Aplicaciones de la derivada 1

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MAT1610 Cálculo I
Caṕıtulo III: Aplicaciones de la derivada
Pablo Figueroa
Departamento de Matemática
Pontificia Universidad Católica de Chile
10 de enero de 2014
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Aplicaciones de la derivada
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Máximos y ḿınimos de una función
Una aplicación importante del concepto de derivada es graficar
funciones, determinando máximos y mánimos locales y globales,
intervalos de crecimiento y decrecimiento, convexidad y aśıntotas.
El concepto de extremo relativo y sus distintos tipos nos ayudaran
a graficar función y tendrán aplicación directa en problemas de
optimización. Entre ellos están los máximos relativos, ḿınimos
relativos, máximos globales y ḿınimos globales.
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Extremos absolutos
Definición
Se dice que la función f tiene un máximo absoluto o global en
x = c si f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ dom f . De igual forma, la
función tiene un ḿınimo absoluto o global en x = c si
f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ dom f . El valor f (c) se llama valor
máximo o ḿınimo absoluto de f . En conjunto, los máximos y
ḿınimos absolutos de f se denominan extremos absolutos.
Similarmente, se tiene la definición
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Extremos relativos
Definición
Se dice que la función f tiene un máximo relativo o local en
x = c si existen a, b de forma que f (c) ≥ f (x) para todo
x ∈ (a, b), donde a < c < b y (a, b) ⊆ dom f . De igual forma, la
función tiene un ḿınimo relativo o local en x = c si f (c) ≤ f (x)
en dicho intervalo. En conjunto, los máximos y ḿınimos relativos
de f se denominan extremos relativos.
Notar que un extremo (máximo o ḿınimo) absoluto es un extremo
relativo.
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Existencia de extremos
Teorema
Si f es continua en [a, b], entonces existe x0 ∈ [a, b] tal que
f (x) ≤ f (x0) para todo x ∈ [a, b], es decir, f alcanza el máximo en
[a, b].
Teorema
Si f es continua en [a, b], entonces existe x∗ ∈ [a, b] tal que
f (x) ≥ f (x∗) para todo x ∈ [a, b], es decir, f alcanza el ḿınimo en
[a, b].
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Caracterización de un extremo
Teorema (de Fermat)
Supóngase que f tiene un extremo relativo en x0. Si f es derivable
en x0, entonces f
′(x0) = 0.
Ejemplos.
1. La función f (x) = x2 tiene un ḿınimo relativo (absoluto) en
x = 0 y además, f ′(0) = 0.
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Ejemplos
2. La función f (x) = x3 satisface f ′(0) = 0. Sin embargo, x = 0
no es ni máximo relativo ni ḿınimo relativo. Es decir, si f ′(x0) = 0
no necesariamente f tiene un extremo en x = x0.
3. La función f (x) = |x | tiene un ḿınimo absoluto en x = 0, pero
esta función no es derivable en x = 0.
Luego, intuitivamente los únicos puntos donde f puede tener un
extremo relativo son cuando f ′(x) = 0 o cuando f ′(x) no existe.
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Punto cŕıtico y valor cŕıtico
Definición
Un número real c en el dominio de una función f se denomina
punto cŕıtico si f ′(c) = 0 o f ′(c) no existe. El valor f (c) se
denomina valor cŕıtico.
En otras palabras,
Teorema
Todo extremo relativo es un punto cŕıtico.
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Teorema de Rolle
Teorema
Sea ϕ una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si
ϕ(a) = ϕ(b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que ϕ′(c) = 0.
Este teorema tiene una interpretación geométrica afirmando que
existe una recta tangente a la curva paralela al eje x .
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Teorema del valor medio
Teorema
Sea f una función continua en [a, b]. Si f es derivable en (a, b)
entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Notemos que la conclusión del teorema del valor medio se puede
escribir en la forma
f ′(c) =
f (b)− f (a)
b − a
.
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Rol de la primera derivada
Teorema
Supongamos que f es una función con derivada nula en un
intervalo abierto I . Entonces f es constante en I .
