Ayudanta 3 - Seba Urrutia

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segundo Semestre 2011
MAT 1610 ? AYUDANTÍA 3
Sección 02 Sebastián Urrutia Quiroga
1. Considere los siguientes problemas:
a) Demuestre por definición que ĺım
n→∞
2n3 + 6n + 1
n3 − 1
= 2
b) Sea an =
2n2 + 1
3n2 + 6n + 2
. Calcule ĺım
n→∞
an y demuéstrelo por definición.
c) Demuestre que si ĺım
n→∞
a2n = ĺım
n→∞
a2n+1 = L, entonces ĺım
n→∞
an = L.
Solución
(Ver páginas siguientes)
Cualquier consulta o sugerencia, v́ıa mail a sgurruti@uc.cl con asunto “Consulta MAT 1610”
2. Sea {an} una sucesión tal que an =
(
3
e
)2−n
,∀n ∈ N, entonces calcule:
a) ĺım
n→∞
(−1)nan
b) ĺım
n→∞
a2 + a4 + · · ·+ a2n
Solución
a) Como
(
3
e
)2−n
→ an =
(
9
e2
)(e
3
)n
. Luego,
ĺım
n→∞
(−1)nan =
(
9
e2
)
ĺım
n→∞
(−1)n
(e
3
)n
=
(
9
e2
)
ĺım
n→∞
(
−e
3
)n
= 0
pues
∣∣− e
3
∣∣ < 1.
b) Notemos que
a2n =
(
9
e2
)(e
3
)2n
=
(
9
e2
)(
e2
9
)n
Aśı,
a2 + a4 + · · ·+ a2n =
n∑
k=1
a2k =
n∑
k=1
(
9
e2
)(
e2
9
)k
=
(
9
e2
) n∑
k=1
(
e2
9
)k
=
(
9
e2
)(
e2
9
)(
1− rn
1− r
)
=
1− rn
1− r
con r = e
2
9
. Finalmente,
ĺım
n→∞
a2 + a4 + · · ·+ a2n = ĺım
n→∞
1− rn
1− r
=
1
1− r
pues |r| < 1.
�
3. a) Sea a un número real fijo. Calcule ĺım
n→∞
[a] + [2a] + [3a] + · · ·+ [na]
n2
b) Considere la sucesión dada por an =
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 · · · (2n)
. Pruebe que ĺım
n→∞
an =
L existe y que 0 ≤ L ≤ 1
2
.
(Para las siguientes preguntas, determine el valor de ĺım
n→∞
an para cada
término general de la sucesión)
c) an =
4 · 10n − 3 · 102n
3 · 10n−1 − 2 · 102n−1
d) an =
(
2
3
)n(
1
2
)n
+
(
9
10
)n
e) an =
1
n3
n∑
k=1
k2
f ) an =
√
(n + 2)(n + 3)− n
g) an =
(√
n−
√
n + 1
)
cos (n!)
h) an =
n∑
i=1
1
n2 + i
i) an =
n∑
k=1
1√
n2 + k
j ) an =
√
n2 + n−
√
n
k) an = 1− (−1)n
l) an =
1− (−1)n
n
m) an =
3
√
n + 1− 3
√
n
n) an = n
(
1− 3
√
1− c
n
)
ñ) an =
(
n
n + 1
)n
o) an =
(
1 +
x
n
)n
p) an =
(
1 +
1
n + 4
)n
q) an =
(
n2 + 2n + 3
n2 + 2n + 1
)(n+1)2
Solución
a) Sea Sn = [a] + [2a] + [3a] + · · ·+ [na]. Se sabe que x− 1 < [x] ≤ x, ∀x. Aśı,
a− 1 < [a] ≤ a
2a− 1 < [2a] ≤ 2a
3a− 1 < [3a] ≤ 3a
...
na− 1 < [na] ≤ na
Sumando, nos queda:
(a + 2a + · · ·+ na)− n < Sn ≤ (a + 2a + · · ·+ na)
a(1 + 2 + · · ·+ n)− n < Sn ≤ a(1 + 2 + · · ·+ n)
a
n(n + 1)
2
− n < Sn ≤ a
n(n + 1)
2
a
n(n + 1)
2n2
− 1
n
<
Sn
n2
≤ an(n + 1)
2n2
a
(
1
2
+
1
2n
)
− 1
n
<
Sn
n2
≤ a
(
1
2
+
1
2n
)
Por el Teorema del Sandwich, ĺım
n→∞
[a] + [2a] + [3a] + · · ·+ [na]
n2
=
a
2
.
b) Sea
an =
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 · · · (2n)
La sucesión {an} es decreciente y acotada inferiormente, en efecto:
Es claro que para todo n ∈ N se tiene que 0 < an, ya que an es el cociente
de reales positivos. Por lo tanto, es acotada inferiormente.
Notemos que
an+1
an
=
2n + 1
2(n + 1)
y 2n+1
2(n+1)
< 1, es decir an+1 < an. Por tanto, la sucesión es decreciente.
Luego, la sucesión es convergente. Sea ĺım
n→∞
an = L. Notemos que L = ı́nf an : n ∈ N,
a1 = 1/2 y que todos los elementos de la sucesión son positivos, por lo tanto:
0 ≤ L ≤ 1
2
(Ver páginas siguientes)
4. Determine ĺım
n→∞
an, con
a1 = 0.9, a2 = 0.99, · · · an = 0.9999 . . .
Solución
Analicemos nuestra sucesión:
a1 = 0.9 =
9
10
=
9
10
a2 = 0.99 =
99
100
=
9
10
+
9
102
an = 0.999. . . =
999 . . .
1000 . . .
=
9
10
+
9
102
+ · · ·+ 9
10n
Por lo tanto,
an =
n∑
k=1
9
10k
= 9
n∑
k=1
(
1
10
)k
= 9
[
1
10
(
1− 1
10n
1− 1
10
)]
= 1− 1
10n
Aśı,
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
1− 1
10n
= 1
Note que, aunque la sucesión consiste en agregar nueves luego de la coma, ésta
converge a uno. ¿Podŕıa explicar por qué?
�
5. Dada la sucesión definida por a1 = 3, an+1 =
1
2
·
(
an +
4
an
)
a) Demuestre que ∀n ∈ N, an ≥ 2.
b) Pruebe que la sucesión es decreciente.
c) Calcule su ĺımite.
Solución