Ayudanta 2

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Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 
Departamento de Matemática 1-2011 
Escuela de ingeniería Sección 3 
RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA 
RASALINA@UC.CL 
AYUDANTÍA 2: TRUCOS, TEOREMA DEL SANDWICH Y NUMERO E. 
ESENCIALMENTE CÁLCULO DE LÍMITES DE SUCESIONES 
TEOREMA DEL SANDWICH 
Sean { } { } { }, ,n n nr s t sucesiones reales tales que : n n nm r s t n m∃ ∈ ≤ ≤ ∀ >ℕ y lim limn n
n n
r t
→∞ →∞
= , 
entonces { }ns converge y lim lim limn n n
n n n
r s t
→∞ →∞ →∞
= = 
 
TEOREMA DE BOLZANO-WEISSTRASS 
Si una sucesión es monótona y acotada, entonces su límite existe. 
COMPENDIO DE TRUCOS 1: LÍMITES DE LIBRO 
I. “Sacando para afuera” :
2 3
lim ,
2 3
n p n p
n nn
p
+ +
→∞
+ ∈
+
ℕ 
Pareciera que el 2 molesta en ambos casos, sin embargo los primeros sumandos no 
afectan en la suma, por lo que deberían cancelarse. 
2
2 3
2 3 3 3
lim lim 3
2 3 3 2
1
3
n
p p
n p n p n
p
nn n nn n
+ +
→∞ →∞
  + +  = =
+   + 
 
 Claramente el 3 hace al 2 “despreciable”. 
II. Completando: 3 3lim 1
n
n n
→∞
+ − 
Basta con racionalizar adecuadamente 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 33
3 3
2 2 2 2
3 3 3 33 3
1 1 1
1
1 1 1 1
n n n n
n n
n n n n n n n n
+ + + +
+ − =
+ + + + + + + +
 
Los valores en el denominador son parecidos, basta con factorizar inteligentemente 
( ) ( ) ( )2 2 23 33 23 3 3
1 1
1 1 1 1
1 1 1
n n n n
n
n n
=
  + + + +   + + + +       
 por lo que el límite es 0. 
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2
III. Identidad útil y sándwich: lim , 0n
n
r r
→∞
> 
Tratamos 2 casos: 
 
• 1r ≥ 
En este caso se cumple 1n r ≥ y es decreciente. Por lo que el límite existe gracias al 
teorema de Bolzano- Weisstrass, para obtenerlo se calcula el siguiente límite y se 
utiliza la identidad: 
( )
1
0
1 1
n
n i
i
x x x
−
=
 − = −  
 
∑ 
 
1
0
1
lim 1 limn inn n
n
i
r
r
r
−→∞ →∞
=
−
− =
∑
 Notamos que 
1
0
1 1
0 1
1
n
n
i
r r
r
n−
=
− −
< − < =
∑
, ya que 1
i
nr i> ∀ 
Por sándwich, lim 1 0n
n
r
→∞
− = con los que se concluye lim 1n
n
r
→∞
= 
• 0 1r< < 
 
Se realiza el siguiente cambio de variable 
1
'
r
r
= donde ' 1r > , por tanto 
1 1
lim lim lim 1
' '
n n
nn n n
r
r r→∞ →∞ →∞
= = = por el ejercicio anterior 
IV. Identidad útil y sándwich II: ( )
2
2lim , 0
n
n
n
r r+
→∞
> 
 
De la misma forma del anterior, se consideran 2 casos: 
• 1r ≥ 
( )2 2
1
2
n n
n nn
< =
+
, en este caso la función exponencial es creciente, así 
( )
2
1
21
n
n nr r+< < , por sándwich ( )
2
2lim 1
n
n
n
r +
→∞
= 
• 0 1r< < Basta usar el mismo cambio de variable que en el ejercicio 2, al 
lector. 
V. Sucesión inductiva I: Se define 
( )
( )
1 3 5... 2 1
2 4 6... 2n
n
z
n
⋅ ⋅ −
=
⋅ ⋅
, demostrar que converge y 
1
20 lim n
n
z
→∞
≤ ≤ . 
Para este tipo de problemas lo mejor es pensar en el teorema de Bolzano-Weisstrass. 
Debe demostrarse su monotonía y su cota. (si decrece, cota inferior; si crece, superior). 
Si se escribe la sucesión de forma recursiva (buen consejo) se obtiene: 
 
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3
1
20z = y 1
2
2 1n n
n
z z
n+
=
+
 
 
Es claro que la sucesión decrece estrictamente. Como son todos términos positivos, 
0nz ≥ , a su vez, como el primer término es 12 , 12nz ≤ . Se tiene la cota y demostrar el 
decrecimiento es casi trivial. 
( ) 1
2
2 1 2 2 1 2
2 1n n n n n
n
n n n z nz z z z
n +
+ > ⇒ + > ⇔ > =
+
 Cabe destacar que se utiliza la 
condición que la sucesión siempre es mayor a 0. 
 
