yt ). (Ayuda: Perciba que St = Mt+1−Mt Mt Mt Pt = gt MtPt ). 4 Suponga que esperamos que el producto y la tasa de interés de la economía estén constantes en el tiempo. Además, un economista le dice que la tasa de interesa nominal es igual a la tasa de interés real (rt) más la tasa de inflación (πt ): it = rt +πt , donde la tasa de inflación es dada por πt = (Pt+1−Pt )/Pt . Escriba St como una función de rt , Yt y πt . 5 ¿Cuando que una subida en la tasa de inflación de la economía lleva a una subida en St? Interprete económicamente. 14 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio (cont’d) El gobierno tiene la posibilidad de subir sus ingresos simplemente imprimiendo dinero. Este tipo de ingreso del gobierno es llamado de seignioriage. Denote por Mt la oferta de moneda total de una economía. Entonces el ingreso de seignioriage (en términos reales) en periodo t es dado por St = Mt+1−Mt Pt . Denotamos por mt = Mt/Pt la oferta de dinero en términos reales. 3 En equilibrio se debe cumplir que la oferta de dinero es igual a la demanda por dinero. Usando esta condición, escriba el ingreso de seignioriage como un función de gt , it e Yt – o sea, escriba St = St (gt , it ,Yt ). (Ayuda: Perciba que St = Mt+1−Mt Mt Mt Pt = gt MtPt ). 4 Suponga que esperamos que el producto y la tasa de interés de la economía estén constantes en el tiempo. Además, un economista le dice que la tasa de interesa nominal es igual a la tasa de interés real (rt) más la tasa de inflación (πt ): it = rt +πt , donde la tasa de inflación es dada por πt = (Pt+1−Pt )/Pt . Escriba St como una función de rt , Yt y πt . 5 ¿Cuando que una subida en la tasa de inflación de la economía lleva a una subida en St? Interprete económicamente. 14 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades 4. Función implícita 15 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Funciones explícitas • Generalmente, estamos acostumbrados a escribir funciones en la forma y = f (x1,x2, ...,xn) • Este tipo de función se denomina función explicita • Sin embargo, hay relaciones en economía/negocios que no pueden ser representadas por tales funciones 16 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Funciones implícitas • Por ejemplo, suponga que un economista nos ha contado que el PIB (Y ) está determinado por la siguiente ecuación: Y 3 2 + log(Y )− log(G) = 0, donde G = gasto del gobierno (que es fijado por el gobierno) • No podemos aislar Y como una función de G para escribir Y = f (G)... • Mas podemos mostrar que para cada G ≥ 0 existe un único Y que resuelve esta ecuación • Solamente no conocemos la forma explicita de esta relación • Decimos que existe una función implícita Y = f (G) que describe la relación entre G e Y 17 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Teorema de la función implícita • ¿Para qué sirve saber que existe una función implícita Y = f (G) si no sabemos la forma funcional? • Es ahí donde entra el teorema de la función implícita 18 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Teorema de la función implícita Teorema (Teorema de la función implicita, TFI) Supongamos que sabemos que las variables x e y satisfacen la siguiente relación g(x ,y) = c donde g es una función con derivadas parciales continuas. Sea (x0,y0) tales que g(x0,y0) = c y suponga que ∂g∂y (x0,y0) 6= 0. Entonces, existe una función y = f (x) tal que para valores de x suficientemente próximos de x0: g(x , f (x)) = c f (x0) = y0 df dx (x0) =− ∂g ∂x (x0,y0) ∂g ∂y (x0,y0) (1) 19 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Teorema de la función implícita El TFI nos dice dos cosas: 1 Que existe una función implícita f (x) que