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Apuntes 2

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Técnicas de estática comparativa
Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios
Sección 3
Apuntes #2
Ultima actualización: 26 de marzo de 2020
1. Introducción
2
1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Introducción
• El punto de partida de muchos problemas en economía y negocios es
la construcción de un modelo:
Modelo

Supuestos
Parámetros
(variables exógenas)
−→
Solución del
modelo
−→
Resultados y
Predicciones
• Suponga que cambiamos los parámetros de un modelo. ¿Como
cambian los resultados?
• Dos maneras de responder esta pregunta:
1 Resolver el modelo de nuevo con los parámetros nuevos
2 Técnicas de estática comparativa
3
1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejemplos
• ¿Cual el efecto de una subida en la tasa de interés de EE.UU en la
actividad económica en Chile?
• ¿Como reacciona el desempleo a una subida en el sueldo mínimo?
• ¿Cuanto las empresas ajustan su producción si suben los impuestos?
• ¿Como cambian la demanda por activos con riesgo cuando sube la
aversión al riesgo de los inversionistas?
• ¿Como cambia el producto de la economía si el gobierno sube gastos?
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
2. Regla de la cadena
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Regla de la cadena
• Sea y = f (x1,x2, ...,xn) una función de n variables
• Suponga que x1 = x1(t), x2 = x2(t),...,xn = xn(t) (las variables xi son
funciones de t)
• Sea g(t) = f (x1(t), ...,xn(t))
• Entonces, en general (si algunas condiciones técnicas son satisfechas):
dg
dt = f1 ·
dx1
dt + f2 ·
dx2
dt + · · ·+ fn ·
dxn
dt (Regla de la cadena)
• As veces escribimos simplemente:
df
dt = f1 ·
dx1
dt + f2 ·
dx2
dt + · · ·+ fn ·
dxn
dt
• Perciba que usamos dfdt y no
∂f
∂t
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejemplo: Regla de la cadena
• Un agente tiene funcion utilidad U(w ,e)
I w = salario
I e = esfuerzo
• Suponga que
∂U
∂w > 0 e
∂U
∂e < 0
• Ahora suponga que existe una relación entre salario y esfuerzo:
w = w(e), w ′(e)> 0
• Queremos entender el efecto que tiene sobre la utilidad (U) un
aumento en el esfuerzo e
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejemplo: Regla de la cadena
• Podemos reemplazar el salario como función del esfuerzo en la utilidad:
U(w ,e) = U(w(e),e)
V (e) = U(w(e),e)
• Usando la regla de cadena:
dV
de =
∂U
∂e︸︷︷︸
Efecto directo
+ ∂U
∂w
dw
de︸ ︷︷ ︸
Efecto indirecto (via salario)
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicio: Regla de la cadena
Ejercicios cortos
Usando la regla de la cadena compute las siguientes derivadas:
1 f (t) = et2
2 f (t) = ln
(
t3
)
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicio: Regla de la cadena
Ejercicio
Suponga que la producción de una empresa es dada por una función Q = F (K ,L), donde K =
capital y L = trabajo. La forma exacta de F no es conocida, pero si tenemos buenos datos que nos
permiten estimar la productividad marginal del trabajo y del capital. Además, supongamos que las
isocuantas de F (K ,L) son decrecientes, como en este gráfico:
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
K
L
Suponga que hubo una reducción de una unidad capital en esta economía por un desastre natural,
y en el curto plazo no hay como reponer este stock de capital. ¿Cuantas unidades adicionales de
trabajo serian necesarias para mantener la producción en el mismo nivel? Escriba su respuesta como
función de la productividad marginal del capital (PmgK) y la productividad marginal del trabajo
(PmgL).
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
3. Diferencial total
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Diferencial total
• Sea una función y = f (x1,x2...,xn), y dx1,dx2, ...,dxn números reales.
