Ayudanta Final

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Pontificia Universidad Católica de Chile 		Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610
Departamento de Matemática		1-2012
 (
3
)Escuela de ingeniería		Sección 3
Ayudantía Final: Técnicas de integración avanzadas
Integrales trigonométricas
Cuando se traja con integrales de la forma la idea es 
· 
Dejarlo de la forma o para hacer un cambio de variable sencillo.
· Usar fórmula de cosenos cuadrados para “bajar” el exponente.
problema 1: integrales trigonométricas
Resuelva
i. 
				Complica trabajar con ambas al mismo tiempo
		“Eliminamos” el coseno.
¿Ahora se ve el cambio no? 
ii. 
		La gracia anterior no sirve tanto porque no “sobra” un seno
Éstas integrales no son tan complicadas
	Usar fórmula de coseno cuadrado
		Mismo truco
En resumen:
iii. 
		Misma idea que en el ejercicio i
…y se hace el mismo cambio de variable 
Consejo: Aplica esta idea cuando uno de los dos exponentes sea impar
iv. 
Una de ellas es fácil de calcular, la otra es cosa de trabajarla
problema 2: integrales y sistemas de ecuaciones
Calcule y
A primera vista está claro que molesta el logaritmo. Para “matarlo” se usa integración por partes.
Ahora calculamos de nuevo para . Mismo proceder
Date cuenta que lo que se tiene es un sistema de ecuaciones.
				
Se tiene un sistema de ecuaciones lineales. Puede resolverlo mediante eliminación Gaussiana, ALU, regla de Cramer, lo que quiera. Si se suman ambas igualdades, y despejando,
 Si se reemplaza en la primera ecuación:
Raúl Antonio Salinas Herrada 
rasalina@uc.cl 
(
)
(
)
(
)
sincos
fxxdx
ò
(
)
(
)
(
)
cossin
fxxdx
ò
(
)
(
)
(
)
5
cossin
xxdx
ò
(
)
(
)
5
5
5
11
sin2sin2
22
xdxxdx
æö
=
ç÷
èø
òò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
522
555
111
sin2sin2sin21cos2sin2
222
xdxxxdxxxdx
==-
òòò
(
)
(
)
cos22sin2
txdtxdx
=Þ=-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
22253
5
111112
1cos2sin211
264646453
xxdxtdttdttttC
æö
-=--=--=--++
ç÷
èø
òòò
(
)
(
)
(
)
53
112
cos2cos2cos2
6453
xxxC
æö
=--++
ç÷
èø
(
)
(
)
(
)
4
cossin
xxdx
ò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
4
42
44
11
cossinsin2sin2
22
xxdxxdxxdx
==
òòò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
224
4434
1111
1cos2cos2cos2
2222
xdxxxdxxdx
=-=-+
òòò
(
)
(
)
(
)
2
111
cos2cos2sin2
86432
xdxxxx
-=--
ò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
42
444
11111
cos2cos2cos4
22222
xdxxdxxdx
æö
===+
ç÷
èø
òòò
(
)
(
)
2
656
111
cos4cos4
222
xxdxxdx
=++
òò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
537
31313
cossincossincossincossincossin
16641288128
xxdxxxxxxxxxx
=-+++++
ò
(
)
(
)
25
cossin
xxdx
ò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2422
cossinsincos1cossin
xxxdxxxxdx
=-
òò
(
)
(
)
cossin
txdtxdx
=Þ=-
(
)
(
)
(
)
(
)
2
22753753
121121
1coscoscos
753753
ttdttttCxxxC
=--=+-+=+-+
ò
(
)
(
)
24
cossin
xxdx
ò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
242442
cossin1sinsinsinsin
xxdxxxdxxdxxdx
=-=-
òòòò
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
42
11
sin1coscos2
22
xdxxdxxdx
æö
=-=-
ç÷
èø
òòò
(
)
(
)
(
)
(
)
2
11111
cos2cos2cos2cos4
4224288
xx
xdxxdxxdxxdx
æöæö
-+=-++
ç÷ç÷
èøèø
òòòò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
422
11
sinsinsin2sin4sin
44864
xx
xdxxdxxxxdx
+=-+++
òòò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sin2
111711
sin2sin4cos2sin2sin4
44816284162
x
xxx
xxxdxxx
æö
=-+++-=-+-
ç÷
èø
ò
(
)
(
)
cosln
xdx
ò
(
)
(
)
sinln
xdx
ò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
coslncoslncoslnsinln
d
xdxxxdxxxxxdx
dxx
æö
==--
ç÷
èø
òòò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
coslncoslnsinln
xdxxxxdx
=+
òò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sinlnsinlnsinlncosln
d
xdxxxdxxxxdx
dx
æö
==-
ç÷
èø
òòò
(
)
(
)
(
)
(
)
cosln,sinln
xdxxdx
ab
==
òò
(
)
(
)
(
)
(
)
cosln
sinln
xx
xx
ab
ba
=+
=-
(
)
(
)
(
)
(
)
cosln
sinln
xx
xx
ab
ab
-=
+=
(
)
(
)
(
)
(
)
cosln
11
11
sinln
xx
xx
a
b
æö
-
éùæö
=
ç÷
ç÷
êú
ç÷
ëûèø
èø
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
coslnsinln
x
xx
a
=+
(
)
(
)
sincos
mn
xxdx
ò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
coslnsinln
x
xx
b
=-+