Capítulo 6 Parte 1

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Capítulo 6: Sistemas Dinámicos
- En nuestra profesión necesitamos estudiar la evolución de los valores de una
(o más) variable(s) en distintos instantes del tiempo.
- Estudiamos el comportamiento futuro de ella(s) para poder tomar decisiones
- Matemáticamente: Este tipo de situaciones se reduce a estudiar un sistema
dinámico y la evolución del mismo a lo largo de su duración
 Si la variable tiempo es tratada de manera discreta, se utilizan ecuaciones
en diferencias.
 Si la variable tiempo es tratada de manera continua, la evolución se
estudia mediante ecuaciones diferenciales.
 Por las limitaciones de espacio del semestre, no lograremos avanzar tanto
como nos gustaría en estos temas avanzaremos en algunos tópicos
introductorios solamente.
Introducción a Sistemas Dinámicos
• No siempre recopilamos los valores que debe tomar la función con la que se
modela la situación en cada instante de tiempo
• Sólo sabemos lo que ocurre para determinados períodos de tiempo: (p.ej., diario,
semanal, mensual, trimestral, anual)
• Tal situación la encontramos, por ejemplo, cuando en el ámbito de las Finanzas se
estudian préstamos u operaciones de constitución de capital, en los que no se
conoce qué ocurre en cada instante de tiempo, sino sólo el resultado al final (o
principio) de cierto período de tiempo establecido.
• En tales casos, el modelo matemático se expresa mediante un tratamiento discreto
de la o las variables involucradas.
• Este tratamiento discreto del problema conlleva la resolución de lo que se denomina
una ecuación en diferencias finitas (EDF).
• Existen ecuaciones en diferencias no finitas (y su estudio involucra condiciones de
estabilidad establecidas por el matemático Richard Bellman) que no estudiaremos en
este curso.
Definiciones: Sistemas Dinámicos
Un sistema dinámico es una variable o un grupo de variables que evolucionan
en el tiempo t de acuerdo a una función
Esto es, si las variables son entonces
Indicando que para el tiempo , las variables toman el valor , que se obtiene
a partir de la función .
 Dependiendo del conjunto reconocemos dos tipos de sistemas dinámicos:
1. En tiempo discreto. 2. En tiempo continuo.
 El sistema dinámico en tiempo discreto, corresponde al concepto de sucesión.
 En general, en nuestro curso, consideraremos mayoritariamente sistemas
dinámicos de una sola variable.
 Para el caso de se requiere tratamiento matricial.
Definiciones: Sistemas Dinámicos
Definición (Sistema dinámico en tiempo discreto)
Decimos que el sistema dinámico , con ocurre en tiempo discreto
(o es en tiempo discreto) si .
En este caso escribimos 
Es decir, cuando se considera el tiempo como discreto, lo simbolizaremos como
subíndice. (En este caso corresponde al concepto de SUCESIONES)
Definición (Sistema dinámico en tiempo continuo)
Decimos que el sistema dinámico , con ocurre en tiempo
continuo (o es en tiempo continuo) si D es un intervalo de .
Cuando se considera el tiempo como continuo, lo simbolizaremos como
Ejemplo 1: Evolución dinero en el tiempo
Una persona deposita en año un monto de $1 mill. en un banco. Ese dinero
es capitalizable anualmente a una tasa de interés compuesto anual
Luego la evolución anual de este monto de dinero corresponde a un sistema
dinámico, dado por:
Ejemplos: Sistema Dinámico en tiempo discreto
Sistema dinámico en tiempo discreto,
donde t representa la cantidad de años
que han pasado, desde el inicio con un
capital inicial de (m$).
Nótese que en este caso tenemos una
sucesión que es una progresión
geométrica divergente de primer
término 1 y razón 1,05. 0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
5,000
0 5 10 15 20 25 30
𝑥 = 1,05
Ejemplo 2: Evolución dinero en el tiempo
Si en el ejemplo anterior, se le incorpora un retiro anual del 10%,
Entonces la evolución anual de este nuevo monto de dinero, corresponde a un
sistema dinámico, dado por:
Ejemplo: Sistema Dinámico en tiempo discreto
Sistema dinámico en tiempo discreto,
donde t representa la cantidad de años
que han pasado, desde el inicio con un
capital inicial de (m$).
Nótese que en este caso tenemos una
sucesión que es una progresión
geométrica convergente de primer
término 1 y razón 0,945. 0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
0 5 10 15 20 25 30
𝑥 = 0,945
Ejemplo 3: Evolución dinero en el tiempo
Si en el ejemplo 1, todo es igual, excepto, que la capitalización cambia de
acuerdo a la siguiente lista más abajo. Entonces, la evolución anual de este nuevo
monto de dinero corresponde a un Sistema Dinámico en tiempo discreto
a) Semestral:
b) Trimestral:
c) Mensual:
d) Semanal:
e) m capitalizaciones anuales:
Ejemplo: Sistema Dinámico en tiempo discreto
Estos ejemplos corresponden a sistemas dinámicos en tiempo DISCRETO
Todos ellos serán soluciones de una ECUACIÓN en DIFERENCIAS
Si para el crecimiento discreto de los ejemplos anteriores, deseamos obtener el
crecimiento instantáneo, hacemos tender el número de capitalizaciones anuales
m a infinito. Recordemos que:
(número de Euler)
En el caso relevante para nosotros:
= 
Ejemplo 4: Sistema Dinámico en tiempo continuo
lo que corresponde a un sistema dinámico en tiempo continuo,
el cual será solución de una ECUACIÓN DIFERENCIAL
Es utilizado en el crecimiento instantáneo de poblaciones, en este caso a una 
tasa anual .
 Una EDF de orden k relaciona a con (Es la Ley de Formación)
Ecuaciones en Diferencias y Diferenciales 
Definición (Ecuación en diferencias finita, EDF)
Sea con , una función definida .
Una EDF de orden k es la relación:
 Una solución de una EDF es un sistema dinámico en tiempo discreto,
que verifica la EDF (donde es una condición inicial específica).
 Los ejemplos 1 y 2 de evolución dinero en el tiempo son soluciones de las
EDF de primer orden con : ;
 Ojo: Si no hay condición inicial fija o conocida, la solución no es única (lo
verificaremos más adelante)
 Nuestro principal objetivo será describir los sistemas dinámicos a partir de su
evolución/ley de formación, y desde un punto de partida. Ejemplos 1-2:
 Los sistemas de EDF de orden 1 pueden analizarse gráficamente mediante los
llamados Diagramas de Fase
𝒕 𝟏 𝒕
𝒕 𝟏 𝒕
𝒕 𝟏 𝒕
𝒕 𝟏 𝒕
Ecuaciones en Diferencias y Diferenciales 
Ecuaciones en Diferencias y Diferenciales 
Definición (Ecuación Diferencial, EDIF)
Sea con , una función definida
. Una Ecuación Diferencial de orden k es la relación:
Donde: es la derivada de orden j de respecto a t.
 Una solución de una EDIF, es un sistema dinámico en tiempo continuo,
que la verifica para
 Se llama orden de la ecuación diferencial al mayor orden de derivación que
aparece en la ecuación
. Es una ec. diferencial de orden 1 (k = 1)
• ; donde C es una constante de integración (no arbitraria)
Ecuaciones en Diferencias y Diferenciales 
• Se cumple que :
• Por lo tanto, es solución de la EDIF de primer orden
 Debe notarse que la solución de la EDIF no es única, depende del valor de
hay infinitas soluciones de la EDIF (dependiendo de C)
Consideremos el problema de encontrar una solución a la siguiente ecuación en diferencias de
orden k
La cual verifica las siguientes k condiciones iniciales
Entonces 
Este problema tiene una única solución
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD EN TIEMPO DISCRETO 
Ejemplo: Continuación Ejemplo 1
Resolver la ED de primer orden:
Con la condición inicial:
Para encontrar la solución se verifica la recurrencia del sistema:
 La ED proporcionada es:
 Para
 Para
 Para
(aquí ya podemos deducir la regla de formación)
 Para
 Por lo tanto
Considerando además la condición inicial: la solución
definitiva ÚNICA es:
Existencia y Unicidad en Tiempo Discreto: Ejemplo 1 (continuado)
Sea D un intervalo real que contiene al número 0. Considere el problema de
encontrar una solución a la siguiente ecuación diferencial lineal (EDIFL) de
orden k
La cual verifica las siguientes k condiciones iniciales:
Si las funciones son continuas
Entonces
Este problema tieneuna única solución. Esto es:
Existe un único sistema dinámico que verifica la EDFL .
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD EN TIEMPO CONTINUO 
, ahora con la condición inicial
• Lo primero es notar que estamos frente a una EDIFL de primer orden
Donde
• Vimos anteriormente que la solución sin condición inicial era
• Ahora con la condición inicial, podemos determinar el valor de la constante
de integración C: .
Ecuaciones en Diferencias y Diferenciales 
 Ahora, cuando tenemos condiciones iniciales establecidas, la solución de la
EDIFL es única. En este ejemplo:
Ejemplo 6: Sucesiones de Fibonacci y Lucas
Piense en la sucesión siguiente: .
Cada elemento se llama genéricamente . La función describiendo la ecuación
en diferencias es . Vea que y no se pueden
calcular usando la ecuación.
• Fibonacci usa , con lo que surge la siguiente secuencia:
• Lucas usa , con lo que surge la siguiente secuencia:
• Como una misma ec. en dif. puede corresponder a distintos sistemas dinámicos, se
reafirma la importancia de las condiciones iniciales: Ellas hacen única su solución.
Ejemplo 6: Sistema Dinámico en tiempo discreto
Ejemplo 7: Ecuación diferencial
Piense en la siguiente ecuación diferencial de orden 1: .
Para resolver es útil pensar: “¿Qué función se tiene a sí misma como derivada?”