Entonces, el diferencial total (df ) es
dy = f1 ·dx1 + f2 ·dx2 + · · ·+ fn ·dxn (Diferencial total)
Interpretación:
• Suponga que, para cada i ∈ {1, ...,n}, xi cambia en dxi unidades
• Entonces df representa una aproximación de la variación de y
• Pero si dx1, ...,dxn son números pequeños, esta aproximación es muy
buena en general
• O sea, suponiendo n = 2 e dx1 y dx2 pequeños:
∆y ≡ f (x1 + dx1,x2 + dx2)− f (x1,x2)≈ f1 (x1,x2) ·dx1 + f2 (x1,x2) ·dx2
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicio: Diferencial total y seignioriage
Ejercicio
Suponga que la demanda por moneda en un periodo t es dada por
MDt = f (it ,Yt ,Pt ) = Pt Y
α
t it
−η
, con η > 0,α > 0.
Yt representa el PIB (real) de la economía, it es la tasa de interés nominal y Pt es el nivel de
precios. Intuitivamente:
• Cuanto mayor el PIB, mas bienes los agentes compran y más moneda demandan para hacerlo;
• Cuanto mayor la tasa de interés, mayor el costo de oportunidad de tener dinero que no esta
invertido, luego menor es la demanda por dinero;
• Cuanto mayor el nivel de precios, más moneda los agentes necesitan para comprar bienes.
1 Usando el diferencial total, relacione cambios en la demanda por dinero entre una fecha t y
t + 1 (denotado por ∆MDt ) con cambios en it , Yt y Pt .
2 Usando su respuesta del ítem anterior, aproxime cambios porcentuales en la demanda por
dinero (denotado por gt = ∆MDt /M
D
t ) con cambios porcentuales en it , Yt y Pt .
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicio: Diferencial total y seignioriage
Ejercicio
Suponga que la demanda por moneda en un periodo t es dada por
MDt = f (it ,Yt ,Pt ) = Pt Y
α
t it
−η
, con η > 0,α > 0.
Yt representa el PIB (real) de la economía, it es la tasa de interés nominal y Pt es el nivel de
precios. Intuitivamente:
• Cuanto mayor el PIB, mas bienes los agentes compran y más moneda demandan para hacerlo;
• Cuanto mayor la tasa de interés, mayor el costo de oportunidad de tener dinero que no esta
invertido, luego menor es la demanda por dinero;
• Cuanto mayor el nivel de precios, más moneda los agentes necesitan para comprar bienes.
1 Usando el diferencial total, relacione cambios en la demanda por dinero entre una fecha t y
t + 1 (denotado por ∆MDt ) con cambios en it , Yt y Pt .
2 Usando su respuesta del ítem anterior, aproxime cambios porcentuales en la demanda por
dinero (denotado por gt = ∆MDt /M
D
t ) con cambios porcentuales en it , Yt y Pt .
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicio (cont’d)
El gobierno tiene la posibilidad de subir sus ingresos simplemente imprimiendo dinero. Este tipo de
ingreso del gobierno es llamado de seignioriage. Denote por Mt la oferta de moneda total de una
economía. Entonces el ingreso de seignioriage (en términos reales) en periodo t es dado por
St =
Mt+1−Mt
Pt
. Denotamos por mt = Mt/Pt la oferta de dinero en términos reales.
3 En equilibrio se debe cumplir que la oferta de dinero es igual a la demanda por dinero. Usando
esta condición, escriba el ingreso de seignioriage como un función de gt , it e Yt – o sea, escriba
St = St (gt , it ,Yt ). (Ayuda: Perciba que St =
Mt+1−Mt
Mt
Mt
Pt
= gt MtPt ).
4 Suponga que esperamos que el producto y la tasa de interés de la economía estén constantes
en el tiempo. Además, un economista le dice que la tasa de interesa nominal es igual a la tasa
de interés real(rt) más la tasa de inflación (πt ): it = rt +πt , donde la tasa de inflación es dada
por πt = (Pt+1−Pt )/Pt . Escriba St como una función de rt , Yt y πt .
5 ¿Cuando que una subida en la tasa de inflación de la economía lleva a una subida en St?
Interprete económicamente.
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicio (cont’d)
El gobierno tiene la posibilidad de subir sus ingresos simplemente imprimiendo dinero. Este tipo de
ingreso del gobierno es llamado de seignioriage. Denote por Mt la oferta de moneda total de una
economía. Entonces el ingreso de seignioriage (en términos reales) en periodo t es dado por
St =
Mt+1−Mt
Pt
. Denotamos por mt = Mt/Pt la oferta de dinero en términos reales.
