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Apuntes 6

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Optimización en varias variables con
restricciones de desigualdad
Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios
Sección 3
Apuntes #6
Ultima actualización: 14 de mayo de 2020
1. Introducción
2
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Introducción
• Vamos continuar el estudio de problemas de optimización, todavía
ahora con restricciones de desigualdad
• Ejemplos:
• Un consumidor puede no desear gastar toda su renta si tiene un punto
de saciedad
• Una empresa puede decidir operar abajo de su capacidad, si los salarios
son muy altos, por ejemplo
• La administradora de un fondo de pensión puede elegir menos riesgo en
su portafolio do que la regulación le permite
• Las condiciones de Kuhn-Tucker van permitir resolver muchos
problemas con restricciones de desigualdad
3
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
2. Kuhn-Tucker
4
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Problema del consumidor
• Para motivar pensemos en el problema del consumidor:
máx
(x ,y)
u(x ,y)
s.a. pxx + pyy = I
• Hasta ahora hemos supuesto que el consumidor gasta toda su renta I
• Y debería ser así siempre que ux (x ,y)> 0 y uy (x ,y)> 0, ∀ (x ,y)
• Todavía en muchas situaciones el consumidor puede tener lo que
llamamos de punto de saciedad
• Ejemplo: si x = coca-cola e y = helado es probable que la utilidad no
sea siempre creciente en x e y
• En estos casos, el problema que deberíamos resolver es:
máx
(x ,y)
u(x ,y)
s.a. pxx + pyy≤I
5
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Utilidad con punto saciedad
x
y
u
curvas de
indiferencia
máximo global
(punto de saciedad)
x
y
curvas de
indiferencia
curvas de nivel
de f (x , y)
punto de
saciedad
6
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Problema del consumidor
Consumidor con bajo ingreso
x
conjunto
restricción
x∗
y∗ óptimo
y
• Si I es bajo restricción es activa: Consumidor consume toda su ingreso
• Si resolvemos el problema con restricción de igualdad llegaríamos a la
solución correcta
7
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Problema del consumidor
Consumidor con alto ingreso
x
y
conjunto
restricción
x∗
y∗
óptimo
• Si I es alto, consumidor alcanza su punto de saciedad sin gastar toda
su ingreso
• No podemos suponer restricción de igualdad para resolver
8
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Problema del consumidor y condiciones de
no negatividad
• Cuando escribimos el problema del consumidor como
máx
(x ,y)
u(x ,y)
s.a. pxx + pyy ≤ I
no estamos diciendo en ninguna parte que x ≥ 0 y y ≥ 0
• Cuando sabemos que la restricción presupuestaria si cumple con
igualdad sabemos que las condiciones de Lagrange son necesarias para
un óptimo interior (i.e., con x > 0 e y > 0)
• Por ejemplo, cuando ĺımx→0 ux (x ,y) = uy (x ,y) =−∞ podemos
garantizar que el óptimo es interior...
• Todavía este no es siempre verdad
9
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Problema del consumidor con utilidad lineal
• Suponga que u(x ,y) = ax + by
x
conjunto
restricción
óptimo
y
curvas de
indiferencia
• El óptimo en general no va ser interior
10
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Problema del consumidor con óptimo de
esquina
• Mismo cuando las preferencias no son lineales puede pasar que el
óptimo no es interior
x
conjunto
restricción
óptimo
y
curvas de
indiferencia
• En el óptimo: pendiente restricción 6= pendiente curva de indiferencia
• En este caso, mismo que sepamos que pxx + pyy = I en el óptimo, las
condiciones de Lagrange de poco sirven
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Problema del consumidor general
• Efectivamente el problema del consumidor que queremos resolver es:
máx
(x ,y)
u(x ,y)
s.a. pxx + pyy≤I
x ≥ 0, y ≥ 0
• Si sabemos que en el óptimo pxx + pyy = I, x > 0, y > 0 podemos
usar Lagrange
• Todavía si no lo sabemos de antemano, queremos una manera más
sistemática de resolver este tipo de problema
• Es ahí donde las condiciones de Kuhn-Tucker nos van a ayudar
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Problema canónico
• El problema canónico (P) que vamos resolver es:
máx
(x1,...,xn)
f (x1, ....,xn)
s.a. g1(x1, ...,xn)≤ b1
g2(x1, ...,xn)≤ b2
...
gm(x1, ...,xn)≤ bm
(n variables, m restricciones)
• ¿Y si mi problema tiene restricciones del tipo h(x1, ...,xn)≥ bm?
• Multiplicas las desigualdad por −1 de los dos lados
• ¿Y si tengo un problema de minimización?
