Capítulo 2

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2.0. Funciones homogéneas y funciones homotéticas
2.1. Regla de la cadena y Diferenciales Totales. Ecuación de Leibniz.
2.2. Derivadas de funciones implícitas. Ecuación general de la tangente.
2.3. Elasticidades parciales
Bibliografía: SHC, Capítulo 16, secciones 16.1, 16.3-16.6, 16.8
Cap. 2 -Técnicas de Estática Comparativa 
Cap. 2 -Técnicas de Estática Comparativa 
La estática comparativa, estudia y compara las variables y/o parámetros que están
implícitas en estas dos posiciones de equilibrio, sin considerar el período de
transición ni el proceso de ajuste, lo cual estudiaremos mas adelante en la parte
dinámica de este curso.
 Muchos modelos económicos utilizan funciones compuestas, es decir,
funciones de una o mas variables, que a su vez son funciones de otras
variables, es por eso que en este capítulo nos preocuparemos de las
derivadas implícitas, utilizando la regla de la cadena
Ejemplo: Una función de producción Y depende de K y de L, ahora suponga que
ambos factores en su expresión más simple, dependerán de un factor adicional t.
Piense que t puede ser un índice de tiempo, pero puede también ser una medida
cultural, social, temperatura, etc. Es una variable que golpea tanto a K como a L
cuando cambia.
2.0. Funciones Homogéneas
Homogeneidad: Una función real se dice
que es homogénea de grado si, cuando se amplifican todos sus argumentos
por un mismo factor constante positivo, digamos c, con
entonces el resultado se amplifica en un
monto igual a .
En símbolos: Sea .
Si > 0, y ,
entonces (.) es una función homogénea de grado .
Funciones Homogéneas: Aplicación a Retornos de Escala 
Se dice que si una función de producción es homogénea de grado 1, es
una tecnología con retornos constantes a escala.
Si es homogénea de grado menor a 1, es una tecnología con retornos
decrecientes a escala. Análogamente, homogénea de grado mayor a 1
se llama tecnología con retornos crecientes a escala.
Nota: Esta caracterización de retornos a escala no es apropiada para funciones no homogéneas.
Preguntas: Son las siguientes funciones homogéneas? De qué grado? Qué
podemos decir de sus retornos a escala?
a) Cobb-Douglas:
b) Arrow-Chenery-Minhas-Solow:
𝟏
𝝉
𝟏
𝝉
Funciones Homogéneas: Aplicación a Retornos de Escala 
a) Cobb-Douglas:
Primero, se amplifica cada argumento por c > 0:
F homogénea de grado (a+b), por lo que presenta retornos crecientes,
constantes o decrecientes a escala dependiendo si (a+b) es mayor, igual, o
menor a uno, respectivamente.
b) Arrow-Chenery-Minhas-Solow: con
Primero, se amplifica cada argumento por c > 0: 
G homogénea de grado 1 (retornos constantes a escala)
Notas sobre rendimientos a escala
Rendimiento de escala.
