Ayudantía 6 (1)

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Ayudantía 6 
 
 
Repaso: 
 
Tipos de ecuaciones: 
1. Ecuaciones de diferencia (tiempo discreto): 
a. Dentro de los modelos dinámicos en tiempo discreto, el más clásico 
es el modelo de crecimiento geométrico. El supuesto básico es que el 
valor de una variable en un período determinado, o período k, es igual al 
valor de dicha variable en el período anterior multiplicado por un factor 
a. Este fenómeno dinámico podría entonces describirse 
matemáticamente como 
x(k)=a​k​ * x(0) 
b. Si hay entradas o salidas al sistema se escribe así: 
x(k+1)=ax(k)+b → x(k)=a​k​*x(0)+(1-a​k​)/(1-a)*b con a≠1 
 → x(k)= x(0)+kb con a=1 
 
 
2. Ecuaciones diferenciales (tiempo continuo): 
a. En tiempo continuo, el modelo de crecimiento exponencial es 
análogo al modelo de crecimiento geométrico recién visto. Lo que se 
postula es que el cambio experimentado por una variable X por unidad de 
tiempo es proporcional al valor de dicha variable. 
x(t)=e​at​ * x(0) 
b. Si hay entradas o salidas se escribe así: 
x`(t)=x(t)*a+b → x(t)=[x(0)+b/a] * e​at​ - b/a 
 
 
Características de las ecuaciones: 
1. Orden: Cuantos periodos anteriores necesito para obtener los próximos 
periodos. 
2. Lineal: La x no está elevada a nada ni hay x multiplicándose entre ellas. 
3. Homogénea: Ecuación que no tiene entradas. 
4. Coeficientes constantes: Lo que multiplica a las x no varía según el periodo 
 
 
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Ejercicios​: 
 
1) Suponga el siguiente modelo macroeconómico para representar la economía de un 
país: 
Y(k) = C(k) + I(k) + G(k) 
C(k+1) = 0,9 Y(k) 
I(k+1) = 2 [C(k+1) - C(k)] (Principio del Acelerador) 
G(k) = 1 (usado como numerario) 
donde 
Y(k) = Ingreso nacional en el período k 
C(k) = Consumo en el período k 
I(k) = Inversión en el período k 
G(k) = Gasto de gobierno en el período k 
 
Se pide: 
a) Plantee la ecuación de diferencias para la variable Y(k). NOTA: Esta ecuación 
debe estar expresada en términos SOLO de la variable Y en sus distintos momentos 
del tiempo. 
b) ¿Es esta ecuación homogénea? ¿de coeficientes constantes? ¿lineal? Explique 
su respuesta. 
c) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de largo plazo de esta economía? Explique 
claramente su respuesta. 
 
2) Suponga la ecuación X(k+2) = 2 X(k+1) + 4 X(k). 
a) Resuelva la ecuación de diferencias, suponiendo que X(0) = X(1) =1. ( 
b) A un amigo suyo se le ocurre “postular” una solución a la ecuación de diferencias, 
sin considerar las condiciones iniciales, del tipo X(k) = A + B k, para lo cual debe 
determinar las constantes A y B. Le explica que esta solución requeriría encontrar 
dos parámetros, lo que sería tan válido como encontrar los dos lambdas de la 
ecuación característica. Explique, con argumentos matemáticos y en forma 
detallada, por qué su amigo está bien o mal con su solución. 
 
3) Suponga que usted ha decidido juntar plata para el pié de un departamento, para el 
cual necesita $10.000. Para ello, ha decidido depositar en el banco 1.000 pesos al 
año, el cual le da un interés del 20% anual. 
Se pide: 
a) Plantee el problema en tiempo continuo. 
b) Resuelva la ecuación diferencial correspondiente. 
c) ¿En cuánto tiempo podrá juntar el dinero necesario para pagar el pié? Nota: La 
ecuación X’(t) = a X(t) + b tiene como solución la expresión X(t) = c eat – b/a. 
 
4) Suponga que la población de un país se duplica en 30 años y que la tasa de 
crecimiento anual es constante. ¿En cuánto tiempo se triplica la población? 
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6) 
 
 
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