define y como una función de x (en una vecindad de cualquier punto (x0,y0) satisface la ecuación g(x ,y) = c); 2 Que hay una fórmula para computar la derivada de esta función y esta es dada por la expresión dada en (1) 20 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Teorema de la función implícita • Intuitivamente, podemos escribir: g(x , f (x)) = c • Usando la regla de cadena para tomar derivadas con respecto a x de los dos lados de la ecuación: ∂g ∂x (x , f (x)) + ∂g ∂y (x , f (x)) · ∂f ∂x (x) = 0 • Si ∂g∂y (x , f (x)) 6= 0 podemos escribir: ∂f ∂x (x) =− ∂g ∂x (x , f (x)) ∂g ∂y (x , f (x)) =− ∂g ∂x (x ,y) ∂g ∂y (x ,y) 21 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Teorema de la función implícita • Volvamos al ejemplo de la motivación donde teníamos: Y 3 2 + log(Y )− log(G)︸ ︷︷ ︸ g(G,Y ) = 0︸︷︷︸ c • Por lo tanto tenemos: dY dG (G0) = − ∂g ∂G (G0,Y0) ∂g ∂Y (G0,Y0) = − − 1G0 3 2Y 1 2 0 + 1 Y0 = [(3 2 Y 1 2 0 + 1 Y0 ) G0 ]−1 > 0 • Aunque no tenemos conocimiento explícito de la función Y = f (G), podemos, partiendo de una situación de equilibrio (Y0,G0) saber cómo el producto varía cuando variamos G • En este ejemplo, decimos que G es la variable exógena e Y la variable endógena, porque queremos escribir Y como una función de G 22 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejemplo: Curvas de inferencia • Suponga una utilidad u(x ,y) • Si queremos saber la pendiente de una curva de indiferencia u(x ,y) = c podemos usar el TFI: dy dx =− ux (x ,y) uy (x ,y) x y curva de nivel x0 y0 recta tangente con pendiente − ux (x0,y0) uy (x0,y0) • La pendiente de la curva de indiferencia (con signo invertido) llamamos de tasa marginal de sustitución (TMS) 23 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Vectores gradientes • El vector con las derivadas de una función f (x ,y), dado por ∇f (x ,y)≡ (fx (x ,y), fy (x ,y)), se conoce como vector gradiente • Perciba que el gradiente es ortogonal a la recta tangente: (fx (x ,y), fy (x ,y)) · ( 1,− fx (x ,y)fy (x ,y) ) = 0 I El producto escalar de dos vectores x = (x1,x2) e y = (y1,y2) es x · y = x1y1 + x2y2 x y curva de nivel x0 y0 recta tangente con pendiente − fx (x0,y0) fy (x0,y0) ∇f (x0, y0) = (fx(x0, y0), fy (x0, y0)) ( 1,− fx (x0,y0) fy (x0,y0) ) ∇f (x0, y0) 90◦ 24 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicios: TFI y el problema del consumidor Ejercicio Suponga que un consumidor tiene función utilidad u(x ,y) = a ln(x) + b ln(y), donde a> 0, b > 0 y x e y son las cantidades consumidas de dos bienes. Los precios de los bienes son denotados por px e py . Usando el teorema de la función implícita encuentre la razón entre la cantidad consumida de los dos bienes, y la fracción de su renta que este agente gasta con cada bien. 25 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades TFI y eficiencia Ejercicio Considere una economía con dos agentes, A e B, y dos bienes, 1 e 2. Los agentes A y B tienen la misma función utilidad u(xA1 ,x A 2 ) = x A 1 x A 2 e u(x B 1 ,x B 2 ) = x B 1 x B 2 , donde x j i representa la cantidad consumida del bien i por el agente j. Algunas curvas de indiferencia están representadas abajo. Las lineas solidas representan las curvas de indiferencia del agente A y las rayadas del agente B. Esté atento también a la dirección de los ejes. 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 xA1 xA 2 012345 0 1 2 3 4 5 xB1 xB 2 Un planificador central tiene 5 unidades de cada bien, y esta pensando como distribuir (asignar) estos bienes entre los dos agentes. Encuentre todas las posibles distribuciones (asignaciones) que satisfacen el siguiente requerimiento: no se puede subir la utilidad de un agente sin bajar la utilidad del otro agente. 