Refleja la respuesta del producto total, cuando simultáneamente todos los
factores se incrementan proporcionalmente. Las propiedades técnicas de la
producción en el largo plazo se establecen en torno al concepto de rendimientos a
escala. Escala significa el tamaño de la empresa medido por su producción
Rendimientos Constantes de escala. Si multiplicamos todos los factores por la
cantidad “t” y la producción se multiplica por esa misma cantidad “t”, hay
rendimientos constantes de escala
Rendimientos Crecientes de escala. Si multiplicamos todos los factores por la
cantidad “t” y la producción se multiplica por una cantidad mayor a “t”, hay
rendimientos crecientes de escala
Rendimientos Decrecientes de escala. Si multiplicamos todos los factores por la
cantidad “t” y la producción se multiplica por una cantidad menor a “t”, hay
rendimientos decrecientes de escala
Funciones Homogéneas y Conos
Definición (CONO): Si
RAYO: Entonces D es un CONO
Ejemplo
es una función Homogénea de grado (-1)
Definición alternativa de Función Homogénea
Sean un CONO y decimos que “f es homogénea de grado ”
Si 
El grado “ ” es una constante que puede ser “-”; “0” o “+”
Funciones Homogéneas: Teorema de Euler
Teorema de Homogeneidad de Euler
con D cono abierto y primeras derivadas parciales continuas,
entonces
Ejemplo CD
• CD: es homogénea de grado , Además
• 𝑲 𝑳
Ejemplo CD general:
• Es homogénea de grado además se cumple que:
•
Funciones Homogéneas: Otras Propiedades
Si la función es homogénea de grado k, entonces se cumple que:
1) Sus derivadas parciales de primer orden son homogéneas de grado (k -1)
(por ende, las derivadas parciales de segundo orden son homogéneas de grado (k-
2), y así sucesivamente)
2) Es verdad que
(Fácil! Como vale para todo c>0, es cosa de elegir o en cada caso)
3) Si x e y >0 entonces
(Fíjense: Viene de combinar 1) arriba con el Teorema de Euler)
Funciones Homogéneas: Otras Propiedades
Homoteticidad
Definición (Función Homotética)
Sean un CONO y decimos que “f es homotética”
Cuando
Ejemplo: Si “u” es una función de utilidad de un consumidor, tal que al
consumidor, le es indiferente elegir entre dos canastas , es decir,
:
 Si los bienes de ambas canastas son aumentadas o disminuidas en la misma
proporción, y la función u es homotética, entonces, las nuevas canastas le
seguirán siendo indiferentes a este consumidor
Una función homogénea de cualquier grado es también homotética
Si “f” es homogénea; y si ; 
Funciones Homotéticas
Teorema
Si H es una función estrictamente creciente y si f es una función homogénea de
grado k, entonces:
es una función homotética
Funciones Homotéticas
Ejemplo


entonces: es 
homotética 
Demostración
Sea ; por demostrar que:
Toda función homogénea es también homotética, sin embargo, el recíproco NO
es verdadero
Contra Ejemplo
De acuerdo al ejemplo anterior:
; es HOMOTETICA
Sin embargo, NO es HOMOGENEA
Solución
(No existe un valor de “k” para el cual eso sea posible de expresar)
Funciones Homotéticas
Por qué es importante el resultado anterior?
Funciones Homotéticas
El caso de Hugo, Paco y Luis
• Aparte de lo que les dan en su casa, los hermanos Hugo, Paco y Luis 
consumen gigas de datos ( ) y recargas de gift cards de iTunes ( ). 
• Hugo tiene función de utilidad . Esta utilidad es 
homogénea de grado 1.
• Paco tiene función de utilidad . Pero ya vimos que 
esta función no es homogénea de ningún grado.
• Luis tiene una utilidad . Esta función tampoco es 
homogénea. 
• Sin embargo, cada uno de ellos toma decisiones muy parecidas
Funciones Homotéticas
• , , . 
o Fijemos , como ejemplo, en 0.2 
• Calculemos la utilidad de cada uno para , y para 
. 
• Fíjense que cada pato está indiferente entre (10,10) y (5, 11.89). Por lo tanto, 
esos dos vectores se encuentran en la misma curva de nivel de utilidad para 
cada pato. Pero el nivel de cada curva es distinta
x y U(Hugo) U(Paco) U(Luis)
10.00 10.00 10.00 2.30 22.00
5.00 11.89 10.00 2.30 22.00
t=72 720.00 720.00 720.00 6.58 732.00
t=72 360.00 856.23 720.00 6.58 732.00
t=0.2 2 2 2.00 0.69 14.00
t=0.2 1 2.37842 2.00 0.69 14.00
Para poder abordar la mayoría de los problemas en Economía y en Management
Science es en la construcción de un modelo
Supongamos que cambiamos los parámetros de un modelo. ¿Cómo cambian los
resultados?
