Ayudanta 6 - Seba Urrutia

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segundo Semestre 2011
MAT 1610 ⋆ AYUDANTÍA 6
Sección 02 Sebastián Urrutia Quiroga
1. Calcule por definición la derivada de f(x) =
√
1 + x2 en el punto x =
√
3:
Solución
Por la definición de derivada, sabemos que:
ĺım
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= ĺım
h→0
√
1 + (x+ h)2 −
√
1 + x2
h
= ĺım
h→0
√
1 + (x+ h)2 −
√
1 + x2
h
·
(√
1 + (x+ h)2 +
√
1 + x2√
1 + (x+ h)2 +
√
1 + x2
)
= ĺım
h→0
1 + (x+ h)2 − 1− x2
h(
√
1 + (x+ h)2 +
√
1 + x2)
= ĺım
h→0
h(2x+ h)
h(
√
1 + (x+ h)2 +
√
1 + x2)
= ĺım
h→0
2x+ h√
1 + (x+ h)2 +
√
1 + x2
=
2x
2
√
1 + x2
=
x√
1 + x2
Por tanto,
f ′(
√
3) =
√
3
2
�
2. Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
a) g(x) =
√
sin (x2)
√
tan (2x) + ln
(
1
x
)
Solución
La derivada del primer sumando es:
cos (x2) · 2x
2
√
sin (x2)
·
√
tan (2x) +
√
sin (x2) · sec
2 (2x) · 2
2
√
tan (2x)
La derivada del segundo sumando es:
−1
x2
1
x
=
−1
x
Aśı,
g′(x) =
cos (x2) · x√
sin (x2)
·
√
tan (2x) +
√
sin (x2) · sec
2 (x) · 2√
tan (2x)
− 1
x
�
b) f(x) = ln
(
1 + x
1− x
)
Solución
Por la regla de la cadena, tenemos que:
1
1 + x
1− x
·
(
1 + x
1− x
)′
Ahora, aplicando la regla del cuociente en la derivada,(
1 + x
1− x
)′
=
(1− x) · 1− (1 + x) · −1
(1− x)2
=
2
(1− x)2
Aśı,
f ′(x) =
(
1− x
1 + x
)
· 2
(1− x)2
=
2
1− x2
�
c) h(x) = sin (x) e
√
x+cos (2x)
Solución
Por la regla del producto, la derivada corresponde a:
cos (x) e
√
x+cos (2x) + sin (x)
(
e
√
x+cos (2x)
)′
Aplicando la regla de la cadena,(
e
√
x+cos (2x)
)′
= e
√
x+cos (2x) · 1− 2 sin (2x)
2
√
x+ cos (2x)
Finalmente,
h′(x) = cos (x) e
√
x+cos (2x) + sin (x) e
√
x+cos (2x) · 1− 2 sin (2x)
2
√
x+ cos (2x)
�
3. a) Si se define la función f(x) =
1
2
· x · |x|, demuestre es diferenciable ∀x ∈ R y
encuentre f ′(x)
Solución
Se tiene que:
f(x) =

1
2
x2 si x ≥ 0
−1
2
x2 si x < 0
⇒ f ′(x) =

x si x > 0
−x si x < 0
y con ello es claro que f(x) es diferenciable ∀x ̸= 0. Por otra parte,
ĺım
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= ĺım
h→0
f(h)
h
= ĺım
h→0
1
2
h |h|
h
=
1
2
ĺım
h→0
|h| = 0
Entonces f(x) también es diferenciable en el origen. Aśı,
f ′(x) =

x si x > 0
−x si x < 0
0 si x = 0
⇒ f ′(x) = |x|
�
b) Sea f : [a, b] → R, una función derivable en todo (a, b). Sea x0 ∈ (a, b) fijo , se
define:
ϕ(x0) =
f(x0 + h)− f(x0 − h)
2h
Demuestre que ĺım
h→0
ϕ(x0) = f
′(x0)
Solución
Notemos que la función ϕ(x) puede escribirse como:
ϕ(x0) =
f(x0 + h)− f(x0 − h)
2h
=
f(x0 + h)− f(x0) + f(x0)− f(x0 − h)
2h
=
1
2
f(x0 + h)− f(x0)
h
+
1
2
f(x0)− f(x0 − h)
h
Entonces,
ĺım
h→0
ϕ(x0) =
1
2
 ĺımh→0 f(x0 + h)− f(x0)h︸ ︷︷ ︸
f ′(x0)
+ ĺım
h→0
f(x0)− f(x0 − h)
h