26 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades 5. Regla de Leibniz 27 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Regla de Leibniz • Suponga que tengamos la siguiente función: F (t) = ∫ t 0 f (x)dx • La derivada de F en un punto t0 es dF dt (t0) = ĺımh→0 { F (t0 +h)−F (t0) h } • Para h pequeño tenemos dF dt (t0)≈ F (t0 +h)−F (t0) h ≡∆ 28 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Regla de Leibniz xt0 f (t0) t0 + h f (x) • Queremos computar ∆ = área rojah , que es aproximadamente: ∆ = área rojah ≈ área roja + área azul h = f (t0) ·h h = f (t0) • Cuando h→ 0, ∆→ dFdt (t0) y área azul h → 0 (créanme). Así, tenemos también que ∆→ f (t0) y luego dF dt = f (t0) 29 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Regla de Leibniz • ¿Y si ahora tenemos F (t) = ∫ t2 0 f (x)dx? Regla de la cadena: dF dt = f (t0) ·2t • Para una función F (t) = ∫ b(t) a(t) f (x)dx , donde a(t) y b(t) son funciones derivables tenemos: dF (t) dt = d dt ∫ b(t) a(t) f (x)dx = f (b(t))db(t)dt − f (a(t)) da(t) dt (Regla de Leibniz I) • Con notación mas resumida: F ′(t) = f (b(t))b′(t)− f (a(t))a′(t) 30 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Regla de Leibniz: Generalización • Hasta ahora la función que estamos integrando también puede depender de la variable que estamos diferenciando • Para una función F (t) = ∫ b(t) a(t) f (x , t)dx , donde a(t), b(t) e f (x , t) son funciones derivables tenemos: dF (t) dt = d dt ∫ b(t) a(t) f (x , t)dx = f (b(t)) db(t)dt − f (a(t)) da(t) dt + ∫ b(t) a(t) ∂f (x , t) ∂t dx (Regla de Leibniz II) 31 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio: Regla de Leibniz Ejercicio Sea d(t), el flujo de dividendos que una empresa paga en periodo tempo. Se espera que esta empresa va dejar de existir en una fecha T (y por lo tanto d(t) = 0, para todo t > T ). El valor presente en z (hoy) de los flujos de dividendos pagos entre dos fechas z y T se puede escribir como: V = ∫ T z e−r(t−z)d(t)dt donde r es la tasa de descuento instantánea (la tasa que paga un bono publico, por ejemplo). ¿Cómo cambia el valor V de esta empresa al pasar el tiempo t? 32 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades 6. Elasticidades 33 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Elasticidades • Sea una función y = f (x). ¿Cual el cambio porcentual en y frente a un cambio porcentual en x? • Usando diferenciales: dy︸︷︷︸ Cambio absoluto en y = f ′(x) × dx︸︷︷︸ Cambio absoluto en x • Dividiendo por Y multiplicando y dividiendo por X en lado derecho: dy y︸︷︷︸ Cambio porcentual en y = f ′(x) · xy︸ ︷︷ ︸ Elasticidad de y con respecto a x × dxx︸︷︷︸ Cambio porcentual en y 34 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Elasticidades parciales Definición (Elasticidades parciales) Sea y = f (x1,x2, ...,xn). Entonces definimos la elasticidad parcial de y , o de f (·), con respecto a xi manteniendo constante todas las demás variables xj , con j 6= i , como �y ,xi = xi y ∂y ∂xi • �y ,xi es una notación bastante usada para la elasticidad parcial 35 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejemplo: Elasticidad • Función demanda por dinero: MD = f (i ,Y ,P) = PY αi−η (ejercicio anterior): �MD ,i =−ηPY αi−η−1 iMD =−η �MD ,Y = αPY α−1i−η YMD =−α �MD ,P = Y αi−η PMD = 1 • En este caso las elasticidades son constantes 36 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Elasticidad y derivada logarítmica • Suponga que el log de y se relaciona con el log de x1 y x2 de la siguiente manera: ln(y) = a ln(x1) +b ln(x2) • Entonces derivando de los dos lados con respecto a x1: 1 y ∂y ∂x1 = ax1 ⇔ a = x1y ∂y ∂x1 = �y ,x1 • O sea: �y ,x1 = ∂ ln(y) ∂ ln(x1) • Este resultado es verdad en general. Para cualquier función y = f (x): ln(y) = ln(f (x)) ⇔ ln(y) = ln(f (eln(x))) ∂ ln(y) ∂ ln(x) = 1 f (eln(x)) f ′(eln(x))eln(x) = f ′(x) xf (x) = �y ,x 37 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio Ejercicio corto 1 Un economista ha estimado las siguientes relación (causal) entre gasto del gobierno y PIB: ln(PIB) = C + 0,5 · ln(Gasto del gobierno) Interprete. 