Aplicacin Teo del Sandwich

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Aplicación del Teorema del Sandwich
Como un resultado del Teorema de Sandwich se tiene que:
ĺım
x→0
sen x
x
= 1
Demostración:
Consideremos la circunferencia unitaria, como se muestra:
S
Q
x
P
O R
entonces, es claro que:
(∆OPR) < (sector OPS) < (∆OQS)
Ahora:
(∆OPR) =
1
2
|OR| · |RP | = 1
2
cos x · sen x
(∆ORS) =
1
2
|OS| · |SQ| = 1
2
1 · tg x
Ahora el área del sector OPS digamos (OPS) está dada por:
(OPS)
π r2
=
x
2 π
−→ (OPS) = x
2
Luego tenemos:
1
2
cos x · sen x ≤ 1
2
x ≤ 1
2
tg x , 0 < x <
π
2
=⇒ cos x · sen x ≤ x ≤ sen x
cos x
: sen x > 0
=⇒ cos x ≤ x
sen x
≤ 1
cos x
=⇒ 1
cos x
≤ sen x
x
≤ cos x (∗)
Notar que (∗) es válido si x < 0.
Como ĺım
x→0
cos x = 1, entonces por Teorema del Sandwich, se tiene:
=⇒ ĺım
x→0
sen x
x
= 1