Pero, sea u = −h. Si h → 0, entonces u → 0. Aśı:
ĺım
h→0
f(x0)− f(x0 − h)
h
= ĺım
u→0
f(x0)− f(x0 + u)
−u
= ĺım
u→0
f(x0 + u)− f(x0)
u
= f ′(x0)
Con ello,
ĺım
h→0
ϕ(x0) =
1
2
(
f ′(x0) + f
′(x0)
)
= f ′(x0)
�
4. Determine los valores de a, b para los cuales la función:
f(x) =

5 +
√
2x , si x ∈ (0, 8]
bx+ a , si x ∈ (8,∞)
Sea diferenciable en x = 8.
Solución
Primero que todo, necesitamos que f sea continua en x = 8. Aśı:
ĺım
x→8−
f(x) = 9 = f(8)
ĺım
x→8+
f(x) = 8b+ a
∴ 8b+ a = 9
Por otra parte, por la definición formal de derivada, tenemos que:
ĺım
x→8+
f(x)− f(8)
x− 8
= ĺım
x→8
bx+ a− 9
x− 8
= ĺım
x→8
bx+ a− (8b+ a)
x− 8
= ĺım
x→8
b(x− 8)
x− 8
= b
ĺım
x→8−
f(x)− f(8)
x− 8
= ĺım
x→8
5 +
√
2x− 9
x− 8
= ĺım
x→8
√
2x− 4
x− 8
= ĺım
x→8
√
2x− 4
x− 8
·
√
2x+ 4√
2x+ 4
= ĺım
x→8
2x− 16
(x− 8)(
√
2x+ 4)
= ĺım
x→8
2√
2x+ 4
=
1
4
Aśı,
b =
1
4
−→ a = 7
y con ello se tiene lo pedido.
�
5. Determine la ecuación de la recta tangente en x = 0 a la función:
f(x) =

x− x2 cos
(π
x
)
, si x ̸= 0
0 , si x = 0
Solución
La recta buscada pasa por (0, 0), por lo que solo falta hallar su pendiente.
Esta es:
ĺım
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= ĺım
x→0
f(h)
h
= ĺım
x→0
h− h2 cos
(π
h
)
h
= ĺım
x→0
(
1− h cos
(π
h
))
= 1− ĺım
x→0
h cos
(π
h
)
El último ĺımite es producto de una función acotada por otro que tiende a cero, por
lo que f′(0) = 1− 0 = 1. Aśı, la recta tangente buscada es:
y = x
�
6. a) Sean f y g funciones de reales, tales que:
f ′(x) = g(x)
g′(x) = f(x)
y f(0) = 0, g(0) = 1. Demuestre que F (x) = (f(x))2 − (g(x))2 es constante y
determine su valor.
b) [Propuesto] Demuestre, v́ıa inducción, la fórmula de Leibniz para la derivada
del producto:
(f(x) · g(x))(n) =
n∑
k=0
(
n
k
)
f (n−k)(x) · g(k)(x)
Solución
a) Notemos que:
F ′(x) = 2f(x)f ′(x)− 2g(x)g′(x) = 2f(x)g(x)− 2f(x)g(x) = 0
Como F ′(x) = 0, es claro que F (x) = C. Aśı,
F (0) = 02 − 12 = −1 −→ F (x) = −1, ∀x ∈ R
�
Cualquier consulta o sugerencia, v́ıa mail a sgurruti@uc.cl con asunto “Consulta MAT 1610”