3 En equilibrio se debe cumplir que la oferta de dinero es igual a la demanda por dinero. Usando
esta condición, escriba el ingreso de seignioriage como un función de gt , it e Yt – o sea, escriba
St = St (gt , it ,Yt ). (Ayuda: Perciba que St =
Mt+1−Mt
Mt
Mt
Pt
= gt MtPt ).
4 Suponga que esperamos que el producto y la tasa de interés de la economía estén constantes
en el tiempo. Además, un economista le dice que la tasa de interesa nominal es igual a la tasa
de interés real (rt) más la tasa de inflación (πt ): it = rt +πt , donde la tasa de inflación es dada
por πt = (Pt+1−Pt )/Pt . Escriba St como una función de rt , Yt y πt .
5 ¿Cuando que una subida en la tasa de inflación de la economía lleva a una subida en St?
Interprete económicamente.
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicio (cont’d)
El gobierno tiene la posibilidad de subir sus ingresos simplemente imprimiendo dinero. Este tipo de
ingreso del gobierno es llamado de seignioriage. Denote por Mt la oferta de moneda total de una
economía. Entonces el ingreso de seignioriage (en términos reales) en periodo t es dado por
St =
Mt+1−Mt
Pt
. Denotamos por mt = Mt/Pt la oferta de dinero en términos reales.
3 En equilibrio se debe cumplir que la oferta de dinero es igual a la demanda por dinero. Usando
esta condición, escriba el ingreso de seignioriage como un función de gt , it e Yt – o sea, escriba
St = St (gt , it ,Yt ). (Ayuda: Perciba que St =
Mt+1−Mt
Mt
Mt
Pt
= gt MtPt ).
4 Suponga que esperamos que el producto y la tasa de interés de la economía estén constantes
en el tiempo. Además, un economista le dice que la tasa de interesa nominal es igual a la tasa
de interés real (rt) más la tasa de inflación (πt ): it = rt +πt , donde la tasa de inflación es dada
por πt = (Pt+1−Pt )/Pt . Escriba St como una función de rt , Yt y πt .
5 ¿Cuando que una subida en la tasa de inflación de la economía lleva a una subida en St?
Interprete económicamente.
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
4. Función implícita
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Funciones explícitas
• Generalmente, estamos acostumbrados a escribir funciones en la forma
y = f (x1,x2, ...,xn)
• Este tipo de función se denomina función explicita
• Sin embargo, hay relaciones en economía/negocios que no pueden ser
representadas por tales funciones
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Funciones implícitas
• Por ejemplo, suponga que un economista nos ha contado que el PIB
(Y ) está determinado por la siguiente ecuación:
Y
3
2 + log(Y )− log(G) = 0,
donde G = gasto del gobierno (que es fijado por el gobierno)
• No podemos aislar Y como una función de G para escribir Y = f (G)...
• Mas podemos mostrar que para cada G ≥ 0 existe un único Y que
resuelve esta ecuación
• Solamente no conocemos la forma explicita de esta relación
• Decimos que existe una función implícita Y = f (G) que describe la
relación entre G e Y
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Teorema de la función implícita
• ¿Para qué sirve saber que existe una función implícita Y = f (G) si no
sabemos la forma funcional?
