Ayudanta 5 - Felipe Huerta

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
31 de Agosto de 2011
Ayudant́ıa #X1 - MAT1610 - S:7
Felipe Huerta Pérez - fnhuerta@uc.cl
1. Sea u1 = a y un+1 =
√
ab2+u2n
a+1
con 0 < a < b. Muestre que (un) es convergente
y calcule su ĺımite.
2. Una sucesión an se llama de Cauchy si para todo � > 0 existe N tal que
n,m ≥ N ⇒ |an − am| < �
Demuestre que toda sucesión de Cauchy es acotada, y que una sucesión an
converge si y solo si es de Cauchy.
3. Determinar la existencia de ĺım
x→x0
[x]x para cada xo ∈ R. Grafique
4. Sea n ∈ N, Pruebe que para 1
n+1
< x ≤ 1
n
se tiene:
n
n+ 1
<
[ 1
x
]
1
x
≤ 1
y evalúe
ĺım
x→0
[ 1
x
]
1
x
5. Sea f [0, π
2
] una función continua tal que f(0) = f(π
2
). Demuestre que existe
x ∈ [0, π
2
] tal que f(x) = f(x+ π
4
) .
¡Éxito para la I1!
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