Gua 3

Vista previa del material en texto

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2006
MAT1503 ∗ GUIA N◦3
I. Demuestre por inducción que:
1. La suma de los ángulos interiores de un poĺıgono convexo de n lados es
(n− 2) · 180◦, ∀n ≥ 3.
2. Los números de la forma:
(a) 32n − 1 son divisibles por 8, ∀n = 1, 2, . . .
(b) 22n+1 − 9n2 + 3n− 2 son divisibles por 54, ∀n = 1, 2, . . .
3. Al intentar demostrar las siguientes proposiciones por inducción el método
fallaŕıa en una de sus partes. Señale dónde se produciŕıa la falla y por
qué:
(a) ∀n ∈ N : 4 + 8 + 12 + · · ·+ 4n = 3n2 − n + 2
(b) ∀n ∈ N : 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n2 + n + 2
(c) ∀n ∈ N la fórmula p(n) = n2 − n + 41 proporciona sólo números
primos.
4. Pruebe que ∀n ∈ N
(a) 6 divide a 5n3 + 7n
(b) 16 divide a 834n − 2 · 972n + 1.
5. Pruebe que ∀n ∈ N, a− b es un factor de an − bn
6. Pruebe las siguientes propiedades de los números de Fibonacci definidos
por:
a0 = 1, a1 = 1, an+2 = an + an−1 ; n = 0, 1, 2, . . .
(a) an+1 · an−1 − a2n = (−1)n+1
(b) an+m = an · an+1 + am−1 · an
(c) an y an+1 son primos relativos.
1
(d) an <
(
1 +
√
5
2
)n
.
7. Si n > 2 pruebe que:
3
2
− 1
n
+
1
n2
<
1
12
+
1
22
+ · · · + 1
n2
< 2 − 1
n
.
8. Conjeture fórmulas para las siguientes expresiones y pruébelas por in-
ducción:
(a) (1− x) (1 + x) (1 + x2) (1 + x22) · · · (1 + x2n)
(b) (1− 1
2
) (1− 1
3
) (1− 1
4
) · · · (1− 1
n+1
)
(c) 12 − 22 + 32 − · · · + (−1)n−1n2
(d) n2 − (n− 1)2 + (n− 2)2 − · · · + (−1)n−1
9. Se define u1 = 0 y un+1 = (1 + x)un − nx si n = 1, 2, 3 . . .
Pruebe que un =
1
x
[1 + nx− (1 + x)n].
10. Pruebe que si k es un entero fijo cualquiera entonces, ∀n ∈ N
n(n + 1)(n + 2) . . . (n + k − 1) es divisible por k.
11. Pruebe que
8
3 · 5 −
12
5 · 7 +
16
7 · 9 − · · ·︸ ︷︷ ︸
n sumandos
=
1
3
+ (−1)n−1 1
2n + 3
.
12.
a)
n∑
k=1
1
4k2 − 1 =
n
2n + 1
b)
n∑
k=1
(k2 + 1)k! = n(n + 1)!
c)
n∑
k=1
k · 2k
(k + 2)!
= 1− 2
n+1
(n + 2)!
d)
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
e)
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
f)
n∑
k=1
k3 =
[
n(n + 1)
2
]2
2
II. Sumatorias y Progresiones.
1. Escriba usando el śımbolo
∑
:
a) 1 + q + q2 + · · ·+ qn b) 1− 2 + 3− 4 + 5− . . . (n términos)
c) 4 + 18 + 48 + 100 + 180 d) 1 + 9 + 125 + 2401 + . . . (2n términos)
e) 1 + 8 + 27 + 64(n− 1 términos) f) 3 + 9 + 27 + 71 + . . .(10 términos)
2. Calcular:
a) 12 + 32 + 52 + · · ·+ 992 b) 213 + 223 + · · ·+ 503
c) 22 + 42 + 62 + · · ·+ (4n)2 d) 1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·+(n términos)
e) 1 · 2 · 4 + 2 · 3 · 5 + 3 · 4 · 6 + · · · (2n términos)
3. Calcular:
a)
n∑
i=1
i(i + 3) b)
n∑
i=1
i(i2 − 1) c)
p∑
i=1
(i + 1)3
d)
n∑
i=1
(n− i)(i− 1) e)
n∑
k=1
(3k2 − k) f)
n∑
k=1
(3n2 − n)
g)
n∑
k=1
k3 +
3
2
k h)
n∑
k=1
k2(2k + 3) i)
n∑
k=1
4k(k2 + 1)− (6k2 + 1)
j)
n∑
k=1
n2(2n + 3)
4. Calcular:
a)
n∑
k=1
1
k(k + 1)
b)
n∑
k=1
1
4k2 − 1
c)
n∑
k=1
1
(2k − 2)(2k + 10) d)
n∑
k=1
4
k(k + 1)(k + 2)
e)
n∑
i=1
1
(2i− 1)(2i + 1)(2i + 3) f)
n∑
i=1
1
(3i− 2)(3i + 1)
3
g)
n∑
k=1
k2 + k − 1
(1 + k)2(k + 2)2
h)
n∑
i=1
2i + 1
i2(i + 1)2
i)
n∑
k=2
k2
k2 − 1 j)
n∑
k=1
k3 + k2 + 1
k(k + 1)
5. Calcular:
a)
43∑
k=2
k(k − 2) b)
50∑
k=1
(−1)kk2
c)
n∑
k=1
k(10 + k) d)
n∑
k=1
1
(2k − 1)(2k + 1)
6. Aplicando
n∑
k=1
a ambos lados de la identidad (k + 1)2 − k2 = 2k + 1
Calcular
n∑
k=1
k
7. Aplicando la misma técnica del ejercicio anterior a la identidad (k +
1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1 calcular
n∑
k=1
k2.