Dos opciones: (a) resolvamos todo de nuevo con los nuevos parámetros (fome,
ineficiente), o (b) utilizar estática comparativa.
La estática comparativa permite comparar distintos estados de equilibrio,
generados por cambios en los parámetros o en variables exógenas. Sólo se
compara el equilibrio inicial (pre-cambio) con el estado de equilibrio final (post-
cambio), no se analiza el proceso dinámico de ajuste de las variables.
Cap. 2 -Técnicas de Estática Comparativa 
2.1. REGLA DE LA CADENA
Caso simple bivariado:
;
Caso multivariado:
+….+
2.1–REGLA DE LA CADENA Ejemplo 1
Sea: donde .
• Obtener:
1) Regla Cadena
Ahora reemplazamos x e y por sus correspondientes funciones
2) Otro camino (comprobación): Reemplazando x e y por sus correspondientes 
funciones de t y luego derivando respecto a t
2.1–REGLA DE LA CADENA Ejemplo 2
Supongamos que el bienestar u de un grupo de habitantes en una sociedad
depende de dos variables: el total de bienesproducidos y consumidos c y el nivel
de esfuerzo x, tal que: .
Supongamos que el nivel de consumo es una función creciente de x, es decir:
c
Así entonces:
 Encontrar la utilidad marginal del esfuerzo x:
•
• la utilidad marginal del esfuerzo es:
2.1–REGLA DE LA CADENA Tareas para practicar en casa
Aproximación Lineal a la función z: Diferenciales totales
Recordemos que para el caso 
de una función de una variable
El diferencial se define 
como una v. indpdte., es decir 
puede tomar libremente un 
valor real cualquiera.
Así entonces el diferencial , 
se define en términos del 
diferencial de la siguiente 
forma: 
 representa el cambio en altura de la curva y = f (x) 
 dy representa el cambio en altura de la tangente 
cuando x cambia una cantidad dx=
Aproximación Lineal a la función z: Diferenciales totales
Generalizando el caso de una función de una variable, al caso de una función de 
dos variables ), definimos los diferenciales como variables 
independientes, es decir, pueden ambos libremente tomar cualquier valor real, 
entonces el diferencial se define de la siguiente manera
Definición
Sea una función de dos variables, se 
define el diferencial llamado también como 
DIFERENCIAL TOTAL a:
Diferenciales totales (caso dos variables)
Si tomásemos: , entonces: 
Por lo tanto, en la aproximación lineal del plano tangente: 
Se puede afirmar que: 
Teorema
Si las derivadas parciales existen cerca de (a, b) y son continuas en (a, b), 
entonces f es diferenciable en (a, b).
Aproximación Lineal a la función z: Diferenciales totales
Ejemplo: Demuestre que es diferenciable en (1, 0) y determine 
su linealización en dicho punto. Luego úsela para aproximar f (1.1, -0.1)
 ; 
 ; 
; son continuas en el punto (1,0), por el teorema precedente 


 En el punto (1,0): 
Diferenciales totales (caso tres variables)

 Aproximación Lineal:
+ +
 Incremento:
 Diferencial: + +
Si: Entonces 

 Aproximación Lineal:
Diferenciales totales (Ejemplo)
a) Si , determine la diferencial total 
Por otra parte: 



 Aproximación: ( es más fácil de calcular)
b) Si x cambia de 2 a 2.05, e , y pasa de 3 a 2.96, compare los valores 
Diferenciales totales (Ejemplo aplicado)
La utilidad de un consumidor vegano que solamente consume kale y lechugas
viene dada por Ayer, consumiendo 400 gramos de kale y 8
lechugas, obtuvo una utilidad de 8000 “felicidades”. En sus compras de hoy,
vienen 405 gramos de kale y 10 lechugas, lo que le entrega una utilidad de
8671.4 “felicidades”. El cambio fue de 671.4. Podríamos calcular los mismos
cambios de manera aproximada usando diferenciales
El error de aproximación de usar diferenciales fue 45.2 
Tarea: hacer lo mismo para un aumento a 401 gramos de kale y 8.1 lechugas. 