• Intuitivamente, una solución particular de este problema es la función
exponencial: .
• Pero, ¿es la única función que satisface esta ecuación? NO.
• En general, para cualquier constante real , soluciona la ecuación
diferencial . Hay, entonces, infinitas soluciones del sistema dinámico.
• Suponga que la condición inicial es . (Puede ser el punto inicial del
problema: Puede ser un inventario inicial de producto, una localización de
partida en un viaje, etc.). En ese caso, la única solución a , con
, es .
• La condición inicial, nuevamente, hace única la solución del sistema
dinámico.
Ejemplo 7: Sistema Dinámico en tiempo continuo
Definición
Una ecuación en diferencias es Lineal (L) (EDFL) de orden k, si se puede expresar como:
Ecuaciones en diferencias de primer orden aplicadas a las ciencias económicas
 La EDFL, es lineal en las variables x
 Es de orden k ya que relaciona a
 Si se dice que la ecuación en diferencias es HOMOGÉNEA (H)
 Si se dice que la ecuación es de Coeficientes Constantes (CC)
 Si se dice que la ecuación en diferencias es AUTÓNOMA
 Alternativamente, la EDFL se puede escribir de la siguiente forma:
(Esta forma de escribir la EDFL se conoce como ley de movimiento o formación) 
Ecuaciones en diferencias de primer orden aplicadas a las ciencias económicas
En este caso el Teorema de Existencia y Unicidad esta dado por
Sea la EDFL de orden k
Dados k valores iniciales prefijados:
ENTONCES: (existe una única solución ) de la EDFL de orden k
TEOREMA
Si las secuencias de números: son soluciones de la
EDFL Homogénea con Coeficientes Constantes (EDLHCC)
entonces
también lo es
también lo es
Ecuaciones en Diferencia Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
a) Si la secuencia de números: es una solución de la ecuación, entonces, se debe
cumplir que:
0
Multiplicando todo por c, tenemos:
Por lo tanto: también es solución
b) Si las secuencias de números: son soluciones entonces:
Sumando tenemos:
Por lo tanto: también es solución
La evolución dinámica en el tiempo es expresada, como una ecuación en diferencias, esto es:
. La solución de la EDF, digamos se puede graficar en un sistema de
coordenadas, donde el eje x es t y eje y es . (Construcción Gráfica de la Solución)
Solución Gráfica: Caso Autónomo de Primer orden
𝐷𝐼𝐴𝐺𝑅𝐴𝑀𝐴 
𝐷𝐸 
𝐹𝐴𝑆𝐸
45
𝑋 𝑋𝑋 𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
Solución Gráfica: Caso Autónomo de Primer orden
𝐷𝐼𝐴𝐺𝑅𝐴𝑀𝐴 
𝐷𝐸 
𝐹𝐴𝑆𝐸
45
𝑋 𝑋 𝑋
Un punto fijo (o de equilibrio, o de estado estacionario) de una Ecuación en diferencias:
∗ ∗
 Los puntos fijos se representan gráficamente, por la intersección de la EDF y la bisectriz del primer cuadrante
 Si la EDF, llega a su punto fijo en ∗ en un período ∗ ∗
𝑋
𝑋
Decimos que un punto fijo es localmente estable si para cualquier valor inicial en
una vecindad de cuando t
Puntos de Equilibrio y Estabilidad Local
 Si el sistema dinámico tiene
un punto fijo que es
localmente estable, entonces
decimos que el sistema
dinámico es localmente
estable
 En este ejemplo, el sistema
posee un EQUILIBRIO
INESTABLE.
𝒙𝒕 𝟏
𝒙𝒕
𝑿𝟎 𝑿𝟎 𝑿𝟎
45°
∗
𝑿∗
Se dice que un punto fijo es globalmente estable si para cualquier valor inicial
independiente de (Equilibrio Estable)
Puntos de Equilibrio y Estabilidad Global
 Si el sistema dinámico tiene un punto fijo que es globalmente estable, decimos que el
sistema dinámico es “ESTABLE” (Sistema posee un EQUILIBRIO ESTABLE)
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 
𝐺𝐿𝑂𝐵𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐸𝑆𝑇𝐴𝐵𝐿𝐸
∗
∗
45
Propiedad importante: Dada la EDLHCC de orden k
Entonces: Siempre existe algún valor m tal que soluciona el sistema
Nota: 
• Si es solución
• Multiplicando por obtenemos la llamada ECUACION CARACTERISTICA (EC)
Ecuaciones en Diferencia Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
 Para que la secuencia: sea solución de la EDLHCC, es necesario que m satisfaga la EC
 Si satisface la EC, entonces, la secuencia satisface la EDLHCC
 Ambos casos son “culpa” del “igual a 0” de la homogeneidad.
Ejemplo: Progresión Geométrica:
• Considere la EDLHCC de orden 1:
• Entonces, siempre tiene como solución , ya que:
Ecuaciones en Diferencia Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
CRECIMIENTO GEOMETRICO (EDLHCC de primer orden)
• El ejemplo arriba es un caso particular del llamado Crecimiento Geométrico (CG)
• El supuesto básico del CG es que es igual a multiplicado por un factor
constante , es decir:
• Nótese que es un caso particular de una EDLHCC.
• Si tomamos un valor inicial: entonces su solución es:
Ejemplo Considere la EDLHCC de orden 2:
Entonces su solución es: + 
Solución
 , por lo tanto la EC está dada por:

± ± ∗ ∗ ±
 Por lo tanto, tanto la secuencia como resuelven la EDLHCC planteada
 Por lo tanto, la solución final está dada por: 𝒕 𝟏
𝒕 + 𝟐
𝒕
 Como es de orden 2, necesita de dos condiciones iniciales: por ej., .
 Dos ecuaciones y dos incógnitas arrojan una única solución:
Ecuaciones en Diferencia Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
Ejemplo Continuación …
En específico, suponga las siguientes condiciones iniciales:
Entonces es posible obtener los coeficientes
Se debe resolver entonces el sistema de ecuaciones
De donde:
Por lo tanto, la solución definitiva es: (-1)
NOTA: En base al teorema de Existencia y Unicidad, podemos afirmar, que esta última
solución es la ÚNICA solución al sistema completo que satisface la EDLHCC con las
condiciones iniciales pre establecidas
 + y + 
Ecuaciones en Diferencia Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
Ecuaciones en Diferencia Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
 En general, si en una EDLHCC de orden “k”, las “k raíces” del sistema son distintas,
entonces las k soluciones: son , y por lo tanto, pueden ser usadas
para generar todas las soluciones de la ecuación.
O equivalentemente
 S de la EC” SON DISTINTAS, entonces toda solución
de la EDLHCC puede expresarse como
Donde los coeficientes “ estarán determinados por las “k” condiciones iniciales, de tal
manera de obtener la única solución.
Ecuaciones en Diferencia Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
Ejemplo SERIE DE FIBONACCI
Como conversamos antes, la ley de formación de una secuencia de Fibonacci es donde
cada término de la sucesión se obtiene como la suma de los dos términos precedentes.
Fibonacci se usa para hacer pronósticos y estimar tendencias alcistas y retrocesos de
acciones en los mercados financieros
• Plantear la EDLHCC correspondiente y resolverla asumiendo las condiciones iniciales:
Solución
 Punto de partida: La ecuación en diferencias es
 Reescribiendo EDLHCC 2° orden autónoma (y homogénea) Ecuación característica:
Ecuaciones en Diferencia Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
Solución Fibonacci Continuación
 Ambas raíces son reales y distintas, por lo tanto, la solución general de la ED es:
Considerando las condiciones iniciales