2 Considere un monopolista con una función demanda decreciente x = D(p), donde p es el precio y x es la cantidad vendida. Calcule la elasticidad de los ingresos (R) de este monopolista con respecto al precio, �R,p . Escriba su respuesta en términos de �x ,p (elasticidad de la demanda). 38 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Elasticidades de funciones compuestas • Suponga que y = f (x) e x = g(t) • Entonces: �y ,t = dy dt t y = ( df dx dg dt ) t y = ( df dx x y )( dg dt t �y ) �y x = ( df dx x y )( dg dt t x ) = �y ,x �x ,t • Este resultado generaliza. Si tenemos y = F (x1,x2, . . . ,xn) y xi = f i (t1, t2, ..., tm), para todo i = 1, ...,n , entonces: �y ,tj = n∑ i=1 �y ,xi �xi ,tj 39 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Elasticidad de sustitución • Considere una empresa que quiere producir determinada cantidad X a un costo mínimo I w = precio del trabajo L I r = precio del capital K I F (K ,L) = función de producción • El costo total es: C(L,K ) = wL+ rK • Las curvas de nivel de C(K ,L) son llamadas de isocostos L K isocostos pendiente = - w/r 40 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Elasticidad de sustitución • La empresa quiere producir determinada cantidad (alcanzar determinada isocuanta) al menor costo posible. Luego el optimo es: L K isocostos isocuanta L∗ K∗ óptimo • En el optimo, la TMS entre capital y trabajo debe ser igual al precio relativo de los factores: w r = FL(K ,L) FK (K ,L) ≡ TMSK ,L 41 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencialtotal 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Elasticidad de sustitución • Pregunta: ¿Cuando los precios relativos de trabajo y capital (w/r) cambian X % cuanto es el cambio porcentual el ratio entre capital y trabajo (K/L) en la elección optima de esta empresa? • La respuesta a esta pregunta es la elasticidad de sustitución entre K y trabajo σK ,L: σK ,L = �(K∗/L∗),(w/r) ≈ ∆(K∗/L∗) (K∗/L∗) ∆(w/r) w/r L K óptimo inicial óptimo cuando sube w r L∗old K∗old L∗new K∗new • La elasticidad de sustitución mide de alguna manera cuanto la firma sustituye capital por trabajo cuando sube el precio relativo del trabajo 42 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Elasticidad de sustitución • En general, dado una curva definida por F (x1,x2) = c, la elasticidad de sustitución entre x2 y x1 está dada por σx2,x1 = �x2/x1,TMSx2,x1 • Es decir: σx2,x1 = TMSx2,x1 (x2/x1) ∂ (x2/x1) ∂TMSx2,x1 43 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Elasticidad de sustitución • Se al movernos a lo largo de la curva F (x1,x2) = c cambiamos la TMS en 1%, entonces x2/x1 ha cambiado aproximadamente σx2,x1 % x2 TMS = 101 xA1 xA2 xB1 TMS = 100 xB2 ∆TMS TMS = 1% =⇒ (xB 2 /xB 1 )−(xA 2 /xA 1 ) (xA 2 /xA 1 ) 1% ≈ σx2,x1 x1 44 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Ejercicio: Elasticidad de sustitución Ejercicio corto ¿Cual de las curvas abajo tiene mayor elasticidad de sustitución en el punto A? x2 x1 A B C xA1x B 1x C 1 xA2 xB2 xC2 45 1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades Introducción Regla de la cadena Diferencial total Función implícita Regla de Leibniz Elasticidades
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