• Multiplicas la función objetivo por −1 y resuelve el problema de
maximización
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Restricciones activas y inactivas
• Decimos que una restricción i es activa si en el óptimo
gi (x1, ...,xn) = bi
• Decimos que una restricción i es inactiva si en el óptimo
gi (x1, ...,xn)< bi
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Calificación de restricción
• Suponga que x∗ = (x1, ...,xn) es una solución (P) y tenemos que en x∗
hay m1 restricciones activas
• Sin perdida de generalidad, suponga que las restricciones activas son
las restricciones 1,2, ...,m1
• Decimos que x∗ satisface la calificación de restricción si x∗ es una
solución optima para el siguiente problema:
máx ∇f (x∗) · x
s.t. ∇gj (x∗) · (x − x∗)≤ 0, j ∈ {1, . . . ,m1}
• Hay una condición suficiente para la calificación de restricción en
términos del rango de alguna matriz Jacobiana
• Importante: En este curso, para problemas con restricciones de
desigualdad, pueden suponer que el óptimo siempre cumple la
calificación sin verificarlo (excepto si decimos explícitamente al
contrario)
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Condiciones de Kuhn-Tucker (K-T)
Teorema (Necesidad, Kuhn-Tucker)
Sea f ,g1, ...,gm : Rn→ R funciones con derivadas continuas, y b1, ...,bm números
reales. Suponga que x∗ = (x∗1 , ...,x∗n ) es una solución del problema de maximizar f
sujeto a gi (x1, ...,xn)≤ bi para todo i = 1, ...,m. Además, suponga que x∗ satisface la
calificación de restricción. Defina la función Lagrangiana como antes:
L(x1, ...,xn,λ1, ...,λm) = f (x1, ...,xn)−
m∑
j=1
λj [gi (x1, ...,xn)−bi ]
Entonces, existen multiplicadores λ∗ = (λ∗1 , ...,λ∗m) tales que
(
x∗1 , ...,x∗n ,λ∗1 , ...,λ∗m
)
:
∂L
∂x1
(x∗,λ∗) = 0, ...,
∂L
∂xn
(x∗,λ∗) = 0
λ∗1 [g1(x∗)−b1] = 0, ...,λ∗m [gm(x∗)−bm] = 0 (K-T)
λ∗1 ≥ 0, ...,λ∗m ≥ 0
g1(x∗)≤ b1, ...,gm(x∗)≤ bm
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Kuhn-Tucker: Observaciones
Perciba que relativamente a las condiciones de Lagrange:
1 Reemplazamos ∂L∂λi (x
∗,λ∗) = gi (x∗)−bi = 0 por λ∗i [g1(x∗)−bi ] = 0
Esto implica que si la restricción i no es activa debemos tener λ∗i = 0
2 Adicionamos que los multiplicadores deben ser ≥ 0
Para problemas con restricciones de igualdad el signo de los
multiplicadores no importaba
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
¿Por que restricción no activa ⇒ λi = 0?
Considere el problema del consumidor con punto de saciedad y alto ingreso:
x
y
u
x∗
y∗
óptimoconjunto
restricción
• Óptimo con restricción también es máximo
local sin restricción
• Luego, (x∗,y∗) tienen que ser punto
critico de de u(x ,y): ux = uy = 0
• Lagrangiana (ignorando x ,y ≥ 0) es:
L(x ,y ,λ) = u(x ,y)−λ [pxx + pyy − I]
• Como en el óptimo pxx + pyy − I < 0
debemos tener λ= 0 para que
Lx = Ly = ux = uy = 0
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
¿Por que λi ≥ 0?