Teorema de Leibniz (versión general)
(Nótese que cuando t varía, 
los límites de integración y 
el integrando también 
cambian con t)
Intuición:
Teorema de Leibniz (caso particular)
(Nótese que cuando t varía, 
los límites de integración y 
el integrando también 
cambian con t)
Para esta segunda versión, 
fíjese que cuando f(x) no 
depende de t, la expresión es 
más fácil y el término final 
desaparece
Leibniz: Ejemplo 1
Para cada uno de los siguientes tres casos, obtener: 
(nótese que el integrando f no depende de t).
b) F (nótese que los límites a,b no dependen de t).
c) F (Aquí el integrando y los límites dependen de t)
Resolveremos solamente c) en clases. Los otros dos quedan de tarea.
c) 
Leibniz: Ejemplo 2
Supongamos que una empresa tiene un flujo 
En el instante el valor presente descontado de los flujos futuros es:
 Usando Leibniz: Obtener , el cambio instantáneo del valor 
presente en el período s.
SE DEBE TENER MUCHO CUIDADO AL APLICAR LEIBNIZ EN ESTE CASO, DADO 
LA POSIBLE CONFUSION DE LAS VARIABLES INVOLUCRADAS
 De acuerdo a la definición: 
 De acuerdo al problema planteado: 
 Es decir en la fórmula de Leibniz: “s” juega el papel de “t”
 Por otro lado en la fórmula de Leibniz “t” juega el papel de la “x”
Por lo tanto por Leibniz tenemos:
Que al aplicarlo a 
( )
( )
Leibniz: Ejemplo 2
En la expresión obtenida: podemos despejar r
(TIPRI)
En el instante s, la empresa gana , además el valor descontado de los
beneficios futuros crece a la tasa instantánea
Si al comparar la TIPRI con la tasa instantánea proporcional de rendimiento de
una inversión relativamente segura (como por ejemplo, la de los bonos del BC, )
- Si TIPRI , al dueño de la inversión le conviene vender el negocio al valor
en el instante s y comprar bonos
- Si TIPRI , a los tenedores de bonos del BC les convendría vender y
comprar participación en esta empresa.
Leibniz: Ejemplo 2
2.2 –Derivadas implícitas y funciones implícitas 
Suponemos una ecuación de la forma: , la cual, define a la variable
“y” implícitamente como una función de “x”, es decir, Por lo tanto:
Aplicando regla de la cadena a ambos miembros tenemos:
El teorema de la función implícita, que mostramos después del siguiente
ejemplo, proporciona condiciones en las cuales es válida esta última expresión
2.2 –Derivadas implícitas y funciones implícitas: Ejemplo
con ; Obtener
1. Usando Teorema:
; 
2. Aplicando Regla de la cadena en miembro izquierdo (como se hizo antes)
3. Nótese que en este caso es posible despejar y en función de x y luego derivar
respecto a x
2.2 Teorema de la función implícita con dos incógnitas
Sea F una función con derivadas parciales continuas en una región , y 
sea tal que 
Entonces
• un disco centrado en el punto
• una función con derivada continua en D tal que:
es solución de la ecuación , es decir, se verifica que
Además se cumple que la derivada de la función está dada por:
c)
2.2 Teorema de la función implícita y Ecuación Recta Tangente
En la práctica, se conoce el valor de la función y(x) en el punto . Por lo 
tanto, conocemos: 
 Nótese que la pendiente de la recta tangente a
 Por lo tanto, usando la ecuación punto-pendiente de una recta, tenemos que la
ecuación de la tangente a , esta dada por:
2.2 Teorema de la función implícita y Ecuación Recta Tangente
𝒙 𝟎 𝟎 𝒚 𝟎 𝟎
El vector GRADIENTE es 
ORTOGONAL a la TANGENTE 
en el punto
Corresponde a la pendiente de la 
curva de nivel de la función 
en el punto 
2.2 –TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA
Ejemplo: Para la ecuación: , comprobaremos que en un entorno 
cercano del punto se puede definir implícitamente la variable “y como 
función de x”
•
•
• 
Se cumplen las condiciones del teorema, por lo tanto, existe una única función 