VI. Sucesión inductiva II: Sea la sucesión definida por 1 12, 2n ng g g+= = + , demostrar su 
convergencia y calcular su límite. 
 
Otra vez Bolzano- Weisstrass. Demostrándose por inducción que la sucesión es 
decreciente: 
 
1 22 2 2g g= < + = , Por hipótesis inductiva se tiene 1k kg g +< , luego 
1 1 1 1 22 2 2 2k k k k k k k kg g g g g g g g+ + + + +< ⇒ + < + ⇒ + < + ⇔ < . 
Con lo que se demuestra que la sucesión es creciente. 
 
Asimismo, para comprobar que 2ng < : 
Inicialmente 1 2g < . Para k 2kg < . Para demostrar por inducción
12 2 4 2 2k k k kg g g g+< ⇒ + < ⇒ = + < por lo que es acotada. 
Como es monótona y acotada, la sucesión tiene límite. Ahora el truquillo: 
2
1 2n ng g+ = + Podemos tomar límite a ambos lados y meter el 
límite dentro del cuadrado. 
 
( ) ( )2 21lim 2 lim limn n n
n n n
g g g+→∞ →∞ →∞
= + = Denominemos lim n
n
g γ
→∞
= y calculamos 
 
22 γ γ+ = , Las soluciones son 2 y -1, pero -1 no puede ser solución porque 0ng n> ∀ 
 
VII. No tan complicado: Calcular 
( ) ( )( )2 22
ln1 2
lim cos sin tanh ,
6 7
n
s n
nn
n n n
n s
e +→∞
  + +
   + ∈
  
  
ℝ 
¿Feo, verdad? Bueno, en realidad no lo es tanto: 
 
( ) ( )( )2 22
ln1 2 1 2
0 cos sin tanh
6 7 6 7
s n
n
n n n
n
e +
 + +
 < + < +
 
 
, porque ( ) ( )2 2cos 1,sin 1x x x< < ∀ ∈ℝ 
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4
Elevar a n no afecta la desigualdad y la expresión derecha es una geométrica con 
radio menor a 1 
 
( ) ( )( )2 22
ln1 2 19
0 cos sin tanh
6 7 42
n
s n n
n
n n n
n
e +
  + +    < + <        
 
PROBLEMA 2: SUMATORIAS CLÁSICAS 
1. Calcular el límite de 
2 2 2 2
1
...
1 2
n
n
i
n n n n
h
n i n n n n=
= = + + +
+ + + +∑
 
Problema típico y sólo debe aplicarse la siguiente consideración: 
2 2 2
1..
1
n n n
i n
n n i n n
> > ∀ =
+ + +
 Ahora sumamos sobre el índice i 
2 2 2
11
n
i
n n n
n n
n n i n n=
> >
+ + +∑
 Ejecutamos límite en ambos extremos y, por sándwich, 
2
1
lim 1
n
n
i
n
n i→∞ =
=
+∑
 
2. Calcular el límite de 
2 2 2 2
1
1 2
...
1 2=
= = + + +
+ + + +∑
n
n
i
i n
v
n i n n n n
 
Misma idea, podemos acotar con 
 
Donde ( )
2
2 2 2
1 1
1
2= =
−= =
+ + +∑ ∑
n n
i i
i n n
i
n n n n n n
 y ( )
2
2 2 2
1 1
1
1 1 2 1= =
−= =
+ + +∑ ∑
n n
i i
i n n
i
n n n
. 
( ) ( )
2 2
22 2
12 2 1=
− −< <
++ +∑
n
i
n n i n n
n in n n
, por lo que el límite es 1/2 
PROBLEMA 3: ACOTADA POR 0 DA 0 
Sea la sucesión { }nk acotada y{ }nx convergente a 0, demostrar que lim 0n n
n
k x
→∞
= 
Problema bastante útil a la hora de calcular algunos límites, sea K la cota de la sucesión k, 
por definición de límite 
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0 0: n
n
n n n x K
k K
ε ∃ > ⇒ < 