Corolario
Sean f y g dos funciones tales que f ′(x) = g ′(x) par todo x en
algún intevalo abierto I . Entonces las funciones f y g difieren en
una constante en I .
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Funciones crecientes y decrecientes
Definición
Sea f una función. Decimos que f es no decreciente sobre un
conjunto S si y sólo si f (x1) ≤ f (x2) para todo par x1 y x2
elementos de S tales que x1 < x2. Diremos que f es creciente
sobre S si y sólo si f (x1) < f (x2) siempre que x1 y x2 sean
elementos de S tales que x1 < x2.
Las definiciones de funciones no creciente y decreciente son
similares. Se dice que una función f es monótona sobre un
conjunto S si y sólo si f es o bien decreciente, o bien creciente, o
bien no decreciente, o bien no creciente sobre S .
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Ejemplos
Ejemplos.
1. La función f (x) = x3 es (estrictamente) creciente sobre toda la
recta real.
2. La función f (x) = x2 es (estrictamente) decreciente en el
intervalo (−∞, 0] y (estrictamente) creciente en el intervalo
[0,+∞).
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Signo de la derivada
Teorema
Supongamos que f es no decreciente sobre un intervalo (a, b). Si f
es derivable en un punto x0 ∈ (a, b) entonces f ′(x0) ≥ 0.
Rećıprocamente, si f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es
no decreciente sobre (a, b). Además, si f ′(x) > 0 para todo
x ∈ (a, b), entonces f es (estrictamente) creciente sobre (a, b).
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Signo de la derivada
Ejemplo.
1. La función f (x) = x + sen x es creciente, pues, f ′(x) = 1 + cos x .
2. La función f (x) = arctan x es (estrictamente) creciente en toda
la recta, ya que f ′(x) =
1
1 + x2
> 0 para todo x ∈ R.
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Signo de la derivada
Recordemos que la multiplicación por -1 invierte las desigualdades.
En consecuencia, una función g es decreciente sobre un conjunto S
si y sólo si −g es creciente sobre S .
Teorema
Supongamos que f es no creciente sobre un intervalo (a, b). Si f es
derivable en un punto x0 ∈ (a, b) entonces f ′(x0) ≤ 0.
Rećıprocamente, si f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es
no creciente sobre (a, b). Además, si f ′(x) < 0 para todo
x ∈ (a, b), entonces f es decreciente sobre (a, b).
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Ejemplo
Ejemplo. Determinar dónde es creciente y decreciente la función
f (x) = x3 − 3x + 1.
Notemos que una función f es estrictamente creciente cuando
f ′(x) > 0 y estrictamente decreciente cuando f ′(x) < 0. Luego, los
únicos puntos donde f puede tener un extremo relativo son cuando
f ′(x) = 0 o cuando f ′(x) no existe.
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Criterio de la primera derivada para máximo relativo
Teorema
Supóngase que f es una función continua en [a, b] y que existe f ′
en todo punto de (a, b) excepto posiblemente en x0. Si
1. f ′(x) < 0 para x inmediatamente a la derecha de x0; y
2. f ′(x) > 0 para x inmediatamente a la izquierda de x0.
Entonces f tiene un máximo relativo en x0.
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Criterio de la primera derivada para ḿınimo relativo
Similarmente, tenemos un criterio de la primera derivada para
ḿınimos relativos.
Teorema
Supóngase que f es una función continua en [a, b] y que existe f ′
en todo punto de (a, b) excepto posiblemente en x0. Si
1. f ′(x) > 0 para x inmediatamente a la derecha de x0; y
2. f ′(x) < 0 para x inmediatamente a la izquierda de x0.
Entonces f tiene un ḿınimo relativo en x0.
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Ejemplo
De los teoremas anteriores, podemos observar que si f ′(x) tiene el
mismo signo a ambos lados de x0 entonces no es un extremo
relativo.
Ejemplo. Hallar los extremos relativos e intervalos de crecimiento
y decrecimientode la función f (x) = x4 − 2x2 + 3.
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