Ayudanta 12-b

Vista previa del material en texto

Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 
Departamento de Matemática 1-2012 
Escuela de ingeniería Sección 3 
RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA 
RASALINA@UC.CL 
1
 
 
AYUDANTÍA 12: INTEGRACIÓN POR PARTES, SUBSTITUCIÓN 
TRIGONOMÉTRICA 
INTEGRACIÓN POR PARTES 
Sean  , : ,u v a b  funciones derivables en  ,a b , entonces: 
           ' '
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx   
           
b b
b
a
a a
dv du
u x x dx u x v x v x x dx
dx dx
   
b b
b
a
a a
udv uv vdu   Note que éstas son equivalentes 
Para integrales indefinidas: udv uv vdu   
Mnemotecnia: “Un Día Vi Una Vaca sin cola Vestida De Uniforme” 
Para estudiar a fondo las integrales, se recomienda ver las diapositivas del profesor Dissett: 
http://labmat.puc.cl/cursos/2009/2/CUA13/MAT1610/archivos/apuntes/1255964416/12559644
16.pdf 
PROBLEMA 1: INTEGRANDO 
Integre: 
i.  arctan x dx 
ii.  3sec x dx 
iii. 
 
23 2cosxe x xdx 
El x2 está molestando mucho, pero es fácil sacarlo mediante substitución. 
   
23 2 31cos cos
2
x te x xdx e t dt  
Para calcularlo, se integra por partes 2 veces: 
          3 3 3 31 1cos cos cos sin
3 3
t t t td
dt
e t dt e t dt e t e t dt    
 
http://labmat.puc.cl/cursos/2009/2/CUA13/MAT1610/archivos/apuntes/1255964416/1255964416.pdf
http://labmat.puc.cl/cursos/2009/2/CUA13/MAT1610/archivos/apuntes/1255964416/1255964416.pdf
Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 
Departamento de Matemática 1-2012 
Escuela de ingeniería Sección 3 
RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA 
RASALINA@UC.CL 
2
 
 
             3 3 3 3 3 31 1 1cos cos sin cos sin cos
3 3 3
t t t t t te t dt e t e t dt e t e t e t dt
 
     
 
  
 
Se tiene la misma integral a ambos lados, por lo que se despeja: 
       3 3 3 39 cos 3 cos sin cost t t te t dt e t e t e t dt   
 
     3 3 3
3 1
cos cos sin
8 8
t t te t dt e t e t 
 
Reemplazo ahora , sin olvidar la C 
           
2 2 23 2 3 3 3 3 2 3 21 3 1 3 1cos cos cos sin cos sin
2 16 16 16 16
x t t t x xe x xdx e t dt e t e t C e x e x C       
 
iv. 
x
axe dx 
v. 2 29
dx
x x
 
PROBLEMA 2: CUANDO NO HAY NADA QUE HACER 
Calcule   
2
0
ln sin x dx

 HINT: Use 2x t 
Problema bastante complicado, tiene el mismo nivel que el visto en el anterior. Podría ser 
buena idea usar por partes, ya que la función logatirmo se ve “fácil” derivada. 
     
 
 
2 2 2
0 0 0
cos
ln sin ln sin
sin
dx
dx
x
x dx x dx x dx
x
  
    
Al menos yo no sé calcularlo…. maple tampoco, mala idea. Parece ser buena idea usar el 
hint: 
          
2 4 4
0 0 0
ln sin 2 ln sin 2 2 ln 2sin cosx dx t dt t t dt
  
    
          
2 4 4 4
0 0 0 0
ln sin 2 ln 2 ln sin ln cosx dx dt t dt t dt
    
    
 
    
No parece ser malo, al lado izquierdo se tiene algo “parecido” lo del lado izquierdo, lo malo 
es que los límites de integración no son iguales y no se puede agrupar en principio. Ahora si 
Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 
Departamento de Matemática 1-2012 
Escuela de ingeniería Sección 3 
RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA 
RASALINA@UC.CL 
3
 
 
trabaja con la integral que tiene el coseno y llevarla a seno haciendo el cambio de variable t
2t u  
        
4 4 4 2
0 2 2 4
ln cos ln cos ln sin ln sin
2
t dt u du u du u du
   
  
  
       
  
    
Reemplazando: 
          
2 4 4 2
0 0 0 4
ln sin 2 ln 2 ln sin ln sinx dx dt t dt u du
   

 
   
 
 
    
       
2 4 2
0 0 0
ln sin 2 ln 2 ln sinx dx dt t dt
   
   
 
   Se tiene la misma integral, despejando 
 
    
 2 4
0 0
ln 2
ln sin 2 ln 2
2
x dx dt
 

   