• Es ahí donde entra el teorema de la función implícita
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Teorema de la función implícita
Teorema (Teorema de la función implicita, TFI)
Supongamos que sabemos que las variables x e y satisfacen la siguiente
relación
g(x ,y) = c
donde g es una función con derivadas parciales continuas. Sea (x0,y0)
tales que g(x0,y0) = c y suponga que ∂g∂y (x0,y0) 6= 0. Entonces, existe una
función y = f (x) tal que para valores de x suficientemente próximos de x0:
g(x , f (x)) = c
f (x0) = y0
df
dx (x0) =−
∂g
∂x (x0,y0)
∂g
∂y (x0,y0)
(1)
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Teorema de la función implícita
El TFI nos dice dos cosas:
1 Que existe una función implícita f (x) que define y como una función
de x (en una vecindad de cualquier punto (x0,y0) satisface la ecuación
g(x ,y) = c);
2 Que hay una fórmula para computar la derivada de esta función y esta
es dada por la expresión dada en (1)
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Teorema de la función implícita
• Intuitivamente, podemos escribir:
g(x , f (x)) = c
• Usando la regla de cadena para tomar derivadas con respecto a x de
los dos lados de la ecuación:
∂g
∂x (x , f (x)) +
∂g
∂y (x , f (x)) ·
∂f
∂x (x) = 0
• Si ∂g∂y (x , f (x)) 6= 0 podemos escribir:
∂f
∂x (x) =−
∂g
∂x (x , f (x))
∂g
∂y (x , f (x))
=−
∂g
∂x (x ,y)
∂g
∂y (x ,y)
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Teorema de la función implícita
• Volvamos al ejemplo de la motivación donde teníamos:
Y
3
2 + log(Y )− log(G)︸ ︷︷ ︸
g(G,Y )
= 0︸︷︷︸
c
• Por lo tanto tenemos:
dY
dG
(G0) = −
∂g
∂G (G0,Y0)
∂g
∂Y (G0,Y0)
= −
− 1G0
3
2Y
1
2
0 +
1
Y0
=
[(3
2
Y
1
2
0 +
1
Y0
)
G0
]−1
> 0
• Aunque no tenemos conocimiento explícito de la función Y = f (G),
podemos, partiendo de una situación de equilibrio (Y0,G0) saber cómo
el producto varía cuando variamos G
• En este ejemplo, decimos que G es la variable exógena e Y la variable
endógena, porque queremos escribir Y como una función de G
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejemplo: Curvas de inferencia
• Suponga una utilidad u(x ,y)
• Si queremos saber la pendiente de una curva de indiferencia
u(x ,y) = c podemos usar el TFI:
dy
dx =−
ux (x ,y)
uy (x ,y)
x
y
curva de nivel
x0
y0
recta tangente con
pendiente − ux (x0,y0)
uy (x0,y0)
• La pendiente de la curva de indiferencia (con signo invertido)
llamamos de tasa marginal de sustitución (TMS)
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Vectores gradientes
• El vector con las derivadas de una función f (x ,y), dado por
∇f (x ,y)≡ (fx (x ,y), fy (x ,y)), se conoce como vector gradiente
• Perciba que el gradiente es ortogonal a la recta tangente:
(fx (x ,y), fy (x ,y)) ·
(
1,− fx (x ,y)fy (x ,y)
)
= 0
I El producto escalar de dos vectores x = (x1,x2) e y = (y1,y2) es
x · y = x1y1 + x2y2
x
y
curva de nivel
x0
y0
recta tangente con
pendiente − fx (x0,y0)
fy (x0,y0)
∇f (x0, y0) = (fx(x0, y0), fy (x0, y0))
(
1,− fx (x0,y0)
fy (x0,y0)
)
∇f (x0, y0)
90◦
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicios: TFI y el problema del
consumidor
Ejercicio
Suponga que un consumidor tiene función utilidad u(x ,y) = a ln(x) + b ln(y), donde
a> 0, b > 0 y x e y son las cantidades consumidas de dos bienes. Los precios de los
bienes son denotados por px e py . Usando el teorema de la función implícita encuentre
la razón entre la cantidad consumida de los dos bienes, y la fracción de su renta que
este agente gasta con cada bien.
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
TFI y eficiencia
Ejercicio
Considere una economía con dos agentes, A e B, y dos bienes, 1 e 2. Los agentes A y B tienen la
misma función utilidad u(xA1 ,x
A
2 ) = x
A
1 x
A
2 e u(x
B
1 ,x
B
2 ) = x
B
1 x
B
2 , donde x
j
i representa la cantidad
consumida del bien i por el agente j. Algunas curvas de indiferencia están representadas abajo. Las
lineas solidas representan las curvas de indiferencia del agente A y las rayadas del agente B. Esté
atento también a la dirección de los ejes.
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
xA1
xA 2
012345
0
1
2
3
4
5
xB1
xB 2
Un planificador central tiene 5 unidades de cada bien, y esta pensando como distribuir (asignar)
estos bienes entre los dos agentes. Encuentre todas las posibles distribuciones (asignaciones) que
satisfacen el siguiente requerimiento: no se puede subir la utilidad de un agente sin bajar la utilidad
del otro agente.
