Ayudanta 11

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Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 
Departamento de Matemática 1-2012 
Escuela de ingeniería Sección 3 
RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA 
RASALINA@UC.CL 
1
 
 
AYUDANTÍA 11: T.F.C., LOGARITMO DEFINIDO COMO INTEGRAL 
PRIMER T.F.C: LA INTEGRAL COMO ANTIDERIVADA 
Sea f función integrable y se define una función  ( )
x
a
F x f t dt  . Si f es continua en un punto 
c. Entonces F es derivable y  ( )
d
F c f c
dx
 . 
Se dice que ( )F x es la antiderivada def ( )f x 
PROBLEMA 1: UN COROLARIO INTERESANTE 
Demuestre que, si    ,a x b x son funciones derivables y  f x es continua en su dominio. 
Entonces: 
 
 
 
         ' '
b x
a x
d
f t dt f b x b x f a x a x
dx
  
Para no tener problemas con las funciones    ,a x b x que se encuentran en los extremos de 
la integral, hay que recordar que la función a derivar puede escribirse como: 
 
 
 
 
 
 
 
,
b x b x c
a x c a x
f t dt f t dt f t dt c     Como me gustaría tener una forma similar a la que 
aparece en la función del primer teorema fundamental, se escribe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b x b x b x a xc
a x c a x c c
f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt        
Si se define    
x
c
F x f t dt  , entonces  
 
 
     
b x
a x
f t dt F b x F a x  . Este arreglo se hace 
para que sea un poco más sencillo ver la derivación. Así: 
 
 
 
      
b x
a x
d d
f t dt F b x F a x f
dx dx
   Se aplica regla de la cadena 
 
 
 
         ' ' ' '
b x
a x
d
f t dt F b x b x F a x a x
dx
  Por 1º T.F.C. 
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 
 
 
         ' '
b x
a x
d
f t dt f b x b x f a x a x
dx
  
PROBLEMA 2: IGUALANDO FUNCIONES 
Encuentre una función  f x continua en su domino y a un número positivo tal que: 
     
2
3 1ln ln
3
x
a
f t t dt x x
 
  
 
 
Calcular :f  no es difícil, basta derivar y aplicar el teorema fundamental. 
   
  
 
 2 2 2 3
'
1 1
ln 2 3 ln
3a x
F a x
f x x x x x x
x
 
   
 
 Expandiendo 
     2 24 ln 3 lnf x x x x x Simplificando 
 2
3
4
f x x  
3
4
f x x  
Para calcular a, hay 2 posibilidades: 
 Reemplazar f, integrar y que sea lo que Dios quiera… 
 Calcular el número “a” sin que sea necesario conocer  f x . Para ello, me gustaría 
saber el valor de la integral en un punto… independiente de qué función se esté 
integrando. Por lo mismo, hay que acordarse de que, para cualquier función se tiene 
         
2
3 1
0 ln ln ln
3
a a
a a
f t t f t t a a
 
    
 
  Eureka! No es necesario conocer f 
Nos dan 2 soluciones: 
 
0
1
ln 0
3
a
a

 
 
El número “a” no puede ser 0 por 2 razones: Se pide un número positivo y, aún cuando no 
existiese esta regla, la función logaritmo natural no está definida en 0. 
   
2
3
1 2
ln ln
3 3
a a a e     C’est fini! 
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EL LOGARITMO NATURAL DEFINIDO COMO INTEGRAL: 
Entre las muchas formas de definir el logaritmo. La más típica es como la inversa de la 
exponencial con base e. Sin embargo, también puede definirse como una función integral: 
 ln : 0,  /  
1
1
ln
x
x dx
x
  
De esta definición se pueden deducir (al igual que con la clásica) las siguientes igualdades: 
     ln ln lnxy x y  Convierte multiplicaciones en sumas 
   ln lnx x  Convierte potencias en multiplicaciones 
 
PROBLEMA 3: LA CONSTANTE DE EULER-MASCHERONI 
Demuestre que la sucesión  
1 1 1
1 ... ln
2 1
nx n
n n
     

 es decreciente y acotada. 
Hint: Utilice la definición integral de la función logaritmo. 
Se reescribe la sucesión de la siguiente forma 
c
 
Este gráfico te podría ayudar a intuir al menos la existencia de algún límite en la sucesión. 
El área roja representa la función logaritmo interpretada como el área bajo la curva de la 
función 1
x
. Mientras que la sucesión puede considerarse como la suma de las áreas de 
“cajas” de ancho 1 y altura 1/i, representado por el gráfico azul. 
 
nx Se representa por la diferencia entre el área de la primera caja y la suma de las áreas rojas 
del 3º gráfico. 
 
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Monotonía 
   
1
1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
ln ln 1 ln ln 1
11
1
n n
n n
i i
n
x x n n
i i n n n n
n


 
     
               
      
 
 
Para trabajar esta igualdad sería bueno que vieras este gráfico 
 
EN este caso se usó n=4. 
 1ln 1 n está representado por el área bajo la curva entre la línea vertical roja y azul, 
mientras que 
1 1
1
1
n
n
 
 
  
 es la caja demarcada por la línea azul. ¿Ves qué es más grande? 
Matemáticamente queda 
 
1
1
1
1 1 11ln 1 1 1 1
1
n dx
n x n n n

    
          
    
 
Falta encontrar la cota inferior. Este paso es bien “truquero y vale la pena ponerle atención. 
Lo primero que de hace es particionar el intervalo [1,n] donde se integra (en la función 
logaritmo) n subintervalos de largo 1. 
 
1 2 3 11
11 1 2 2 1
ln ...
n i n nn
i i n n
dx dx dx dx dx dx
n
x x x x x x
 
  
           Nada del otro mundo… 
La idea ahora es comparar cada “sub-integral” con alguna “caja” para que nos quede una 
cota (cota que sale de la nada, por cierto). Por lo que cada área bajo la curva de la función 
1/x en el intervalo [i,i+1] queda acotada por arriba por la caja de alto 1/i y largo 1 
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1
1
i
i
dx
x i

 Sumamos en i desde 1 hasta n-1 (intentando formar el xn) 
11 1
1 1
1
in n
i ii
dx
x i
 
 
  ¡Casi!, lo único que nos falta es el 1/n para tener la sucesión… así que sólo 
sumamos y restamos, también reescribimos la sumatoria con integral como logaritmo 
 
1
1
1 1 1
ln 0
n
i
n
i n n


 
    
 
 
 
1
1 1
ln 0
n
n
i
x
n
i n

 
   
 
 
1
0 nx
n
  
1
0 nx
n
  Por lo que la cota es 0. 
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass (sí, por allá en la interrogación 1) se concluye que esta 
sucesión converge a algún número… el que no es 0. A éste número se le denota γ y se 
conoce como la constante de Euler-Mascheroni. Su valor aproximado es 0,577...