Ayudantía 2 Enunciado

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EAF 200A Aplicaciones Matemáticas 
Ayudantía #2 
 
 
Profesor: Gonzalo Edwards 
Ayudante(s): Javiera Correa (​javiera.correa@uc.c​l) 
Francisca Arroyo (francisca.arroyo@uc.cl) 
 
Ejercicio 1: Regla de la cadena 
 
1. Suponga la función y = 0,5 ln(x₁) + 0,5 ln(x₂) y que x₁(t) = y x₂(t) =e 
0,2t e0,4t 
 
a. Use la regla de la cadena para encontrar una expresión para la derivada de y con respecto a t.⁡​ 
 
b. Encuentre la función y = g(t) que se obtiene al sustituir x₁ y x₂ como funciones de t. 
 
c. Obtenga la derivada de y con respecto a t usando la función g(·) que usted acaba de obtener. 
 
Ejercicio 2-3: Derivadas parciales - Plano tangente 
 
2. Supongamos que el bienestar “U” de un grupo de habitantes en una sociedad depende de dos variables: 
el total de bienes producidos y consumidos “x”, y el nivel de contaminación “c”. 
 
a. ¿Qué signo esperaría usted que tuvieran las derivadas parciales de “U” con respecto a “x” y con 
respecto a “c”? Explique la intuición económica detrás de esto. 
 
b. Supongamos que < 0 ,¿Cuál es la interpretación matemática de este supuesto?¿Qué implica esto en ∂²f∂c∂x 
cuanto a la economía del problema? 
 
 
3. Considere una función de demanda dada por donde A es la cantidad demandada p pA = 6 a−2 b
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de viajes en avión, “ ” es el precio de los viajes en avión y “ ” es el precio de los viajes en bus. pa pb 
Suponga que los precios actuales en el mercado son = 3 y = 4,5.pa pb 
 
a. Calcule la cantidad viajes en avión demandada a los precios de mercado observados. 
 
b. Obtenga las derivadas parciales de la demanda por viajes en avión con respecto a los precios de viajes 
(ambos). 
 
c. Obtenga las derivadas parciales de segundo orden de la función de demanda con respecto a los precios 
de ambos bienes (incluida la derivada cruzada). 
mailto:javiera.correa@uc.cl
 
d. Use las derivadas parciales recién calculadas para obtener una aproximación de la cantidad demandada 
si sube en 0,5 y baja en 0,5.pa pb 
 
e. Repita el paso anterior, partiendo de los mismos valores iniciales, pero para el caso en que ambos 
precios bajan en 0,25. 
 
f. Calcule ahora los valores exactos de la cantidad demandada en ambos casos. ¿Qué tan buena era su 
aproximación? 
 
g. Calcule las elasticidades parciales de la demanda de viajes en avión con respecto a y . Suponga pa pb 
que los precios del mercado son = 3 y = 4,5.pa pb 
 
Ejercicio 4: Pregunta de prueba 
 
Suponga la siguiente función de utilidad de una persona que consume dos bienes. 
 
U = 2 ln x + 3 ln y 
Se pide: 
a. Calcule la tasa marginal de sustitución. Use derivación implícita. 
 
b. Si la persona consume normalmente 3 unidades del bien x y 7 unidades del bien y, ¿cuántas unidades 
del bien x cree usted que debería estar dispuesta a sacrificar por una unidad adicional del bien y? Use su 
respuesta a la parte a). 
 
c. Si el precio del bien x es Px = 5, ¿cuál es el precio del bien y? 
 
d. Calcule el Hessiano en el punto (x,y) = (3,7). ¿Es la función cóncava, convexa o ninguna de las dos en 
dicho punto? 
 
e. Encuentre la ecuación para el plano tangente en el punto (x; y; U) = (3; 7; 8,0350). Use el resultado 
para aproximar U(x; y) = U(3,2; 8) y explique, usando su respuesta en d), si esta aproximación subestima 
o sobreestima el verdadero valor de Q en ese punto. 
Nota:​ el valor de 8,0350 es el valor de U en dicho punto; es decir, 2 ln 3 + 3 ln 7 = 8,0350.