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Facultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas MAT1610 - Cálculo I Sección 8 - Sala B15 Ayudant́ıa N°1 Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez mecubill@uc.cl Problema 1 Sean A,B ⊂ R+ dos conjuntos acotados tales que ı́nf A > 0. (a) Sea 1/A := {1/a; a ∈ A}. Pruebe que 1/A está acotado superiormente y que sup(1/A) = 1/ ı́nf(A). (b) Sea B/A := {b/a; a ∈ A ∧ b ∈ B}. Pruebe que B/A está acotado superiormente y hallar su supremo. Problema 2 Sean A, B dos subconjuntos no vaćıos de R+. (a) Sea AB := {x = a · b | a ∈ A ∧ b ∈ B} Pruebe que si A y B están acotados superiormente entonces también lo están los conjuntos A ∪B y AB, siendo sup(A ∪B) = sup{supA, supB} y sup(AB) = supA · supB (b) Sea A ⊂ B, probar que: supA ≤ supB y ı́nf A ≥ ı́nf B. (c) Sea bk una sucesión acotada y sea an definida por an := sup{bk; k ≥ n} Si bk := {(−1)k[2−(−1)k], demostrar que an es convergente y halle ĺım n→∞ an, usando el inciso anterior. Problema 3 Sea {an} sucesión definida por: a1 = 1; an+1 = √ 9 + (an) 2 2 , para n ≥ 1 Demostrar que la sucesión converge y hallar su ĺımite. Problema 4 Demuestre según la definición que: (a) ĺım n→∞ 4n− 7 2n + 2 = 2 (b) ĺım n→∞ 3n3 + 10 n + 2 =∞ (c) ĺım n→∞ 5 · 7n − 9 2 · 7n + 3 = 5 2 1 Facultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas MAT1610 - Cálculo I Sección 8 - Sala B15 Ayudant́ıa N°2 Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez mecubill@uc.cl Problema 1 Demuestre que para cualquier sucesión an , n ∈ N que converja a cero, siendo |an| < 1 y an 6= 0 , se cumple: ĺım n→∞ log(1 + an) an = 1 y ĺım n→∞ ean − 1 an = 1 Problema 2 Dada la sucesión an definida por: an = (1 + n)4n ( n∑ k=1 4k3)n Hallar ĺım n→∞ an. Problema 4 (a) Sea an una sucesión tal que ĺım n→∞ an+1 an = a < 1, pruebe que ĺım n→∞ an = 0. (b) Para cada a ∈ R+ estudiar el siguiente ĺımite: ĺım n→∞ an + n! an − n! Problema 5 Si 0 ≤ α ≤ β ≤ γ , demuestre que: ĺım n→∞ n √ αn + βn + γn = γ Problema 6 Determine la convergencia de las siguientes sucesiones y en caso de existir el ĺımite, calcúlelo: (a) ĺım n→∞ ( 2 7 cos2(log(x3)− log(x−2)) + 1 2 cos4( n3 + 3 n! ) )n (b) ĺım n→∞ ( √ n2 + 3n+ 4− √ n2 + 2) · cos(n n n! ) (c) ĺım n→∞ 6n + n6 3 · 52n−2 − 3n4 (d) ĺım n→∞ ( 4n2 + 4n+ 4 4n2 + 4n+ 1 )n (e) ĺım n→∞ log n · tan2( 1 n ) n (f) ĺım n→∞ n∑ k=1 k · n n3 + k 1 Ayudant́ıa N° 3 Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez mecubill@uc.cl Problema 1 Calcule ĺım x→ 2 3 9x2 − 4 3x− 2 . Luego, demuestre por definición que dicho ĺımite es correcto. Problema 2 (a) Si no existen los ĺımites ĺım x→a f(x) y ĺım x→a g(x), ¿Puede existir ĺım x→a f(x)g(x) ? (b) Si existen los ĺımites ĺım x→a f(x) y ĺım x→a f(x)g(x), ¿Debe existir ĺım x→a g(x) ? (c) Si existe ĺım x→a f(x) pero no existe ĺım x→a g(x), ¿Puede existir ĺım x→a f(x)g(x) ? Problema 3 (a) Muestre que ĺım x→ y xm − ym xn − yn = m n · ym−n (b) Usando lo