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Ayudanta 7
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Ayudant́ıa 7: Teorema del Binomio
1. Sea m ∈ N fijo. Demuestre por inducción que para todo n ∈ N
n∑
k=0
(
k + m
k
)
=
(
n + m + 1
n
)
2. Calcular la suma
(
n− 1
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n + 1
2
)
+ . . . +
(
n + m− 1
m
)
3. Calcular
n∑
k=0
(
n
k
)(
m
r − k
)
=
(
n + m
r
)
utilizando que (1+x)m(1+x)n = (1+x)n+m y encontrando el coeficiente
de xr en ambos lados.
4. Sea {ai}i≥1 una sucesión definida recursivamente por medio de la for-
mula ak = 2ak−1 + 3ak−2 y que satisface:
a) 3a1 + 5a2 = 0
b) Para m ≥ 4 se cumple 3am−1 + 5am = 1
Calcular
m∑
i=3
ai
1
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