Ayudanta 1 - Max Cubillos

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Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
MAT1610 - Cálculo I
Sección 8 - Sala B15
Ayudant́ıa N°1
Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez
mecubill@uc.cl
Problema 1
Sean A,B ⊂ R+ dos conjuntos acotados tales que ı́nf A > 0.
(a) Sea 1/A := {1/a; a ∈ A}. Pruebe que 1/A está acotado superiormente y que sup(1/A) =
1/ ı́nf(A).
(b) Sea B/A := {b/a; a ∈ A ∧ b ∈ B}. Pruebe que B/A está acotado superiormente y hallar su
supremo.
Problema 2
Sean A, B dos subconjuntos no vaćıos de R+.
(a) Sea
AB := {x = a · b | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Pruebe que si A y B están acotados superiormente entonces también lo están los conjuntos A ∪B
y AB, siendo
sup(A ∪B) = sup{supA, supB} y sup(AB) = supA · supB
(b) Sea A ⊂ B, probar que:
supA ≤ supB y ı́nf A ≥ ı́nf B.
(c) Sea bk una sucesión acotada y sea an definida por
an := sup{bk; k ≥ n}
Si bk := {(−1)k[2−(−1)k], demostrar que an es convergente y halle ĺım
n→∞
an, usando el inciso anterior.
Problema 3
Sea {an} sucesión definida por:
a1 = 1; an+1 =
√
9 + (an)
2
2
, para n ≥ 1
Demostrar que la sucesión converge y hallar su ĺımite.
Problema 4
Demuestre según la definición que:
(a) ĺım
n→∞
4n− 7
2n + 2
= 2
(b) ĺım
n→∞
3n3 + 10
n + 2
=∞
(c) ĺım
n→∞
5 · 7n − 9
2 · 7n + 3
=
5
2
1
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
MAT1610 - Cálculo I
Sección 8 - Sala B15
Ayudant́ıa N°2
Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez
mecubill@uc.cl
Problema 1
Demuestre que para cualquier sucesión an , n ∈ N que converja a cero, siendo |an| < 1 y an 6= 0 ,
se cumple:
ĺım
n→∞
log(1 + an)
an
= 1 y ĺım
n→∞
ean − 1
an
= 1
Problema 2
Dada la sucesión an definida por:
an =
(1 + n)4n
(
n∑
k=1
4k3)n
Hallar ĺım
n→∞
an.
Problema 4
(a) Sea an una sucesión tal que ĺım
n→∞
an+1
an
= a < 1, pruebe que ĺım
n→∞
an = 0.
(b) Para cada a ∈ R+ estudiar el siguiente ĺımite:
ĺım
n→∞
an + n!
an − n!
Problema 5
Si 0 ≤ α ≤ β ≤ γ , demuestre que:
ĺım
n→∞
n
√
αn + βn + γn = γ
Problema 6
Determine la convergencia de las siguientes sucesiones y en caso de existir el ĺımite, calcúlelo:
(a) ĺım
n→∞
(
2
7
cos2(log(x3)− log(x−2)) + 1
2
cos4(
n3 + 3
n!
)
)n
(b) ĺım
n→∞
(
√
n2 + 3n+ 4−
√
n2 + 2) · cos(n
n
n!
)
(c) ĺım
n→∞
6n + n6
3 · 52n−2 − 3n4
(d) ĺım
n→∞
(
4n2 + 4n+ 4
4n2 + 4n+ 1
)n
(e) ĺım
n→∞
log n · tan2( 1
n
)
n
(f) ĺım
n→∞
n∑
k=1
k · n
n3 + k
1
Ayudant́ıa N° 3
Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez
mecubill@uc.cl
Problema 1
Calcule ĺım
x→
2
3
9x2 − 4
3x− 2
. Luego, demuestre por definición que dicho ĺımite es correcto.
Problema 2
(a) Si no existen los ĺımites ĺım
x→a
f(x) y ĺım
x→a
g(x), ¿Puede existir ĺım
x→a
f(x)g(x) ?
(b) Si existen los ĺımites ĺım
x→a
f(x) y ĺım
x→a
f(x)g(x), ¿Debe existir ĺım
x→a
g(x) ?
(c) Si existe ĺım
x→a
f(x) pero no existe ĺım
x→a
g(x), ¿Puede existir ĺım
x→a
f(x)g(x) ?
Problema 3
(a) Muestre que ĺım
x→ y
xm − ym
xn − yn
=
m
n
· ym−n
(b) Usando lo anterior calcule: ĺım
x→ 1
x1/5 − x1/10
x1/4 − x1/3
Problema 4
Calcule el siguiente ĺımite:
ĺım
x→ 0
ax − 1
x
; (a > 0)
Luego calcule:
(a) ĺım
x→ 0
ex − 1
x
(b) ĺım
x→ 0
ex − ex2
x− x2
Problema 5
Determinar α ∈ R tal que :
ĺım
x→ 0
x3 + 4α2 − αx2 + 12α+ 9
x3 − x2
=
3
2
Problema 6
Calcular:
(a) ĺım
x→ 0
√
1− 2x− x2 − 1− x
x
(b) ĺım
x→ 0
2 + x4 cos
1
x
(c) ĺım
x→ 0
tan 3x+ 1− cosx
x
(d) ĺım
x→ ∞
[x
a
]
· b
x
(e) ĺım
x→
π
2
sin(− cos2 x)
1− sinx
(f) ĺım
x→ 0
n
√
1 + x− 1
x
1
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Ayudant́ıa N°4
Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez
mecubill@uc.cl
Problema 1
Demuestre que si f(x) es una función continua en un punto x0 y f(x0) > 0, entonces existe una
vecindad de x0 donde f es positiva.
Problema 2
Analice los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
(a) f(x) =
sin 2x
x− x2
(b) f(x) = x ·
[
1
x
]
(c) f(x) =
3
√
1 + x− 1
x
(d) f(x) =
cos(x)
| cos(x)|
Problema 3
Determinar A y B tales que f(x) sea continua en todo R.
(a) f(x)=

