Ayudantía 4 (1)

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josefina.lorca@uc.cl
danielletouzard@uc.cl
Ayudantía 4
Pregunta 1:
La línea aérea African Airlines (AA) ha decidido empezar operaciones en América.
Luego de algunos estudios de mercado, estima las siguientes cantidades de pasajeros semanales (ida y vuelta) entre distintas ciudades del continente. Nota: los números se refieren a viajes iniciados en el origen y terminados en el destino; es decir, no valen las escalas en este cuadro.
	
	
	Número de viajes (en cientos de personas)
	
	
	
	
	
	
	Origen/Destino
	Santiago
	Bogotá
	Buenos Aires
	Lima
	Nueva York
	Santiago
	-
	4
	16
	2
	30
	Bogotá
	-
	-
	20
	2
	50
	Buenos Aires
	-
	-
	-
	30
	2
	Lima
	-
	-
	-
	-
	1
	Nueva York
	-
	-
	-
	-
	-
El problema de AA es que le sale muy caro tener vuelos directos entre las distintas ciudades por lo que ha decidido implementar un sistema de “hubs” o “centros de conexión”.
Para ello está considerando Lima y Bogotá como centros de conexión. Es decir, habría vuelos solo entre el centro de conexión y todas las ciudades. Si por ejemplo, una persona quiere ir de Santiago a Buenos Aires, tendría que hacer escala ya sea en Lima o en Bogotá, según el hub que se decida.
Suponga que los costos por cada 100 pasajeros (el número de viajes está en cientos) hacia y desde Lima y/o Bogotá son los siguientes:
	Costo de traslado (en miles de dólares por cada cien pasajeros)
	
	
	
	Origen/Destino
	Bogotá
	Lima
	Santiago
	10
	8
	Bogotá
	-
	4
	Buenos Aires
	14
	5
	Lima
	4
	-
	Nueva York
	20
	30
Se pide:
¿Qué centro de conexión le conviene a African Airlines? Explique claramente su respuesta. 
Pregunta 2:
 (SHC, ejemplo 2 en página 555) Suponga la siguiente función de producción: 
Q = √K + L. Los precios de cada unidad de capital y de trabajo son, respectivamente, 1 y 20. 
Se pide: 
a) ¿Cuánto capital y trabajo debe contratar si quiere producir 30 unidades de 
producto al mínimo costo posible? Use el Método de Lagrange. 
b) ¿Cuál es el costo total de producir 30 unidades? 
c) Repita el ejercicio anterior, pero con 31 unidades en lugar de 30. ¿En cuánto 
aumentan los costos? Verifique que coincide con el multiplicador de Lagrange. 
Pregunta 3:
La función  f(x,y,z) = x3 + 3xy + 3xz + y3 + 3yz + z3 
Tiene puntos estacionarios (-2, -2, -2) y (0, 0, 0). Clasificarlos con el teorema de la matriz Hessiana y el test de punto silla.
Pregunta 4: 
Considere la función f(x,y) = −2x2 − y2 – axy. Donde “a” es un parámetro que puede tomar cualquier valor. 
Se pide: 
a) Demuestre que el punto (x, y) = (0, 0) es un punto crítico 
b) Encuentre un valor cualquiera de “a” tal que dicho punto crítico sea un 
máximo.
c) Encuentre un valor cualquiera de “a” tal que el punto crítico sea un punto de inflexión. 
Pregunta 5:
Jacinta tiene una función de utilidad que depende del consumo de lomitos, que valen 1 peso cada uno, y del ocio, que se define como el número de horas en que no trabaja.
Jacinta no tiene ingresos si no trabaja, por lo que debe trabajar s quiere comer lomitos. El salario de mercado es de w=$4 por hora.
La función de utilidad de Jacinta es U=4LH2 donde L=cantidad de lomitos por dia y H=cantidad de horas de ocio por dia. El número de horas trabajadas más el número de horas de ocio es igual a 24 horas.
Se pide:
a) Plantee el problema de optimización de Jacinta, usando sólo las variables L=lomitos, H=horas de ocio. Nota: Debe dejar claras tanto las función objetivo como las restricciones.
b) Resuelva el problema anterior usando el método de Lagrange.
c) Analice las condiciones de segundo orden usando el Hessiano Orlado, y explique si se trata de un máximo o un mínimo.