anterior calcule: ĺım x→ 1 x1/5 − x1/10 x1/4 − x1/3 Problema 4 Calcule el siguiente ĺımite: ĺım x→ 0 ax − 1 x ; (a > 0) Luego calcule: (a) ĺım x→ 0 ex − 1 x (b) ĺım x→ 0 ex − ex2 x− x2 Problema 5 Determinar α ∈ R tal que : ĺım x→ 0 x3 + 4α2 − αx2 + 12α+ 9 x3 − x2 = 3 2 Problema 6 Calcular: (a) ĺım x→ 0 √ 1− 2x− x2 − 1− x x (b) ĺım x→ 0 2 + x4 cos 1 x (c) ĺım x→ 0 tan 3x+ 1− cosx x (d) ĺım x→ ∞ [x a ] · b x (e) ĺım x→ π 2 sin(− cos2 x) 1− sinx (f) ĺım x→ 0 n √ 1 + x− 1 x 1 Facultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas MAT1610 - Cálculo I Sección 8 - Sala B15 Ayudant́ıa N°4 Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez mecubill@uc.cl Problema 1 Demuestre que si f(x) es una función continua en un punto x0 y f(x0) > 0, entonces existe una vecindad de x0 donde f es positiva. Problema 2 Analice los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: (a) f(x) = sin 2x x− x2 (b) f(x) = x · [ 1 x ] (c) f(x) = 3 √ 1 + x− 1 x (d) f(x) = cos(x) | cos(x)| Problema 3 Determinar A y B tales que f(x) sea continua en todo R. (a) f(x)= -2sin(x) si x ≤ −π 2 Asin(x) +B si − π 2 ≤ x ≤ π 2 cos(x) si x ≥ π 2 (b) f(x)= |x2 − 1| cos(π 2 ) x− 1 si x < 1 A si x = 1 x−B√ x+ 3− 3 − 4 si x > 1 Problema 4 Determine los puntos donde la siguiente función es continua: f(x) = ĺım n→∞ 1 1 + x2n 1 Facultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas MAT1610 - Cálculo I Sección 8 - Sala B15 Ayudant́ıa N° 5 Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez mecubill@uc.cl Problema 1 (Media aritmético-geométrica) Sean xn y yn dos sucesiones tales que x1 = a y y1 = b con a ≥ b definidas por: xn+1 = √ xnyn yn+1 = xn + yn 2 Mostrar que ambas sucesiones tienen ĺımite común: M(a, b) = ĺım n→∞ xn = ĺım n→∞ yn Problema 2 (Algoritmo babilónico para ráız cuadrada) Se define la sucesión yn con y0 > 0 arbitrario y n ∈ N, como yn = 1 2 ( yn−1 + x yn−1 ) Mostrar que ĺım n→∞ yn = √ x. Ayuda: yn − √ x yn + √ x = ( yn−1 − √ x yn−1 − √ x )2 Problema 3 Sea P (x) = a1x+ a2x 2 + a3x 3...+ anx n y m ∈ N. Mostrar que: ĺım x→∞ m √ 1 + P (x)− 1 x = a1 m Problema 4 (Función de Dirichlet) Probar que la función: f(x) = ĺım m→∞ ĺım n→∞ cosn(πm!x) No es continua en ningún punto. ¿Qué se puede decir de una función que toma sólo valores racionales? Problema 5 (Propiedad del punto fijo) (a) Sea f : [0, 1] → R continua y tal que f(0) = f(1). Demuestre que existe x ∈ [0, 1] tal que f(x) = f(x+ 1 2 ). (b) Demuestre que si f es una función continua en [a, b] tal que f(a) < a y f(b) > b, entonces existe un punto c en dicho intervalo donde f(c) = c. Problema 6 Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas para todos los reales y continuas en x = 0. Si se cumple que: f(x+ y) = f(x) + f(y) y g(x+ y) = g(x) · g(y) Probar que tanto f como g son continuas en todo punto a. Problema 7 Hallar las aśıntotas de la gráfica de la ecuación xy2 − 3y2 − 4x = 8. 1
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