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Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 Departamento de Matemática 1-2011 Escuela de ingeniería Sección 3 RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA RASALINA@UC.CL 1 AYUDANTÍA 1: SUPREMOS, SUCESIONES Y LÍMITES DEFINICIÓN DE SUPREMO Sea el conjunto A⊂ ℝ , se dice que el número M es supremo de A si: ,x M x A≤ ∀ ∈ M es cota superior del conjunto 0 00, :x A M x Mε ε∀ > ∃ ∈ − < ≤ M es la menor de todas las cotas superiores, es decir, cualquier número menor a M es no es cota superior (existe un valor en A mayor a él) Cuando M∈A, se dice que M es el máximo de A Análogo a ello, se define el número m como el ínfimo de A: ,m x x A≤ ∀ ∈ m es cota inferior del conjunto 0 00, :x A m x mε ε∀ > ∃ ∈ ≤ < + m es la mayor de todas las cotas inferiores, es decir, cualquier número mayor a m es no es cota inferiores (existe un valor en A menor a él) AXIOMA DEL SUPREMO Se presume que cualquier conjunto no vacío acotado superiormente tiene supremo. PROBLEMA 1: ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Y SUPREMOS Sean A, B conjuntos reales no vacíos acotados superiormente, C = A∪ B Demuestre que C tiene supremo y que { }sup max sup ,supC A B= . DEMOSTRACIÓN: Sin pérdida de generalidad, supóngase sup supB A≤ Por definición sup a A a A≤ ∀ ∈ , para los elementos de B se tiene sup supb B A≤ ≤ Así sup c A c A B≤ ∀ ∈ ∪ , por lo que el supremo de A es cota superior. Ahora, como éste valor es supremo de A se tiene 0 00, : sup supa A A a Aε ε∀ > ∃ ∈ − ≤ < Como f A A B⊆ ∪ , 0a A B∈ ∪ . Por lo que el supremo de A es el supremo de A unión B Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 Departamento de Matemática 1-2011 Escuela de ingeniería Sección 3 RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA RASALINA@UC.CL Ejercicios propuestos • Determine que f { }sup min sup ,supA B A B∩ = fff • { } 1.. 1 sup max sup n i i i n i A A = = =∪ PROBLEMA 2: EL SUPREMO DEL MENOR Y EL ÍNFIMO DEL MAYOR Sean S,T ⊂ ℝ no vacíos, donde se cumple: , ,s t s S t T< ∀ ∈ ∀ ∈ Si S tiene extremo superior y T, inferior; entonces se tiene: sup infS T≤ . De un ejemplo donde sup infS T= DEMOSTRACIÓN: Supóngase qué sup infS T> y sea épsilon sup inf0 2 S Tε −< < , por la definición de supremo e ínfimo: 0 0: inf inft T T t T ε∃ ∈ ≤ < + y, análogamente, 0 0: sup sups S S s Sε∃ ∈ − < ≤ Por definición se tiene 0 0 sup inf sup inf inf inf sup sup 2 2 S T S T t T T S S sε ε− −< + < + = − < − < , lo que contradice , ,s t s S t T< ∀ ∈ ∀ ∈ . Si no lo tiene claro, vea la siguiente ilustración del problema Ejemplo: [ )1,0− y ( ]0,1 Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 Departamento de Matemática 1-2011 Escuela de ingeniería Sección 3 RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA RASALINA@UC.CL 3 DEFINICIÓN DE LÍMITE DE SUCESIÓN Sea la sucesión real { }na , dice que es convergente si existe él numero l con la propiedad 0 00, : nn n n a lε ε∀ > ∃ > ⇒ − < , se denota lim n n a l →∞ = ÁLGEBRA DE LÍMITES Si las sucesiones { } { },n na b convergentes con límites a y b respectivamente, entonces los siguientes límites existen y valen: lim lim limn n n n n n n a b a b a b →∞ →∞ →∞ ± = ± = ± lim lim limn n n n n n n a b a b ab →∞ →∞ →∞ = ⋅ = Si b≠ 0, lim lim : limn n n n n n n a a a b b b→∞ →∞ →∞ = = . Cuando a=b=0, no se sabe SUCESIÓN ACOTADA La sucesión{ }na es acotada cuando existe M>0 tal que ,na M n≤ ∀ ∈ℕ PROBLEMA 3: LÍMITE CLÁSICO Calcular por definición el límite de 2 2 2 1 2 1n n v n −= + Debería ser intuitivo que, si existe un límite, este debe ser 1. Por lo que probaremos con L=1. La idea principal a la hora de trabajar con límites por definición es, derechamente, “hacer trampa”: A partir de la condición buscada en el límite ( na l ε− < ) y jugando con la expresión buscar el n sub cero en función de nuestro épsilon arbitrario. Ya encontrado el n sub cero debe procederse “de atrás para adelante” para demostrar la desigualdad del límite. Procedamos para entender mejor: 2 2 2 1 1 2 1 n n ε− − < + Trampa inicial: Parto de la condición de límite. Ahora la gracia sería despejar el n. 2 2 2 1n ε< + Fue sencillo sacar el valor absoluto, todos valores positivos Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 Departamento de Matemática 1-2011 Escuela de ingeniería Sección 3 RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA RASALINA@UC.CL 4 2 1 2 n ε − > Afortunadamente todos los pasos son reversibles, por lo que podemos tomar 0 2 1 2 n ε − = y podemos retroceder cómodamente (al lector) En resumen: • Intuir el límite y escribir la condición con un épsilon arbitrario • Despejar el n en función del épsilon y encontrar n0 • Escribir a partir de n> n0 la condición de límite PROBLEMA 4: CUANDO B =0… Sean las sucesiones { } { },n na b donde lim 0n n b →∞ = y 0,nb n≠ ∀ . Demostrar que si el límite