que pasa por el punto , cuya pendiente es igual a -6 
La función que cumple con las condiciones anteriores corresponde a la 
ecuación de la tangente que pasa por dicho punto: 
2.2 Teorema de la función implícita con tres incógnitas
Sea F una función con derivadas parciales continuas en una región , y sea 
tal que 
Entonces
• Existe un disco centrado en el punto , además
• Existe una función z: con derivadas parciales
continuas en D tal que:
que es solución de la ecuación , es decir, se verifica que
Además se cumple que las derivadas parciales de la función z están dadas por:
c)
2.2 Teorema de la función implícita y Ecuación Plano tangente
Este teorema nos dice que la superficie de ecuación F(x, y, z) = 0 cerca del punto 
, coincide con la gráfica de la función z(x, y).
Sabemos además que la ecuación del plano tangente a dicha superficie en el 
punto es:
Y que a partir del teorema, podemos decir que el plano tangente esta dado por:
+
2.2 Teorema de la función implícita con tres incógnitas
Ejemplo: Comprobar que en la ecuación: , la 
variable z se puede expresar como una función de las variables x e y, vale decir, 
alrededor del punto (1,1,1).
•
•
•
•
La función que cumple con las condiciones anteriores corresponde a la 
ecuación del plano tangente que pasa por dicho punto:
2.3. Elasticidades Parciales en Economía
Definición
Sea z , definimos la elasticidad parcial de z, con respecto a ,
manteniendotodas las demás variables , como:
 Calcula el cambio porcentual
en z como respuesta a un
cambio porcentual en
manteniendo todas las demás
variables constantes
2.3. Elasticidades Parciales en Economía
Ejemplo 1
Obtener la elasticidad de respecto a x donde
Primer método (directo)
Observación: Es posible verificar que en general se puede reescribir:
Segundo método (vía logaritmos):
2.3. Elasticidades Parciales en Economía
Ejemplo 2
Supongamos que en un mercado, se venden dos bienes (dados y naipes) a los
precios unitarios “p” y “q” respectivamente, supongamos que las demandas de
ambos bienes dependen de dichos precios. Todo otro factor que pueda influir en
la demanda se asume constante.
Consideremos que:
• La demanda del primer bien como:
•
Obtenga una expresión que relacione el cambio proporcional de con
respecto al tiempo con las elasticidades parciales
2.3. Elasticidades Parciales en Economía
Ejemplo 2
• Utilizando regla de la cadena tenemos:
• Antes de modificar la expresión anterior, veamos primero, las correspondientes
fórmulas de las elasticidades que nos piden utilizar:
• Por lo tanto, multiplicando ambos miembros por y amplificando
convenientemente ambos términos del lado derecho, tenemos:
+ 
• El lado izquierdo de la ecuación corresponde al cambio proporcional de la demanda
en el tiempo como función de los cambios proporcionales en los precios
multiplicados por las elasticidades. Notar que esta ecuación es similar a la del
diferencial total pero en vez de cambios ahora tenemos cambios proporcionales
2.3. Elasticidades de Funciones Compuestas
Definición
Sea donde las variables son potencialmente funciones de
una serie de otras m variables, esto es, ,...,m
entonces la elasticidad de está dada por:
Para determinar la elasticidad de la variable dependiente “z” con respecto de la
variable básica “ utilizamos las distintas combinaciones de las elasticidades de
“z” con las variables auxiliares intermedias multiplicadas por las
elasticidades de las variables intermedias con la básica
2.3. Propiedades de las Elasticidades 
Si “f” y “g” son ambas funciones de “x” y si “A” es una constante, entonces se
verifican las siguientes propiedades para las elasticidades:
Para obtener elasticidades de funciones compuestas, se requieren estas propiedades
2.3. Elasticidades de Funciones Compuestas
Ejemplo :
. 