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
5. Regla de Leibniz
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Regla de Leibniz
• Suponga que tengamos la siguiente función:
F (t) =
∫ t
0
f (x)dx
• La derivada de F en un punto t0 es
dF
dt (t0) = ĺımh→0
{
F (t0 +h)−F (t0)
h
}
• Para h pequeño tenemos
dF
dt (t0)≈
F (t0 +h)−F (t0)
h ≡∆
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Regla de Leibniz
xt0
f (t0)
t0 + h
f (x)
• Queremos computar ∆ = área rojah , que es aproximadamente:
∆ = área rojah ≈
área roja + área azul
h =
f (t0) ·h
h = f (t0)
• Cuando h→ 0, ∆→ dFdt (t0) y
área azul
h → 0 (créanme). Así, tenemos
también que ∆→ f (t0) y luego
dF
dt = f (t0)
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Regla de Leibniz
• ¿Y si ahora tenemos F (t) =
∫ t2
0 f (x)dx? Regla de la cadena:
dF
dt = f (t0) ·2t
• Para una función F (t) =
∫ b(t)
a(t) f (x)dx , donde a(t) y b(t) son funciones
derivables tenemos:
dF (t)
dt =
d
dt
∫ b(t)
a(t)
f (x)dx = f (b(t))db(t)dt − f (a(t))
da(t)
dt
(Regla de Leibniz I)
• Con notación mas resumida:
F ′(t) = f (b(t))b′(t)− f (a(t))a′(t)
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Regla de Leibniz: Generalización
• Hasta ahora la función que estamos integrando también puede
depender de la variable que estamos diferenciando
• Para una función F (t) =
∫ b(t)
a(t) f (x , t)dx , donde a(t), b(t) e f (x , t) son
funciones derivables tenemos:
dF (t)
dt =
d
dt
∫ b(t)
a(t)
f (x , t)dx = f (b(t)) db(t)dt − f (a(t))
da(t)
dt +
∫ b(t)
a(t)
∂f (x , t)
∂t dx
(Regla de Leibniz II)
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicio: Regla de Leibniz
Ejercicio
Sea d(t), el flujo de dividendos que una empresa paga en periodo tempo. Se espera
que esta empresa va dejar de existir en una fecha T (y por lo tanto d(t) = 0, para
todo t > T ). El valor presente en z (hoy) de los flujos de dividendos pagos entre dos
fechas z y T se puede escribir como:
V =
∫ T
z
e−r(t−z)d(t)dt
donde r es la tasa de descuento instantánea (la tasa que paga un bono publico, por
ejemplo). ¿Cómo cambia el valor V de esta empresa al pasar el tiempo t?
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
6. Elasticidades
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Elasticidades
• Sea una función y = f (x). ¿Cual el cambio porcentual en y frente a un
cambio porcentual en x?
• Usando diferenciales:
dy︸︷︷︸
Cambio
absoluto en y
= f ′(x) × dx︸︷︷︸
Cambio
absoluto en x
• Dividiendo por Y multiplicando y dividiendo por X en lado derecho:
dy
y︸︷︷︸
Cambio
porcentual en y
= f ′(x) · xy︸ ︷︷ ︸
Elasticidad de y
con respecto a x
× dxx︸︷︷︸
Cambio
porcentual en y
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Elasticidades parciales
Definición (Elasticidades parciales)
Sea y = f (x1,x2, ...,xn). Entonces definimos la elasticidad parcial de y , o
de f (·), con respecto a xi manteniendo constante todas las demás
variables xj , con j 6= i , como
�y ,xi =
xi
y
∂y
∂xi
• �y ,xi es una notación bastante usada para la elasticidad parcial
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejemplo: Elasticidad
• Función demanda por dinero: MD = f (i ,Y ,P) = PY αi−η (ejercicio
anterior):
�MD ,i =−ηPY
αi−η−1 iMD =−η
�MD ,Y = αPY
α−1i−η YMD =−α
�MD ,P = Y
αi−η PMD = 1
• En este caso las elasticidades son constantes
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Elasticidad y derivada logarítmica
• Suponga que el log de y se relaciona con el log de x1 y x2 de la
siguiente manera:
ln(y) = a ln(x1) +b ln(x2)
• Entonces derivando de los dos lados con respecto a x1:
1
y
∂y
∂x1
= ax1
⇔ a = x1y
∂y
∂x1
= �y ,x1
• O sea:
�y ,x1 =
∂ ln(y)
∂ ln(x1)
• Este resultado es verdad en general. Para cualquier función y = f (x):
ln(y) = ln(f (x)) ⇔ ln(y) = ln(f (eln(x)))
∂ ln(y)
∂ ln(x) =
1
f (eln(x))
f ′(eln(x))eln(x) = f ′(x) xf (x) = �y ,x
37
1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Ejercicio
Ejercicio corto
1 Un economista ha estimado las siguientes relación (causal) entre gasto del
gobierno y PIB:
ln(PIB) = C + 0,5 · ln(Gasto del gobierno)
Interprete.
