Ayudanta 6 - Felipe Huerta

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
5 de Septiembre de 2011
Ayudant́ıa #6 - MAT1610 - S:7
Felipe Huerta Pérez - fnhuerta@uc.cl
1. Demuestre que si n es un entero positivo y a > 0 existe un real positivo y solo
uno tal que bn = a
2. Calcule los siguientes ĺımites:
a) ĺım
x→0
arcsinx
x
b) ĺım
x→0
(1 + sin(x))
1
x
c) ĺım
x→∞
(x−1x+1)
x
d) ĺım
x→∞
x sin(x)
3. Sea f un polinomio de grado n en x, es decir, f(x) =
∑n
k=0 ckx
k, tal que el
primero y el último coeficientes c0 y cn tienen signos opuestos. Demostrar que
f(x) = 0 por lo menos para un valor positivo de x.
4. (I1-2009) Determine los valores de a, b de modo que la siguiente función sea
continua en todos los reales:
f(x) =

|x2−1| cos(π2x)
x−1 si x < 1
a si x = 1
x−b√
x+3−2 − 4, si x > 1
5. Demuestre que la función
ĺım
n→∞
(−1)n ln(x) cos(x)
tiene una infinidad de ráıces reales o de un contraejemplo.
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