D t
•
• Como:
• =0,203
• =0,763
• *t*0,0181 =0,0181t
2.3. Elasticidades de Sustitución
 Un concepto de elasticidad muy usado en economía y administración es la
elasticidad de sustitución
 Esta medida de elasticidad se refiere al grado de sustitución entre bienes o
factores en una isocuanta (si hablamos de producción) o una curva de
indiferencia (si hablamos de preferencias o utilidad)
 Primero recordemos que para una curva de nivel dada por c, la
pendiente de la curva de nivel está dada por:
 Además se llama Tasa Marginal de Sustitución a:
2.3. Elasticidades de Sustitución
Definición (Elasticidad de Sustitución)
Dada la curva de nivel , se define la:
Elasticidad de sustitución entre la variable “y” y la variable “x”
A la elasticidad existente entre esto es:
es la elasticidad de la fracción con respecto a la Tasa Marginal de Sustitución,
en otras palabras, es la variación porcentual de la fracción , cuando nos movemos
sobre la curva de nivel para que la crezca en un 1%
2.3. Elasticidades de Sustitución
Dada una asignación o combinación original (y/x) y una TMS específica en la
asignación o combinación original, cuanto mayor sea la elasticidad de sustitución,
significa que es más probablemente que el agente vaya a sustituir.
Fíjese que puede ser, en algunos casos, conveniente escribir la elasticidad de sustitución
de la siguiente manera:
(o sea, sacar la TMS, reescribir todos los x,y como x/y, y derivar)
Obviamente, el requisito para poder hacer este cambio es que tanto la función implícita
como su inversa estén bien definidas.
2.3. Elasticidades de Sustitución: Ejemplo Cobb-Douglas
Obtener la elasticidad de sustitución de la función de CD
 La esta dada por:
 Por lo tanto
2.3. Elasticidades de Sustitución: 
Ejemplo CES (Arrow-Chenery-Minhas-Solow, 1961)
La función de Arrow-Chenery-Minhas-Solow es famosa porque su
elasticidad de sustitución es una constante, y por ende, también se la conoce
como “Constant Elasticity of Substitution”, o “CES”
Calculamos sus marginales: 
Con lo que .
Tomando ln a ambos lados queda .
Así: 
2.3. Elasticidades de Sustitución: 
Ejemplo CES (Arrow-Chenery-Minhas-Solow, 1961)
Es interesante ver que la función CES es una generalización de otras
funciones. Si , vemos que CES Cobb Douglas:
• Tomando ln(.):
• Vean que , y que . 
• Podemos usar l’Hopital para solucionar, derivando arriba y abajo:
•
• Asimismo, en la CES, 
• (elasticidad de sustitución Cobb-Douglas). 
2.3. Ejemplo 3
Suponga la siguiente función de producción: . Donde Q representa
la producción, K es la cantidad de horas-máquina y L se refiere a la cantidad de
horas-trabajador. En la actualidad, K = 2, L = 1 y Q = 16.
a) Encuentre la TMS ( ), entre K y L, como función del uso de factores.
b) ¿Es la función homogénea? ¿Homotética? Explique clara y detalladamente.
c) Son los factores de producción sustitutos o complementarios? Explique.
d) Calcule la elasticidad parcial de Q respecto a K, en el punto actual.
e) ¿Es la función de producción cóncava, convexa o ninguna de las dos, en el punto
en que se encuentra la empresa en la actualidad?
f) Encuentre la ec. del plano tangente en (K; L; Q) = (2; 1; 16). Use el resultado
para aproximar y explique, usando su respuesta en d), si
esta aproximación subestima o sobreestima el verdadero valor de Q en ese punto.