2 Considere un monopolista con una función demanda decreciente x = D(p),
donde p es el precio y x es la cantidad vendida. Calcule la elasticidad de los
ingresos (R) de este monopolista con respecto al precio, �R,p . Escriba su
respuesta en términos de �x ,p (elasticidad de la demanda).
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Elasticidades de funciones compuestas
• Suponga que y = f (x) e x = g(t)
• Entonces:
�y ,t =
dy
dt
t
y =
(
df
dx
dg
dt
)
t
y
=
(
df
dx
x
y
)(
dg
dt
t
�y
)
�y
x
=
(
df
dx
x
y
)(
dg
dt
t
x
)
= �y ,x �x ,t
• Este resultado generaliza. Si tenemos y = F (x1,x2, . . . ,xn) y
xi = f i (t1, t2, ..., tm), para todo i = 1, ...,n , entonces:
�y ,tj =
n∑
i=1
�y ,xi �xi ,tj
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Elasticidad de sustitución
• Considere una empresa que quiere producir determinada cantidad X a
un costo mínimo
I w = precio del trabajo L
I r = precio del capital K
I F (K ,L) = función de producción
• El costo total es:
C(L,K ) = wL+ rK
• Las curvas de nivel de C(K ,L) son llamadas de isocostos
L
K
isocostos
pendiente = - w/r
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Elasticidad de sustitución
• La empresa quiere producir determinada cantidad (alcanzar
determinada isocuanta) al menor costo posible. Luego el optimo es:
L
K
isocostos
isocuanta
L∗
K∗
óptimo
• En el optimo, la TMS entre capital y trabajo debe ser igual al precio
relativo de los factores:
w
r =
FL(K ,L)
FK (K ,L)
≡ TMSK ,L
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencialtotal 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Elasticidad de sustitución
• Pregunta: ¿Cuando los precios relativos de trabajo y capital (w/r)
cambian X % cuanto es el cambio porcentual el ratio entre capital y
trabajo (K/L) en la elección optima de esta empresa?
• La respuesta a esta pregunta es la elasticidad de sustitución entre K y
trabajo σK ,L:
σK ,L = �(K∗/L∗),(w/r) ≈
∆(K∗/L∗)
(K∗/L∗)
∆(w/r)
w/r
L
K
óptimo
inicial
óptimo cuando
sube w
r
L∗old
K∗old
L∗new
K∗new
• La elasticidad de sustitución mide de alguna manera cuanto la firma
sustituye capital por trabajo cuando sube el precio relativo del trabajo
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Elasticidad de sustitución
• En general, dado una curva definida por F (x1,x2) = c, la elasticidad
de sustitución entre x2 y x1 está dada por
σx2,x1 = �x2/x1,TMSx2,x1
• Es decir:
σx2,x1 =
TMSx2,x1
(x2/x1)
∂ (x2/x1)
∂TMSx2,x1
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
Elasticidad de sustitución
• Se al movernos a lo largo de la curva F (x1,x2) = c cambiamos la TMS
en 1%, entonces x2/x1 ha cambiado aproximadamente σx2,x1 %
x2
TMS = 101
xA1
xA2
xB1
TMS = 100
xB2
∆TMS
TMS = 1% =⇒
(xB
2
/xB
1
)−(xA
2
/xA
1
)
(xA
2
/xA
1
)
1% ≈ σx2,x1
x1
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Ejercicio: Elasticidad de sustitución
Ejercicio corto
¿Cual de las curvas abajo tiene mayor elasticidad de sustitución en el
punto A?
x2
x1
A
B
C
xA1x
B
1x
C
1
xA2
xB2
xC2
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1. Introducción 2. Regla de la cadena 3. Diferencial total 4. Función implícita 5. Regla de Leibniz 6. Elasticidades
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