8. Demostrar que:
2n∑
k=1
(−1)k k2 =
n∑
k=1
(4k − 1)
9. Encuentre una fórmula para:
n∑
k=1
k · 2k
10. Determine el término de orden n y la suma de los 30 primeros términos
de la progresión aritmética 3, 4 + 1
2
, 6, . . .
11. En una progresión aritmética el primer término es 4 y el orden de n,
es 34. Si la suma de sus k primeros términos es 247, determine k y la
diferencia d.
12. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 3, 7, 11 . . . necesita sumar
para que su suma sea 1.275?
4
13. Si en una progresión geométrica u1 = 4, uk = 30 +
3
8
y
k∑
n=1
un = 83 +
1
8
, determine k y la razón q de la progresión.
14. Determine una progresión aritmética tal que la suma de sus n primeros
términos sea 2n2 + 3n.
15. Si los términos de lugares p, q, r de una P.G. son a, b y c respectiva-
mente, demuestre que:
aq−r · br−p · cp−q = 1.
16. Calcular la suma de n términos de: 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + · · ·
17. Calcular la suma de: 4 · 7 + 7 · 12 + 10 · 17 + · · · + 157 · 262.
18. Encuentre la suma de n términos de
a, (a + d)r2, (a + 3d)r3, . . .
19. Sume:
(a) 2n términos de: 5 ·+3 · 6 + 4 · 7 + · · ·
(b) n términos de: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) + (n + 2)(n + 3) + · · ·
(c) 2n términos de: 12 + 23 + 32 + 43 + 52 + 63 + · · ·
(d) 2n términos de: 1− 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + · · ·
(e) (2n− 1) términos de: 1− 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + · · ·
20. Calcule la suma de los n primeros paréntesis de la expresión:
1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + · · ·
21. Calcule:
a)
i=n∑
i=1
j=20∑
j=1
2j−i b)
i=100∑
i=1
j=25∑
j=1
(i2 · j)
c)
k=n∑
k=2
i=m∑
i=1
(2a) d)
j=10∑
j=1
k=n∑
k=1
2(j · k + j)
e)
j=n∑
j=1
i=j∑
i=1
ai+j f)
j=100∑
j=0
k=3∑
k=0
jk
5
III Teorema del Binomio
1. Simplifique y calcule:
a)
7!
5!
b)
12!
14!
c)
(
8
5
)
d)
(
8
3
)
e)
(
6
0
)
+
(
6
1
)
+
(
6
2
)
+
(
6
3
)
+
(
6
4
)
f)
(
19
17
)
+
(
19
18
)
2. Simplifique las expresiones:
a)
(n + 2)!
n!
b)
n!− (n− 1)!
(n− 1)! c)
(
4n
3n
)(
3n
2n
)(
2n
n
)
d)
(
n + 1
3
)
(
n
2
) e)
(
n + 1
r + 1
)
(
n
r
)
3. Calcule el valor del número natural n tal que:
a)
(
n
2
)
= 55 b)
(
n
n− 2
)
= 10 c)
(
n
3
)
=
(
n
5
)
4. Demuestre que:
a)
(2n)
n!