-2sin(x) si x ≤ −π
2
Asin(x) +B si − π
2
≤ x ≤ π
2
cos(x) si x ≥ π
2
(b) f(x)=

|x2 − 1| cos(π
2
)
x− 1
si x < 1
A si x = 1
x−B√
x+ 3− 3
− 4 si x > 1
Problema 4
Determine los puntos donde la siguiente función es continua:
f(x) = ĺım
n→∞
1
1 + x2n
1
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Sección 8 - Sala B15
Ayudant́ıa N° 5
Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez
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Problema 1 (Media aritmético-geométrica)
Sean xn y yn dos sucesiones tales que x1 = a y y1 = b con a ≥ b definidas por:
xn+1 =
√
xnyn yn+1 =
xn + yn
2
Mostrar que ambas sucesiones tienen ĺımite común: M(a, b) = ĺım
n→∞
xn = ĺım
n→∞
yn
Problema 2 (Algoritmo babilónico para ráız cuadrada)
Se define la sucesión yn con y0 > 0 arbitrario y n ∈ N, como
yn =
1
2
(
yn−1 +
x
yn−1
)
Mostrar que ĺım
n→∞
yn =
√
x. Ayuda:
yn −
√
x
yn +
√
x
=
(
yn−1 −
√
x
yn−1 −
√
x
)2
Problema 3
Sea P (x) = a1x+ a2x
2 + a3x
3...+ anx
n y m ∈ N. Mostrar que:
ĺım
x→∞
m
√
1 + P (x)− 1
x
=
a1
m
Problema 4 (Función de Dirichlet)
Probar que la función:
f(x) = ĺım
m→∞
ĺım
n→∞
cosn(πm!x)
No es continua en ningún punto.
¿Qué se puede decir de una función que toma sólo valores racionales?
Problema 5 (Propiedad del punto fijo)
(a) Sea f : [0, 1] → R continua y tal que f(0) = f(1). Demuestre que existe x ∈ [0, 1] tal que
f(x) = f(x+
1
2
).
(b) Demuestre que si f es una función continua en [a, b] tal que f(a) < a y f(b) > b, entonces existe
un punto c en dicho intervalo donde f(c) = c.
Problema 6
Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas para todos los reales y continuas en x = 0. Si se cumple
que:
f(x+ y) = f(x) + f(y) y g(x+ y) = g(x) · g(y)
Probar que tanto f como g son continuas en todo punto a.
Problema 7
Hallar las aśıntotas de la gráfica de la ecuación xy2 − 3y2 − 4x = 8.
1