 Por lo tanto, la solución final es:
Ecuaciones en Diferencia Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
Serie de Fibonacci:
 El valor de la serie siempre será un número entero.
 Se cumple que:
 Lo anterior indica que la tasa de crecimiento de la secuencia tiende a 0,618, ya que:
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X(k) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
X(k+1)/X(k) ---- 1,000 2,000 1,500 1,667 1,600 1,625 1,615 1,619 1,618 1,618 1,618 1,618 1,618 1,618 -----
El conjunto de todas las soluciones a esta ecuación, es de la forma:
Donde: es una solución a la EDFLHCC correspondiente
Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales NO Homogéneas con CC (EDLNHCC)
Ecuaciones en Diferencia Lineales NO Homogéneas con CC (EDLNHCC)
Teorema: Explicación
 El teorema nos dice que si es una particular solución,
Entonces
también lo será
 Si la EDLH posee k soluciones independientes: Entonces
también lo será
 Si además se tiene “k condiciones iniciales”, entonces para obtener la solución única
final, se deberá resolver el sistema de “k ecuaciones lineales con k incógnitas”. Esto se
podrá hacer siempre y cuando las soluciones sean linealmente independientes ( )
EDFLNHCC AUTONOMAS de primer orden (EDFLNHA)
En primer lugar estudiaremos en detalle la ecuación
La cual corresponde a una EDLNHCC de 1° orden (Autónoma), donde la
constante “b” es llamada “entrada al sistema” a modo de ejemplo, puede
presentarse en problemas de poblaciones que incluye “inmigraciones” o
“emigraciones”
Solución está dada por: 
Solución 1 (ver solución de tarea; veremos en detalle la sol. 2)
 Si b=0 se tiene la ecuación homogénea, que corresponde exactamente a la PG
ya ejemplificada anteriormente:
cuya solución es: (sin condición inicial aún)
 Propongamos (tanteo o prueba y error) ahora que una solución particular es: 
 Si la solución “es una constante A”, entonces se debe cumplir que:
 Por lo tanto:
EDFLNHCC AUTONOMAS de primer orden (EDFLNHA)
Solución 1 Continuación….
 Luego por el Teorema precedente la solución es:
 Usando condición inicial:
 , la solución para este caso es:
 Si bt
EDFLNHCC AUTONOMAS de primer orden (EDFLNHA)
Solución 2 (Método de Recurrencia)
Caso 1: se trata de una Progresión Aritmética (PA)
 ...
Usando condición inicial: (PA)
Caso 2:

 a+1)
 a+1) a+1)
 ……
 )
EDFLNHCC AUTONOMAS de primer orden (EDFLNHA)
Solución 2 continuación……
 Usando condición inicial:
 Nótese que se utilizó la propiedad de una suma geométrica
Por lo tanto la solución está dada por: 
EDFLNHCC AUTONOMA de primer orden (EDFLNHA)
Para el caso con , se tiene una expresión alternativa equivalente dada por:
; donde
Recordemos por definición dada anteriormente:
es un Punto Fijo, de Equilibrio o Estacionario si y sólo si 
Demostración
Por lo tanto:
EDFLNHA de Primer Orden: Punto de Equilibrio y Estabilidad
En resumen la solución de una EDFLNHA de primer orden, esta dada por:
Podemos ahora, analizar la evolución del modelo a través del tiempo, esto es:
 Si El sistema dinámico diverge, No hay punto fijo (o equilibrio)

 Si
∗ independiente de ∗ ∗
 Si EQUILIBRIO INESTABLE
∗ Localmente estable si para cualquier en una vecindad de ∗ ∗ cuando t )
 Si Sistema dinámico oscila periódicamente, EQUILIBRIO INESTABLE
EDFLNHA de Primer Orden: Punto de Equilibrio y Estabilidad
0,0000
5,0000
10,0000
15,0000
20,0000
25,0000
30,0000
35,0000
40,0000
45,0000
0 5 10 15 20 25
a b
1,00 2,00 2,00 #¡DIV/0!
𝑋∗𝑋
-40,0000
-35,0000
-30,0000
-25,0000
-20,0000
-15,0000
-10,0000
-5,0000
0,0000
5,0000
0 5 10 15 20 25
a b
1,00 -2,00 2,00 #¡DIV/0!
𝑋∗𝑋
0,0000
0,5000
1,0000
1,5000
2,0000
2,5000
0 5 10 15 20 25
a b
0,50 1,00 2,00 2,00
𝑋∗𝑋
0,0000
0,5000
1,0000
1,5000
2,0000
2,5000
0 5 10 15 20 25
a b
-0,50 3,00 2,00 2,00
𝑋∗𝑋
-800.000
-600.000
-400.000
-200.000
0
200.000
400.000
600.000
800.000
1.000.000
1.200.000
0 5 10 15 20 25
a b
-2,00 3,00 2,00 1,00
𝑋∗𝑋
0
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
600.000
0 5 10 15 20 25
a b
2,00 -1,50 2,00 1,50
𝑋∗𝑋
0
1
1
2
2
3
0 5 10 15 20 25
a b
0,50 0,50 2,00 1,00
𝑋∗𝑋
0
1
1
2
2
3
3
4
0 5 10 15 20 25
a b
0,50 1,50 2,00 3,00
𝑋∗𝑋
0
1
1
2
2
3
0 5 10 15 20 25
a b
-0,50 1,50 2,00 1,00
𝑋∗𝑋
𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Equilibrio Inestable
𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Equilibrio Inestable
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎𝑠
Equilibrio Estable --1<a<0
Conv𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 Monótona
Equilibrio Estable 0<a<1
Conv𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑀𝑜𝑛ó𝑡𝑜𝑛𝑎
Equilibrio estable 0<a<1
𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
NO hay Equilibrio 
𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
NO hay Equilibrio 
Siempre en Equilibrio o
Estacionario 
Siempre en Equilibrio o
Estacionario 
Di𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎𝑠
Ya que a<-1
EDNHA de Primer Orden: Punto de Equilibrio y Estabilidad – Ejemplos 
EDFLNHA de Primer Orden: Punto de Equilibrio y Estabilidad
Caso particular: Es una PA, sistema dinámico diverge
PERO No hay punto fijo, la EDFLA es paralela a la Bisectriz
y = 3x + 2
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
0 2 4 6 8 10 12
xt
t
Sistema Dinámico
y = x + 3
y = x
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00
xt
+1
xt
Diagrama de Fase
EDFLNHA de Primer Orden: Punto de Equilibrio y Estabilidad
Si sistema dinámico converge a un punto fijo o de equilibrio ESTABLE
Nótese que:
En el DF, cualquiera sea el valor de siempre se converge a 
6; 6
y = 0,5x + 3
y = x
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
0 2 4 6 8 10 12
xt
+1
xt
Diagrama de Fase
a b X0 X*
0,5 3 1 6
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
0 2 4 6 8 10 12
xt
t
Sistema Dinámico
EDFLNHA de Primer Orden: Punto de Equilibrio y Estabilidad
Si sistema dinámico converge con oscilaciones amortiguadas
a un punto fijo o de equilibrio ESTABLE. Nótese que:
En el DF, cualquiera sea el valor de siempre se converge a 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
0 2 4 6 8 10 12
xt
t
Sistema Dinámico
2; 2
y = -0,5x + 3
y = x
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
-4 -2 0 2 4 6 8
xt+
1
xt
Diagrama de Fase
a b X0 X*
-0,5 3 1 2
EDFLNHA de Primer Orden: Punto de Equilibrio y Estabilidad
 Si sistema dinámico diverge. Nótese que:
 Solo si en el DF, se elije -6 se converge a dicho punto, esto
significa, que no se cumple , solo para una vecindad de , luego este es
un punto fijo Localmente Estable y por tanto el sistema es INESTABLE
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
450,00
0 2 4 6 8 10 12
xt
t
Sistema Dinámico
-6; -6
y = 1,5x + 3
y = x
-16,00
-14,00
-12,00
-10,00
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0
xt
+1
xt
Diagrama de Fase
a b X0 X*
1,5 3 1 -6
EDFLNHA de Primer Orden: Punto de Equilibrio y Estabilidad
 Si el sistema dinámico es INESTABLE (diverge). 
 Nótese que que se tome en el DF, se diverge del punto fijo. 
 Solo si el valor elegido para , se parte en equilibrio y se permanece en 
dicho valor Por lo tanto, este punto es Localmente Estable
-15,00
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
0 2 4 6 8 10 12
xt
t
Sistema Dinámico
1,2; 1,2
y = -1,5x + 3
y = x
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
xt+
1
xt
Diagrama de Fase
a b X0 X*
-1,5 3 1 1,2
EDFLNHA de Primer Orden: Punto de Equilibrio y Estabilidad
 , el sistema dinámico es oscilante, periódico,
 , el DF entra en un loop, del cual nunca sale
 , el DF parte en “2” y permanece localmente estable.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
0 2 4 6 8 10 12
xt
t
Sistema Dinámico2; 2
y = -x + 4
y = x
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
-4 -2 0 2 4 6 8
xt
+1
xt
Diagrama de Fase
a b X0 X*
-1 4 0 2
EDLNHCC NO AUTONOMA de Primer Orden
Ejemplo: Crecimiento geométrico con entradas o salidas variables “t”
; t=1,2,…
•
•
Solución
 Si se tiene
 Nótese que:
 Si
 Si t 3
 Si
 ….
 Si t
Solución Continuación
 Si se tiene:
 La solución de la parte homogénea es: (sin condición inicial aún)
 Nos falta obtener la solución particular: , se propone encontrar la solución particular
usando la siguiente tabla:
Tabla g(t) para soluciones particulares:
 
EDLNHCC NO AUTONOMA de Primer Orden
Solución Continuación
 Como en este caso , por lo tanto, la solución particular propuesta en este caso, de
acuerdo a la tabla es de la forma: , o, equivalentemente,
 Fíjese que, entonces
 En resumen:
 Para que se cumpla (*), se debe cumplir el siguiente sistema de ecuaciones en A y B
1) (intercepto igual a cero)
(pendiente igual a cero)
 De donde:
EDLNHCC NO AUTONOMA de Primer Orden
Solución Continuación
 Luego la solución particular es:
 la solución nos está quedando: 
 Considerando ahora la condición inicial: 
 Entonces: 
Así entonces la solución general es: 
EDLNHCC NO AUTONOMA de Primer Orden
 La Ecuación en Diferencias de segundo orden relaciona el valor de una
función en cada período “t+2” con los valores en los períodos anteriores “t+1”
y “t” (b )
 Si se consideran los valores iniciales y arbitrarios y pre-
fijados –entonces– por el teorema de existencia y unicidad, existe un sistema
dinámico unívocamente determinado que es una solución de la EDLNHCC
Ecuaciones en Diferencias de segundo orden
La EDLHCC de orden 2 esta dada
 Cuya Ecuación Característica es:
 Como la EC corresponde a una ecuación de segundo grado, entonces se deben
considerar dos raíces, para las cuales se tiene los siguientes casos:
6.ED2.1) Dos raíces reales y distintas: (ya hicimos ejemplos H así!)
6.ED2.2) Una raíz de multiplicidad dos (misma raíz repetida)
6.ED2.3) Dos raíces complejas (conjugadas)
Soluciones de la Ecuación de orden 2 Homogénea
(Caso 6.ED2.3) Raíces complejas: , La solución homogénea es:
Soluciones de la Ecuación de orden 2 Homogénea
(Caso 6.ED2.1) Dos raíces reales y distintas:
Los sistemas dinámicos que son soluciones las denotamos por:
Así la solución homogénea es:
(Caso 6.ED2.2) Una raíz de multiplicidad dos
Entonces es la solución homogénea
Para las soluciones de EDLCC con soluciones complejas, puede ser útil la siguiente tabla:

 ;
 Si: m
 IMPORTANTE: Incluso cuando las raíces son complejas, la solución final siempre es real.
EDLNHCC de orden 2 Para caso Raíces Complejas
0 0 1 0
1
1 0
Ejemplo (Caso 6.ED2.1)
Resolver la EDLNHCC de segundo orden:
Solución
• Primero se resuelve la parte homogénea:
• Ecuación característica es:
• Las soluciones son: reales y distintas
• Por ser reales y distintas, sabemos que la solución de la ecuación homogénea es:
EDLNHCC de orden 2 Ejemplo Raíces Reales y Distintas
Ahora resolvemos la parte no homogénea:
• Por la forma del término independiente y apoyándonos en la tabla
La solución particular de la tabla g(t) sugiere:
Para obtener , dicha solución la sustituimos en la Ecuación No Homogénea
•
Dividiendo por se cumple que:
•
Así la solución general (antes de incorporar condiciones iniciales) es de la forma:
EDLNHCC de orden 2 Ejemplo Raíces Reales y Distintas Cont…..
Ahora aplicamos las condiciones iniciales: 
•
•
Por lo tanto se debe resolver el sistema de ecuaciones
EDLNHCC de orden 2 Ejemplo Raíces Reales y Distintas Cont…..
EDLNHCC de orden 2 Ejemplo raíces de Multiplicidad dos
Ejemplo (Caso 6.ED2.2)
Mostrar que la solución de la siguiente EDNHCC de orden 2:
Está dada por:
Solución
 Ecuación Homogénea: =0
 EC:
 Soluciones (misma raíz dos veces) : Se multiplica la 2da raíz por t.
 Entonces:
Ejemplo Continuación
 Para la solución particular (o de la parte no homogénea), separar problema en dos partes

 Explicación uso tabla g(t):
Como , la tabla sugiere que una solución particular es Sin embargo, debe
notarse que la solución de la parte homogénea contiene . Necesitamos que las
soluciones sean , así que debemos considerar
EDLNHCC de orden 2 Ejemplo raíces de Multiplicidad dos
 