de { }na existe y es distinto a 0, entonces n n a b no converge. DEMOSTRACION Supóngase lo contrario. Por álgebra de límites se tiene lim lim lim lim 0n nn n n n n n n n n a a a b b b b→∞ →∞ →∞ →∞ = = ⋅ = contradicción. Nota: si el límite de la sucesión an es 0, podría converger a cualquier número o incluso divergir PROBLEMA 5: RELAJACIÓN DE DESIGUALDADES Sean { } { },n na b sucesiones reales convergentes dónde: ,n na b n m m< ∀ > ∈ℝ . Considérese lim , limn n n n a bα β →∞ →∞ = = Demostrar que lim limn n n n a b →∞ →∞ ≤ . DEMOSTRACIÓN Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 Departamento de Matemática 1-2011 Escuela de ingeniería Sección 3 RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA RASALINA@UC.CL Supóngase que lim limn n n n a b →∞ →∞ > , tómese 0 2 α βε −< < , por definición de límite :a a nn n n a α ε∃ > ⇒ − < , análogamente :b b nn n n b β ε∃ > ⇒ − < . A priori los na y nb no son iguales. Para reparar tal problema simplemente debe considerarse { }max , , ,a bp n n m p> ∈ℕ Por las desigualdades en la definición de los límites se tiene paα ε α ε− < < + pbβ ε β ε− < < + Ahora, la serie de desigualdades que resuelven el ejercicio pb β ε< + Por desigualdad en la definición de límite 2p b α ββ ε β −< + < + Por cota del épsilon 2 2 α β α ββ α− −+ = − Arreglo matemático pertinente 2p b α ββ ε α α ε−< + < − < − Otra vez por cota del épsilon 2p p b a α ββ ε α α ε−< + < − < − < Desigualdad en la definición de límite Contradicción con la hipótesis ,n na b n m m< ∀ > ∈ℝ . Dibujo ilustrativo Si se toman las sucesiones { } 2 1 na n = y{ } 1nb n = se cumple lim limn n n n a b →∞ →∞ = Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 Departamento de Matemática 1-2011 Escuela de ingeniería Sección 3 RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA RASALINA@UC.CL 6 PROBLEMA 6: SI ES CONVERGENTE, ES ACOTADA Demostrar que toda sucesión convergente es acotada. Sea lim n n a l →∞ = por definición del mismo límite existe N tal que 1nn N a l> ⇒ − < ahora, si se hacen las manipulaciones pertinentes queda 1 1nl a l− < < + y ( ) ( )1 1nl a l− + < − < − − , así que { }max 1 , 1n Nn N a l l M> ⇒ < + − = Ahora tenemos cota para infinitos términos de la sucesión a partir de N, para corregir los valores finitos restantes simplemente basta considerar { } 1.. max ,i N i N M a M = = Máximo que existe dado que se toman finitos términos PROBLEMA 7: CALENTANDO MOTORES Calcule: I. 0 0 0 0 lim , 0, m j j j mn j j j p n p q m q n = →∞ = ∧ ≠ ∈ ∑ ∑ ℕ 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 lim lim lim 1 m m m j m j j m j j j m j j j m m mn n n j m j j m mj j j j j j p n p n p n p p n n q nq n q n q q n n − − − = = = − − →∞ →∞ →∞ − = = = + + = = + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ , como 0 1.. 1j m j m− < ∀ = − 1 1 0 0 lim lim 0 m m j m j m j j n n j j p n q n − − − − →∞ →∞ = = = =∑ ∑ , por tanto 0 0 0 0 lim m j j j mn j j j p n p q q n = →∞ = = ∑ ∑ II. “Sacando para afuera” : 2 3 lim , 2 3 n p n p n nn p + + →∞ + ∈ + ℕ Pareciera que el 2 molesta en ambos casos, sin embargo los primeros sumandos no afectan en la suma, por lo que deberían cancelarse. 2 2 3 2 3 3 3 lim lim 3 2 3 3 2 1 3 n p p n p n p n p nn n nn n + + →∞ →∞ + + = = + + Claramente el 3 hace al 2 “despreciable”. III. Completando: 3 3lim 1 n n n →∞ + − Basta con racionalizar adecuadamente Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 Departamento de Matemática 1-2011 Escuela de ingeniería Sección 3 RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA RASALINA@UC.CL 7 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 33 3 3 2 2 2 2 3 3 3 33 3 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n + + + + + − = + + + + + + + + PROBLEMA 8: MANIPULANDO EL BINOMIO Calcule 1 1 1 1 lim , 1 1 1 k kn n k n + →∞ − + ∈ − + ℕ Interrogación 2009-1, pregunta 1.a generalizada SOLUCIÓN Primero se manipula la división ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 11 11 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 111 1 1 k k kk kk k k k kkkk k n n n n nn n n n n n nn n nn n + + ++ +++ + − + − − + − + = = = + − +− +− + − Se aplica el binomio de newton a ambas potencias (no le haría mal estudiarlo…) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1k k kk k j k k k j k j j j j k k k k k j k k k j k j j j j k k k n n n n n n j j j k k k n n n n n n j j j + + + + + − + + + − + − = = = + + − + + + − + − = = = + + + − − − = = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Se ha llevado el problema a la resolución de un límite con una potencia a uno de la forma racional ( ) ( ) p n q n . Como ambos polinomios tienen igual grado, se tiene 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 k k k j j k kn n k j j k k n j kn k k k n jn + + + − = →∞ →∞ + − = + + − + + = = = − + ∑ ∑
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