• Considere el problema de maximizar f (x ,y) sujeto g(x ,y)≤ b
• El vector gradiente tiene la propiedad que apunta en una dirección que
la función crece (de hecho es la dirección que crece más rápido)
• Ejemplo: si gx (x ,y)> 0 y gy (x ,y)> 0 al subir x e y subimos u
• Luego en la frontera del conjunto restricción el gradiente apunta para
fuera del conjunto restricción
x
y
∇g(x0, y0)
conjunto
restricción
x0
y0
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
¿Por que λi ≥ 0? (cont’d)
• Suponga que en el óptimo (x∗,y∗) la restricciónes activa
• Entonces, las condiciones de K-T implican
∇f (x∗,y∗) = λ∗∇g(x∗,y∗)
• λ∗ > 0: gradientes apuntan en la misma dirección
• λ∗ < 0: gradientes apuntan en direcciones opuestas
x
y
∇g(x0, y0)
conjunto
restricción
x0
y0
∇f (x0, y0)
no puede
ser máximo
x
y
∇g(x0, y0)
conjunto
restricción
x0
y0
∇f (x0, y0)
puede
ser máximo
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Necesidad de K-T
• Si un punto de máximo que satisface la calificación de restricción
existe, las condiciones de K-T lo van detectar
• Pero también pueden detectar puntos que no son máximos
• Las condiciones de K-T son necesarias pero no suficientes para un
máximo
Comparación con Lagrange:
• Perciba que para problemas con restricción de igualdad, el
Lagrangiano detectaba máximos que satisfacían la calificación de
restricción y eran puntos en el interior del dominio
• Si el dominio no era abierto, había siempre que preocuparse si el
máximo no estaba en la frontera del dominio
• Con K-T no necesitamos preocuparnos más con si el máximo está o no
en el interior (desde que, claro, incluyamos todas restricciones del
dominio como restricciones de desigualdad)
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Kuhn-Tucker: Paso a paso
Antes de cualquier cosa, planteamos el problema de maximización poniendo
todas restricciones de desigualdad asociadas. Una vez planteado el
problema seguimos los siguientes pasos:
1 Verificar puntos que violan la calificación de restricción. Todavía en
este curso vamos suponer de antemano no hay óptimos que violan la
calificación para problemas con restricciones de desigualdad ⇒ Vamos
ignorar paso 1 (excepto si explícitamente dicho al contrario).
2 Escribir la lagrangiana del problema.
3 Encontrar todos puntos que satisfacen las condiciones de K-T.
4 Evaluar la función en los puntos que satisfacen las condiciones de K-T.
Dejar como candidatos solamente los valores que llevan a un mayor de
la función.
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Kuhn-Tucker: Paso a paso (cont’d)
• Después de seguir estos pasos, garantizamos que si un punto de
máximo existe, entonces son los puntos que quedan después del paso 4
• ¿Como garantizar que existe? Si el conjunto restricción es cerrado y
acotado podemos usar Weierstrass
• Si no podemos usar Weierstrass, podemos intentar usar condiciones
suficientes que veremos más adelante (después de Prueba 2)
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Ejemplo: Problema del consumidor
• Considere el problema de un consumidor:
máx
(x ,y)
u(x ,y) =−(x +1)2 + y
s.a. 2x + y ≤ 10
− x ≤ 0, −y ≤ 0
Paso 2:
• La lagrangiana es:
L(x ,y ,λ1,λ2,λ3) =−(x +1)2 + y −λ1 (2x + y −10) +λ2x +λ3y
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Ejemplo: Problema del consumidor
Paso 3:
• Las condiciones de K-T son:
∂L
∂x =−2x −2−2λ1 +λ2 = 0,
∂L
∂y = 1−λ1 +λ3 = 0,
λ1(2x + y −10) = 0, λ2x = 0, λ3y = 0, λ1,λ2,λ3 ≥ 0
2x + y ≤ 10, −x ≤ 0, −y ≤ 0
• 5 soluciones para el sistema de igualdades:
C1 = {λ1 = 0,λ2 = 2,λ3 =−1,x = 0,y = 0}, C2 = {λ1 = 1,λ2 = 4,λ3 = 0,x = 0,y = 10},
C3 = {λ1 =−6,λ2 = 0,λ3 =−7,x = 5,y = 0}, C4 = {λ1 = 0,λ2 = 0,λ3 =−1,x =−1,y = 0},
C5 = {λ1 = 1,λ2 = 0,λ3 = 0,x =−2,y = 14}
• Todavía, eliminamos C1, C3 e C4, pues algún multiplicador es negativo
• C5 eliminamos pues no satisface x ≥ 0
• (x ,y) = (0,10) es el único candidato
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Ejemplo: Problema del consumidor
Paso 4:
• En este caso no hay nada que comparar, pues tenemos uno solo
candidato hasta aquí
• (x ,y) = (0,10) es el único candidato
26
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Ejemplo: Problema del consumidor
¿Un máximo existe?
• Si un máximo existe el candidato (x ,y) = (0,10) es punto de máximo
• ¿Un máximo existe? Si! El conjunto restricción es cerrado y acotado:
x
y
conjunto restricción
del consumidor
cerrado y acotado
• Por lo tanto (x ,y) = (0,10) es el óptimo
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Ejercicio
Ejercicio
Resuelva el siguiente problema de optimización:
máx
(x ,y)
f (x ,y) = x + y
s.a. x2 + y2 ≤ 2
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1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
3. Suficiencia global
29
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
Después de Prueba 2.
30
1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global
	Introducción
	Kuhn-Tucker
	Suficiencia global

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