< 
 Multiplicando, n nx k ε< lo que se quería demostrar. 
PROBLEMA 4: LA CASI GEOMÉTRICA 
I. Sea { }na sucesión positiva y 1lim 1n n
a
a
n
l+
→∞
= < , entonces lim 0n
n
a
→∞
= . De un ejemplo donde 
la sucesión cumpla 1lim 1n
n
n
a
a
+
→∞
= y lim 0n
n
a
→∞
≠ . 
DEMOSTRACIÓN 
Generalización del límite geométrico. La primera convergencia me dice que la cola de la 
sucesión se comporta parecido a una sucesión geométrica, lo que debe hacerse es 
“controlar” ese comportamiento (que se genera a partir de cierto número). 
Como l<1, existe épsilon sub 0 tal que 00 1l rε< + = < , por definición de límite, 
1
0:
n
n
a
N n N l
a
ε
+∃ ∈ > ⇒ − <ℕ como la sucesión es positiva, 1n
n
a
n N r
a
+> ⇒ < o mejor 1n na ra+ < 
Se usa desigualdad recursivamente 
2 3 1
1 1 2 10 ...
n N nN
n n n n N Na ra r a r a r a r a
− − +
+ − − +< < < < < < < 
Por tanto puedo hacer un sándwich desde n>N, Como r<1, el límite es 0. 
Notar que la demostración utiliza la desigualdad estricta del límite, si considera na n= ,
1 1n
n
a
a
+ → pero la sucesión diverge. 
II. Calcular lim
!
n
n
a
n→∞
 
1 !
lim lim 0 1
1!
n
nn n
a n a
n a n
+
→∞ →∞
= = <
+
, por lo que el límite es 0 
 
EL NUMERO E 
Se define el número e de las siguientes formas: 
( )1 1!
0
lim 1 lim 2.7182818...
n
n
n in n
i
e
→∞ →∞ =
= + = ≈∑ 
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Se utiliza este valor para calcular algunos límites de la forma ( )( )
n
f n 
PROBLEMA 3: INTRODUCTORIOS A E 
En todos estos ejercicios lo correcto es “muñequear” la expresión para llegar a una forma 
( )
( )
1
1
h n
h n
   +   
si ( )h n →∞ , la expresión tenderá a E al generar una sub-sucesión de n. 
Calcular los siguientes límites 
I. lim 1 ,
n
n
k
k
n→∞
 + ∈ 
 
ℝ 
2 casos: 0k ≠ 
1 1
1 1 1
knn kn
k
n nn
k k
          + = + = +             
, por tanto lim 1
n
k
n
k
e
n→∞
 + = 
 
 
El caso k= 0, es trivial, de todas maneras es de la forma ke 
II. 
1
lim , 0
1
kn
n
n
k
n→∞
+  ≠ − 
 
( )
21 1
2 1 1
2 2
1 2 1 1 1
1 1 1 1
1 1 11 1
2 2 2
kn n
k
kn kn
n
n n nn n
−+ +− − −
− −
 
      −         = − = + = + +     + + ++ +            −   −   − 
 
 
El primer término tiende a e-2, mientras que el 2º lo hace a 1. 
2
1 1
lim
1
kn
kn
n
n e→∞
+  = − 
 
III. 
2
2
4 7
lim
4 4
n
n
n n
n n→∞
 + +
 + + 
 
( ) ( )
( ) ( )2 22 2
2
2 22
4 7 3 3
1 1
4 4 2 2
n
n n nn
n n
n n n n
+ +     + +  = + = +         + + + +       
 
Es claro que el límite de lo que está dentro de la potencia es e3 al ser sub-sucesión de 
( )11
n
n+ , se usa la misma definición de este límite para armar las cotas para la expresión 
total usando
3
2
eε = 
 
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7
( )
( )22
3 3
2
3 3
0 1
2 22
n
e e
n
+
 
< < + < 
 + 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
3 32 2
2
3 3
0 1
2 22
n
n nn n
n ne e
n
+ +
+ +
      < < + <      +      
 Ambos límites son 1. 
2
2
4 7
lim 1
4 4
n
n
n n
n n→∞
 + + = + + 