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Optimización en varias variables con restricciones de desigualdad Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios Sección 3 Apuntes #6 Ultima actualización: 14 de mayo de 2020 1. Introducción 2 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Introducción • Vamos continuar el estudio de problemas de optimización, todavía ahora con restricciones de desigualdad • Ejemplos: • Un consumidor puede no desear gastar toda su renta si tiene un punto de saciedad • Una empresa puede decidir operar abajo de su capacidad, si los salarios son muy altos, por ejemplo • La administradora de un fondo de pensión puede elegir menos riesgo en su portafolio do que la regulación le permite • Las condiciones de Kuhn-Tucker van permitir resolver muchos problemas con restricciones de desigualdad 3 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global 2. Kuhn-Tucker 4 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Problema del consumidor • Para motivar pensemos en el problema del consumidor: máx (x ,y) u(x ,y) s.a. pxx + pyy = I • Hasta ahora hemos supuesto que el consumidor gasta toda su renta I • Y debería ser así siempre que ux (x ,y)> 0 y uy (x ,y)> 0, ∀ (x ,y) • Todavía en muchas situaciones el consumidor puede tener lo que llamamos de punto de saciedad • Ejemplo: si x = coca-cola e y = helado es probable que la utilidad no sea siempre creciente en x e y • En estos casos, el problema que deberíamos resolver es: máx (x ,y) u(x ,y) s.a. pxx + pyy≤I 5 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Utilidad con punto saciedad x y u curvas de indiferencia máximo global (punto de saciedad) x y curvas de indiferencia curvas de nivel de f (x , y) punto de saciedad 6 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Problema del consumidor Consumidor con bajo ingreso x conjunto restricción x∗ y∗ óptimo y • Si I es bajo restricción es activa: Consumidor consume toda su ingreso • Si resolvemos el problema con restricción de igualdad llegaríamos a la solución correcta 7 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Problema del consumidor Consumidor con alto ingreso x y conjunto restricción x∗ y∗ óptimo • Si I es alto, consumidor alcanza su punto de saciedad sin gastar toda su ingreso • No podemos suponer restricción de igualdad para resolver 8 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Problema del consumidor y condiciones de no negatividad • Cuando escribimos el problema del consumidor como máx (x ,y) u(x ,y) s.a. pxx + pyy ≤ I no estamos diciendo en ninguna parte que x ≥ 0 y y ≥ 0 • Cuando sabemos que la restricción presupuestaria si cumple con igualdad sabemos que las condiciones de Lagrange son necesarias para un óptimo interior (i.e., con x > 0 e y > 0) • Por ejemplo, cuando ĺımx→0 ux (x ,y) = uy (x ,y) =−∞ podemos garantizar que el óptimo es interior... • Todavía este no es siempre verdad 9 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Problema del consumidor con utilidad lineal • Suponga que u(x ,y) = ax + by x conjunto restricción óptimo y curvas de indiferencia • El óptimo en general no va ser interior 10 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Problema del consumidor con óptimo de esquina • Mismo cuando las preferencias no son lineales puede pasar que el óptimo no es interior x conjunto restricción óptimo y curvas de indiferencia • En el óptimo: pendiente restricción 6= pendiente curva de indiferencia • En este caso, mismo que sepamos que pxx + pyy = I en el óptimo, las condiciones de Lagrange de poco sirven 11 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Problema del consumidor general • Efectivamente el problema del consumidor que queremos resolver es: máx (x ,y) u(x ,y) s.a. pxx + pyy≤I x ≥ 0, y ≥ 0 • Si sabemos que en el óptimo pxx + pyy = I, x > 0, y > 0 podemos usar Lagrange • Todavía si no lo sabemos de antemano, queremos una manera más sistemática de resolver este tipo de problema • Es ahí donde las condiciones de Kuhn-Tucker nos van a ayudar 12 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Problema canónico • El problema canónico (P) que vamos resolver es: máx (x1,...,xn) f (x1, ....,xn) s.a. g1(x1, ...,xn)≤ b1 g2(x1, ...,xn)≤ b2 ... gm(x1, ...,xn)≤ bm (n variables, m restricciones) • ¿Y si mi problema tiene restricciones del tipo h(x1, ...,xn)≥ bm? • Multiplicas las desigualdad por −1 de los dos lados • ¿Y si tengo un problema de minimización? • Multiplicas la función objetivo por −1 y resuelve el problema de maximización 13 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Restricciones activas y inactivas • Decimos que una restricción i es activa si en el óptimo gi (x1, ...,xn) = bi • Decimos que una restricción i es inactiva si en el óptimo gi (x1, ...,xn)< bi 14 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Calificación de restricción • Suponga que x∗ = (x1, ...,xn) es una solución (P) y tenemos que en x∗ hay m1 restricciones activas • Sin perdida de generalidad, suponga que las restricciones activas son las restricciones 1,2, ...,m1 • Decimos que x∗ satisface la calificación de restricción si x∗ es una solución optima para el siguiente problema: máx ∇f (x∗) · x s.t. ∇gj (x∗) · (x − x∗)≤ 0, j ∈ {1, . . . ,m1} • Hay una condición suficiente para la calificación de restricción en términos del rango de alguna matriz Jacobiana • Importante: En este curso, para problemas con restricciones de desigualdad, pueden suponer que el óptimo siempre cumple la calificación sin verificarlo (excepto si decimos explícitamente al contrario) 15 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Condiciones de Kuhn-Tucker (K-T) Teorema (Necesidad, Kuhn-Tucker) Sea f ,g1, ...,gm : Rn→ R funciones con derivadas continuas, y b1, ...,bm números reales. Suponga que x∗ = (x∗1 , ...,x∗n ) es una solución del problema de maximizar f sujeto a gi (x1, ...,xn)≤ bi para todo i = 1, ...,m. Además, suponga que x∗ satisface la calificación de restricción. Defina la función Lagrangiana como antes: L(x1, ...,xn,λ1, ...,λm) = f (x1, ...,xn)− m∑ j=1 λj [gi (x1, ...,xn)−bi ] Entonces, existen multiplicadores λ∗ = (λ∗1 , ...,λ∗m) tales que ( x∗1 , ...,x∗n ,λ∗1 , ...,λ∗m ) : ∂L ∂x1 (x∗,λ∗) = 0, ..., ∂L ∂xn (x∗,λ∗) = 0 λ∗1 [g1(x∗)−b1] = 0, ...,λ∗m [gm(x∗)−bm] = 0 (K-T) λ∗1 ≥ 0, ...,λ∗m ≥ 0 g1(x∗)≤ b1, ...,gm(x∗)≤ bm 16 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Kuhn-Tucker: Observaciones Perciba que relativamente a las condiciones de Lagrange: 1 Reemplazamos ∂L∂λi (x ∗,λ∗) = gi (x∗)−bi = 0 por λ∗i [g1(x∗)−bi ] = 0 Esto implica que si la restricción i no es activa debemos tener λ∗i = 0 2 Adicionamos que los multiplicadores deben ser ≥ 0 Para problemas con restricciones de igualdad el signo de los multiplicadores no importaba 17 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global ¿Por que restricción no activa ⇒ λi = 0? Considere el problema del consumidor con punto de saciedad y alto ingreso: x y u x∗ y∗ óptimoconjunto restricción • Óptimo con restricción también es máximo local sin restricción • Luego, (x∗,y∗) tienen que ser punto critico de de u(x ,y): ux = uy = 0 • Lagrangiana (ignorando x ,y ≥ 0) es: L(x ,y ,λ) = u(x ,y)−λ [pxx + pyy − I] • Como en el óptimo pxx + pyy − I < 0 debemos tener λ= 0 para que Lx = Ly = ux = uy = 0 18 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global ¿Por que λi ≥ 0? • Considere el problema de maximizar f (x ,y) sujeto g(x ,y)≤ b • El vector gradiente tiene la propiedad que apunta en una dirección que la función crece (de hecho es la dirección que crece más rápido) • Ejemplo: si gx (x ,y)> 0 y gy (x ,y)> 0 al subir x e y subimos u • Luego en la frontera del conjunto restricción el gradiente apunta para fuera del conjunto restricción x y ∇g(x0, y0) conjunto restricción x0 y0 19 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global ¿Por que λi ≥ 0? (cont’d) • Suponga que en el óptimo (x∗,y∗) la restricciónes activa • Entonces, las condiciones de K-T implican ∇f (x∗,y∗) = λ∗∇g(x∗,y∗) • λ∗ > 0: gradientes apuntan en la misma dirección • λ∗ < 0: gradientes apuntan en direcciones opuestas x y ∇g(x0, y0) conjunto restricción x0 y0 ∇f (x0, y0) no puede ser máximo x y ∇g(x0, y0) conjunto restricción