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MAT1610 — Cálculo I
Luis Dissett
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
Clase 32 — Fracciones parciales.
Integrales de funciones racionales
La integral de una función racional (o sea, el cuociente de dos
polinomios) puede ser calculada como sigue:
I si f (x) = F(x)/G(x), entonces calculamos es cuociente
Q(x) y el resto R(x) de la división de polinomios.
En otras palabras, buscamos Q(x) y R(x) tales que
F(x) = G(x) ·Q(x) + R(x), y el grado de R(x) sea menor que
el del grado de G(x).
I Así, ∫
F(x)
G(x)
dx =
∫
Q(x) dx,+
∫
R(x)
G(x)
dx,
con grado de R(x) menor que el de G(x).∫
Q(x) dx puede ser fácilmente calculada, y para calcular∫ R(x)
G(x) dx usamos el método de fracciones parciales.
Fracciones parciales
Se sabe (Teorema Fundamental del Álgebra) que todo
polinomio sobre los reales puede ser factorizado como
producto de polinomios irreducibles de primer y segundo grado.
Ejemplo
x6+x5−3x4+6x3−7x2+5x−3 = (x2−x+1)(x2+1)(x+3)(x−1).
Esto puede ser usado para descomponer un cuociente de
polinomios (con el grado del numerador menor que el grado del
denominador) en una suma de fracciones en que los
denominadores son los factores del denominador, y los
numeradores son o bien constantes (si el denominador es de
primer grado) o binomios de primer grado (si el denominador
es cuadrático).
Fracciones parciales (cont.)
Ejemplo
Es posible escribir
x3 − 3x2 + 2x− 1
x6 + x5 − 3x4 + 6x3 − 7x2 + 5x− 3
como
Ax + B
x2 − x + 1
+
Cx + D
x2 + 1
+
E
x + 3
+
F
x− 1
,
para valores constantes adecuados de A,B,C,D,E y F.
Potencias en el denominador
Si uno de los factores en el denominador aparece elevado a
una potencia k > 1, entonces en la suma aparecen fracciones
con denominador ese factor elevado a 1, a 2, etc., hasta llegar
a k.
Ejemplo
Podemos escribir
x4 − 5x3 + 2x− 1
(x2 − x + 1)2(x + 2)3
como
x4 − 5x3 + 2x− 1
(x2 − x + 1)2(x + 2)3
=
Ax + B
x2 − x + 1
+
Cx + D
(x2 − x + 1)2
+
E
x + 2
+
F
(x + 2)2
+
G
(x + 2)3
.
Calculando las constantes
¿Cómo calcular las constantes que deben aparecer en los
numeradores de las fracciones?
La forma de hacer hacer esto es sumar todas las fracciones
que aparecen al lado derecho, y calcular los coeficientes del
polinomio numerador que resulta.
Como dos polinomios son iguales si y sólo si todos sus
coeficientes son iguales, igualando los coeficientes de los
polinomios que aparecen como numeradores a cada lado.
Al igualar coeficientes, se obtienen tantas ecuaciones como
constantes es necesario determinar.
Resolviendo el sistema que éstas forman se encuentran los
valores buscados de las constantes.
Esto nos da la descomposición del integrando original como
suma de fracciones de la forma deseada.
Ejemplo
Usaremos el método de fracciones parciales para expresar∫
x3 − 2x + 2
(x− 1)2(x2 − x + 1)
dx
como suma de integrales más simples.
Expresamos
x3 − 2x + 2
(x− 1)2(x2 − x + 1)
como suma de fracciones como indica el método:
x3 − 2x + 2
(x− 1)2(x2 − x + 1)
=
A
x− 1
+
B
(x− 1)2
+
Cx + D
x2 − x + 1
.
Sumando las fracciones del lado derecho, obtenemos
(A + C)x3+(−2A + B−2C + D)x2+(2A− B + C−2D)x+(−A + B + D)
(x− 1)2(x2 − x + 1)
.
Continuación del ejemplo
Igualando los coeficientes de los numeradores de las dos
fracciones, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
A + C = 1
−2A + B − 2C + D = 0
2A − B + C − 2D = −2
−A + B + D = 2.
∣∣∣∣∣∣∣∣
Resolviendo el sistema, obtenemos A = 0,B = C = D = 1, o
sea,
x3 − 2x + 2
(x− 1)2(x2 − x + 1)
=
1
(x− 1)2
+
x + 1
x2 − x + 1
.
Así,∫
x3 − 2x + 2
(x− 1)2(x2 − x + 1)
dx =
∫
1
(x− 1)2
dx +
∫
x + 1
x2 − x + 1
dx.
Integración de las fracciones parciales
Nos falta ver cómo integrar las fracciones parciales que
resultan de la descomposición recién estudiada.
Estas integrales pueden ser de alguno de los siguientes tipos:
I
∫
A
x + p
dx.
I
∫
A
(x + p)k
dx, con k > 1.
I
∫
Ax + B
x2 + px + q
dx, donde x2 + px + q es un polinomio
irreducible.
I
∫
Ax + B
(x2 + px + q)k
dx, donde x2 + px + q es un polinomio
irreducible y k > 1.
Veremos cómo calcular cada una de estas integrales.
Integrales de la forma
∫
A
x + p
dx
Para calcular la integral
∫
A
x + p
dx, hacemos el cambio de
variable u = x + p.
Así, dx = du y la integral queda∫
A
x + p
dx = A
∫
du
u
= A ln |u|+ C = A ln |x + p|+ C.
Integrales de la forma
∫
A
(x + p)k
dx, con k > 1
Para calcular la integral
∫
A
(x + p)k
dx (con k > 1), hacemos el
cambio de variable u = x + p.
Así, dx = du y la integral queda∫
A
(x + p)k
dx = A
∫
du
uk
= A
∫
u−k du =
A
−k + 1
u−k+1 + C
=
−A
(k − 1)uk−1
+ C =
−A
(k − 1)(x + p)k−1
+ C.