= 2n[1 · · · 3 · · · (2n− 1)]
b)
(
n
k − 1
)
+ 2
(
n
k
)
+
(
n
k + 1
)
=
(
n + 2
k + 1
)
5. Desarrolle:
a) (3x + 2y)6 b) (1− x)7 c)
(
3
√
x +
1
x
)6
d)
(
x2 − 1
x
)5
6. Encuentre los coeficientes de los términos indicados en los desarrollos
correspondientes:
a) x11 en (3x + 2x2)9 b) x9 en
(
2x− 3
x
)13
c) x2 en
(
3
√
x− 2
x2
)27
d) x2r en (1− x2)4r
6
7. Encuentre los términos centrales en los desarrollos de
a)
(
3a− a
3
6
)10
b)
(
4x
5
− 5
2x
)15
c)
(√
x− a +√a− x)24
8. Encuentre el término independiente de x en el desarrollo de
a)
(
3
2
x2 − 1
3x
)9
b)
(
x− 1
x2
)3n
9. Calcule el valor numérico del término independiente de x en el desar-
rollo de
(
3x65 + 2
) (
x− 1
x2
)40
10. Calcule el coeficiente de x−2 en el desarrollo de
x2
(
x2 − 2
x2
)28
11. Calcule el coeficiente de x25 en el desarrollo de
(
1 +
1
x2
+
1
x4
) (
1 + x2
)50
12. Si xr se encuentra en el desarrollo de
(
x +
1
x
)n
, halle su coeficiente.
13. Encuentre el coeficiente de xn en el desarrollo de
(
x2 +
1
x
)2n
14. Determine el coeficiente de
1
x
en el desarrollo de
(1 + x)n
(
1 +
1
x
)n
15. Encuentre el coeficiente de xn en el desarrollo de
x3
(
4x2 − 1
2x
)2n
7
16. El segundo, tercer y cuarto término en el desarrollo de (x + y)n son
240, 720 y 1080, respectivamente. Calcule x, y, n.
17. Demuestre que el coeficiente del término central del desarrollo de (1 +
x)2n es igual a la suma de los coeficientes de los términos centrales del
desarrollo de (1 + x)2n−1
18. Determine el valor de k para que los coeficientes de xk y xk+1 en el
desarrollo de (3x + 2)19 sean iguales.
19. Determine el valor de a para que los coeficientes de x7 y x6 en el
desarrollo de (x + a)5(x− 2a)3 sean iguales.
20. Calcule la suma y el producto de
(
2 +
√
3
)7
con
(
2−
√
3
)7
21. Determine el valor de a de manera que la suma de los coeficientes de
los términos centrales sea igual al término independiente de x en el
desarrollo de:
(
x− a
x2
)9
22. Si (1+x2)2(1+x)n = a0+a1x+a2x
2+a3x
3+· · · y si a0, a1, a2 están en
progresión aritmética, determine los posibles valores del número natural
n.
23. Demuestre que:
a)
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
(
n
3
)+ · · ·+
(
n
n
)
= 2n
b)
(
n
1
)
+ 2
(
n
2
)
+ 3
(
n
3
)
+ · · ·+ n
(
n
n
)
= n · 2n−1
24. Demuestre que:
a)
n+1∑
k=2
(
k
2
)
=
(
n + 2
3
)
b)
n∑
k=0
(
n
k
)
=
(
2n
n
)
8
25. Demuestre que:
a)
(
n
0
)
+
1
2
(
n
1
)
+
1
3
(
n
2
)
+ · · · + 1
n + 1
(
n
n
)
=
1
n + 1
(
2n+1 − 1)
b) 1
(
n
1
)2
+ 2
(
n
2
)2
+ 3
(
n
3
)2
+ · · · + n
(
n
n
)2
= n
(
2n− 1
n
)
26. Calcule la suma de los n primeros términos de
−
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+ 3
(
n
2
)
+ 5
(
n
3
)
+ · · ·
27. Demuestre que si n es natural mayor que 1
(
n
1
)
+ 3
(
n
3
)
+ 5
(
n
5
)
+ · · · = 2
(
n
2
)
+ 4
(
n
4
)
+ · · · = n · 2n−2
28. Demuestre que si n es número natural, entonces
(1 +
√
3)2n+1 + (1−
√
3)2n+1 es natural.
29. A partir de la identidad (1 + x)m · (1 + x)n = (1 + x)m+n , calcule el
valor de
(
m
r
)(
n
0
)
+
(
m
r − 1
)(
n
1
)
+
(
m
r − 2
)(
n
2
)
+ · · · +
(
m
0
)(
n
r
)
.
30. Determine el coeficiente de xn en el desarrollo de
[1 + (n + 1)x]
[
1 + (1 + x)2n−1
]
y de alĺı demuestre que:
(
n
0
)2
+ 2
(
n
1
)2
+ 3
(
n
2
)2
+ · · · + (n + 1)
(
n
n
)2
=
(n + 2)(2n− 1)!
n!(n− 1)!
9