Ejemplo Continuación:
 Para obtener se reemplaza en la ecuación NH



 Por lo tanto:
 Así la solución particular resulta ser:
 Y la solución general es: +
 Usando condiciones iniciales , podemos determinar
+ 6
EDLNHCC de orden 2 Ejemplo raíces de Multiplicidad dos
EDLHCC de orden 2 Ejemplo raíces Complejas Conjugadas
Ejemplo (Caso 6.ED2.3) Resolver la ecuación en diferencias de 2° orden:
Solución
• Ésta es una EDLHCC, ya que: ;
• Ecuación característica:
• soluciones son complejas conjugadas: m
Por lo tanto la solución esta dada por:
•
•
A partir de la tabla, , con lo que la solución general viene dada por:
Para determinar usamos las condiciones dadas:
 t
 t
 Resolviendo el sistema de ecuaciones:
EDLHCC de orden 2 Ejemplo raíces Complejas Conjugadas Cont…..
Ilustración Ejemplo Anterior
•
•
• Debe destacarse que la secuencia es REAL a pesar que las raíces son COMPLEJAS
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
-4,0 3,0 7,0 4,0 -3,0 -7,0 -4,0 3,0 7,0 4,0 -3,0 -7,0 -4,0 3,0 7,0 4,0 -3,0 -7,0 -4,0 3,0 7,0 4,0 -3,0 -7,0 -4,0 3,0
-4,0
3,0
7,0
4,0
-3,0
-7,0
-4,0
3,0
7,0
4,0
-3,0
-7,0
-4,0
3,0
7,0
4,0
-3,0
-7,0
-4,0
3,0
7,0
4,0
-3,0
-7,0
-4,0
3,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425
Oscilaciones a través del tiempo
Como vimos en el ejemplo anterior, la evolución de los sistemas dinámicos de las EDFLCC,
pueden presentar oscilaciones a través del tiempo.
Estas oscilaciones se presentan cuando las raíces de la EC son COMPLEJAS
Es posible que se puedan presentar, también, cuando al menos una de las raíces de la EC son
reales pero negativas
•
•
• Para modelar ciclos NO constantes se requiere ecuaciones NO LINEALES
EDLHCC de orden 2 Ejemplo raíces Complejas Conjugadas
Ejemplo Resolver la EDFLHCC de 2° orden:
Solución
• Es una ecuación homogénea ya que: EC:
• Soluciones de EC son complejas conjugadas:
•
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
2 5 6 2 -8 -20 -24 -8 32 80 96 32 -128 -320 -384 -128 512 1.280 1.536 512 -2.048 -5.120 -6.144 -2.048𝑋
-7.000
-6.000
-5.000
-4.000
-3.000
-2.000
-1.000
0
1.000
2.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
𝑋 = 2 3𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝜋
4
+ 2𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝜋
4
Ecuaciones en Diferencias: Ejercicios Resueltos (Autoestudio)
Para revisar de Tarea:
Ejemplo A: Ecuación en Diferencias Lineal No Autónoma de Coeficientes 
Constantes de Primer Orden – Aplicación con . 
Ejemplo B: Ecuación en Diferencias Lineal No Homogénea de Coeficientes 
Constantes de Segundo Orden – Aplicación a Crecimiento del Multiplicador 
Acelerador
Ejemplo A:
Resolver la siguiente EDLNHCC de orden 1:
Solución
• Resolvemos primero la ecuación homogénea:
• La cual vemos que es una particular EDFLA
• Ahora buscamos una solución particular de la EDFLNHCC:
• Por la forma del término independiente si bien la tabla nos sugiere una solución
particular de la forma: , como ésta es igual a la solución homogénea ,
entonces se debe proponer otra solución particular
EDLNHCC NO AUTONOMA de Primer Orden
Solución continuación Ejemplo A:
Continuando con la tabla, se sugiere la nueva solución particular
Esta solución particular se reemplaza en la ecuación:
 simplificando


 Por lo tanto se obtiene la solución particular:
EDLNHCC NO AUTONOMA de Primer Orden
La solución general es :
Aplicamos la condición inicial
Por lo tanto, la solución definitiva final es:
Se puede comprobar que (*) es realmente una solución de la EDLNHCC de 
grado 2, mostrando que: 
EDLNHCC NO AUTONOMA de Primer Orden
Solución continuación Ejemplo A:
Estabilidad en EDFde segundo orden 
Modelo de Crecimiento Multiplicador Acelerador 
aplicación interesante de EDFLCC de segundo orden.
(El consumo en el período “t+1” es función de la renta en el
período anterior, esta es la parte “MULTIPLICADOR” del modelo)
esta es la parte “ACELERADOR” del modelo)
, valores iniciales
Ejemplo B (cont.): Mediante mero álgebra, se puede demostrar que el modelo
“multiplicador acelerador” corresponde a la siguiente EDF de orden 2
Demostración
4) De 1) tenemos
5) De 2) tenemos
6) De 3) tenemos
7) Reemplazando 2) y 5) en 6)
8) Reemplazando 7) y 5) en 4)
Estabilidad en EDF de segundo orden 
Modelo de Crecimiento Multiplicador Acelerador 
Continuación Ejemplo B: Solución HOMOGENEA
 EDFH:
 Ecuación característica es:
 Soluciones:


Estabilidad en EDF de segundo orden 
Modelo de Crecimiento Multiplicador Acelerador 
Ejemplo B: Solución Particular
Ahora estudiaremos la solución particular, para ello vemos que el término
independiente en este caso es igual a la constante “b”, de acuerdo con la tabla
propuesta para soluciones particulares, se sugiere , por lo que al
reemplazar en la EDF original, se tiene que:
Estabilidad en EDF de segundo orden 
Modelo de Crecimiento Multiplicador Acelerador 
4)
 Plantear la EDF en y resolver
Estabilidad en EDF de segundo orden 
Modelo de Crecimiento Multiplicador Acelerador 
Solución Ejemplo B.2:

 0,3


 La solución homogénea es:
 La solución particular es:
 Por lo tanto, la solución general es:
Estabilidad en EDF de segundo orden 
Modelo de Crecimiento Multiplicador Acelerador 
Solución Ejemplo B.2:


 De donde
Por lo tanto la solución final completa es:
Estabilidad en EDF de segundo orden 
Modelo de Crecimiento Multiplicador Acelerador 
4)
 Plantear la EDF en y resolver
Estabilidad en EDF de segundo orden 
Modelo de Crecimiento Multiplicador Acelerador 
4)
 Plantear la EDF en y resolver
Estabilidad en EDF de segundo orden 
Modelo de Crecimiento Multiplicador Acelerador