x0 y0 ∇f (x0, y0) puede ser máximo 20 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Necesidad de K-T • Si un punto de máximo que satisface la calificación de restricción existe, las condiciones de K-T lo van detectar • Pero también pueden detectar puntos que no son máximos • Las condiciones de K-T son necesarias pero no suficientes para un máximo Comparación con Lagrange: • Perciba que para problemas con restricción de igualdad, el Lagrangiano detectaba máximos que satisfacían la calificación de restricción y eran puntos en el interior del dominio • Si el dominio no era abierto, había siempre que preocuparse si el máximo no estaba en la frontera del dominio • Con K-T no necesitamos preocuparnos más con si el máximo está o no en el interior (desde que, claro, incluyamos todas restricciones del dominio como restricciones de desigualdad) 21 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Kuhn-Tucker: Paso a paso Antes de cualquier cosa, planteamos el problema de maximización poniendo todas restricciones de desigualdad asociadas. Una vez planteado el problema seguimos los siguientes pasos: 1 Verificar puntos que violan la calificación de restricción. Todavía en este curso vamos suponer de antemano no hay óptimos que violan la calificación para problemas con restricciones de desigualdad ⇒ Vamos ignorar paso 1 (excepto si explícitamente dicho al contrario). 2 Escribir la lagrangiana del problema. 3 Encontrar todos puntos que satisfacen las condiciones de K-T. 4 Evaluar la función en los puntos que satisfacen las condiciones de K-T. Dejar como candidatos solamente los valores que llevan a un mayor de la función. 22 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Kuhn-Tucker: Paso a paso (cont’d) • Después de seguir estos pasos, garantizamos que si un punto de máximo existe, entonces son los puntos que quedan después del paso 4 • ¿Como garantizar que existe? Si el conjunto restricción es cerrado y acotado podemos usar Weierstrass • Si no podemos usar Weierstrass, podemos intentar usar condiciones suficientes que veremos más adelante (después de Prueba 2) 23 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Ejemplo: Problema del consumidor • Considere el problema de un consumidor: máx (x ,y) u(x ,y) =−(x +1)2 + y s.a. 2x + y ≤ 10 − x ≤ 0, −y ≤ 0 Paso 2: • La lagrangiana es: L(x ,y ,λ1,λ2,λ3) =−(x +1)2 + y −λ1 (2x + y −10) +λ2x +λ3y 24 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Ejemplo: Problema del consumidor Paso 3: • Las condiciones de K-T son: ∂L ∂x =−2x −2−2λ1 +λ2 = 0, ∂L ∂y = 1−λ1 +λ3 = 0, λ1(2x + y −10) = 0, λ2x = 0, λ3y = 0, λ1,λ2,λ3 ≥ 0 2x + y ≤ 10, −x ≤ 0, −y ≤ 0 • 5 soluciones para el sistema de igualdades: C1 = {λ1 = 0,λ2 = 2,λ3 =−1,x = 0,y = 0}, C2 = {λ1 = 1,λ2 = 4,λ3 = 0,x = 0,y = 10}, C3 = {λ1 =−6,λ2 = 0,λ3 =−7,x = 5,y = 0}, C4 = {λ1 = 0,λ2 = 0,λ3 =−1,x =−1,y = 0}, C5 = {λ1 = 1,λ2 = 0,λ3 = 0,x =−2,y = 14} • Todavía, eliminamos C1, C3 e C4, pues algún multiplicador es negativo • C5 eliminamos pues no satisface x ≥ 0 • (x ,y) = (0,10) es el único candidato 25 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Ejemplo: Problema del consumidor Paso 4: • En este caso no hay nada que comparar, pues tenemos uno solo candidato hasta aquí • (x ,y) = (0,10) es el único candidato 26 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Ejemplo: Problema del consumidor ¿Un máximo existe? • Si un máximo existe el candidato (x ,y) = (0,10) es punto de máximo • ¿Un máximo existe? Si! El conjunto restricción es cerrado y acotado: x y conjunto restricción del consumidor cerrado y acotado • Por lo tanto (x ,y) = (0,10) es el óptimo 27 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Ejercicio Ejercicio Resuelva el siguiente problema de optimización: máx (x ,y) f (x ,y) = x + y s.a. x2 + y2 ≤ 2 28 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global 3. Suficiencia global 29 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Después de Prueba 2. 30 1. Introducción 2. Kuhn-Tucker 3. Suficiencia global Introducción Kuhn-Tucker Suficiencia global
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