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MAT1610 Cálculo I Caṕıtulo III: Aplicaciones de la derivada Pablo Figueroa Departamento de Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile 14 de enero de 2014 P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Aplicaciones de la derivada: Convexidad y criterio de la segunda derivada para extremos relativos P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Convexidad Definición Una función f se dice cóncava hacia arriba (o convexa) en [a, b] si para cualesquiera x , y ∈ [a, b] y para todo 0 < λ < 1, se tiene que f ( (1− λ)x + λy ) ≤ (1− λ)f (x) + λf (y). Se dice que f es cóncava hacia abajo (o cóncava) en [a, b] si para cualesquiera x , y ∈ [a, b] y para todo 0 < λ < 1, se tiene que f ( (1− λ)x + λy ) ≥ (1− λ)f (x) + λf (y). P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Interpretación geométrica Notar que gráficamente una función es cóncava hacia arriba si para cualesquiera x , y ∈ [a, b] la gráfica de la función f en el intervalo [a, b] está por debajo de la recta que pasa por (x , f (x)) y (y , f (y)). Ejercicio propuesto. Muestre que una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo [a, b] si y sólo si para todo x ∈ (a, b) se tiene que f (x)− f (a) x − a ≤ f (b)− f (a) b − a . P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Equivalencia Proposición Sea f una función definida en [a, b]. Si f es derivable en (a, b) entonces f es cóncava hacia arriba si y sólo si para cualquier c ∈ (a, b) se tiene que f (c) + f ′(c)(x − c) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b]. Notemos que el lado izquierdo de la desigualdad corresponde a la recta tangente a la gráfica de f en el punto x = c , por lo que la proposición anterior nos dice que una función es cóncava hacia arriba si y sólo si cualquier recta tangente a la gráfica de la función está por debajo de la gráfica de la función en el intervalo. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Consecuencias Proposición Sea f una función cóncava hacia arriba en (a, b). Si f es derivable en dos puntos x1, x2 ∈ (a, b) con x1 < x2 entonces f ′(x1) ≤ f ′(x2). Corolario Sea f una función cóncava hacia arriba en (a, b). Si f es dos veces derivable en x0 ∈ (a, b) entonces f ′′(x0) ≥ 0. Observación. Notemos que para que exista f ′′(x0) debe existir f ′(x) para todo x cercano a x0, es decir, que existe δ > 0 tal que existe f ′(x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Criterio de la segunda derivada concavidad Teorema Sea f una función continua en [a, b] y dos veces derivable en (a, b). Si f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es cóncava hacia arriba en (a, b). Si f ′′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es cóncava hacia abajo en (a, b). Observación. Notemos que basta que f ′ sea creciente en (a, b) para tener f es cóncava hacia arriba en [a, b]. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Punto de inflexión Definición Diremos que x0 es un punto de inflexión de la gráfica de la función f si la función es continua en x0 y a la derecha de x0 es cóncava hacia arriba y a la izquierda es cóncava hacia abajo ó al revés, es decir, a la izquierda de x0 es cóncava hacia arriba y a la derecha es cóncava hacia abajo. En otras palabras, un punto de inflexión es un punto donde la función pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo ó viceversa. Gráficamente se tiene que la recta tangente en el punto “cruza la gráfica” de la función. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Ejemplos 1. La función f (x) = x2 es cóncava hacia arriba, pues, f ′′(x) = 2 > 0 para todo x ∈ R. 2. La función f (x) = x3 es cóncava hacia arriba en el intervalo [0,+∞) y es cóncava hacia abajo en (−∞, 0], pues, f ′′(x) = 6x > 0 para todo x > 0 y f ′′(x) < 0 para todo x < 0. Además, x = 0 es un punto de inflexión. Ejercicio propuesto. Muestre que si f ′′(x0) = 0 y f ′′′(x0) 6= 0 entonces el gráfico de f tiene un punto de inflexión para x = x0. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Teorema Sea x0 un punto cŕıtico de f en un intervalo (a, b), esto es, a < x0 < b y f ′(x0) = 0. Supongamos también que existe la segunda derivada f ′′ en (a, b). a) Si f ′′(x0) < 0 entonces f tiene en x0 un máximo relativo. b) Si f ′′(x0) > 0 entonces f tiene en x0 un ḿınimo relativo. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Ejemplos 3. Utilizar el criterio a las funciones f (x) = x5 − 5x + 3 y g(x) = x x2 + 4 . 4. Grafique una función que satisfaga las siquientes condiciones f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0. f ′(x) > 0 si x < 0, o bien, 2 < x < 4. f ′(x) < 0 si 0 < x < 2, o bien, x > 4. f ′′(x) > 0 si 1 < x < 3; y f ′′(x) < 0 si x < 1, o bien, x > 3. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Aplicaciones de la derivada: Regla de l’Hôpital P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Regla de l’Hôpital Si sabemos que ĺım x→a f (x) = 0 y ĺım x→a g(x) = 0, entonces el cociente f (x) g(x) puede comportarse de cualquier forma. Por ejemplo, ĺım x→π− sen x 1 + cos x = +∞, ĺım x→π− 1 + cos x sen x = 0 y para cualquier a ∈ R ĺım x→0 sen ax x = a. Resumimos esto diciendo que 0/0 es una forma indeterminada. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Formas indeterminadas De manera análoga tenemos una forma indeterminada para f (x)/g(x) si ĺım x→a f (x) = +∞ (ó −∞) y ĺım x→a g(x) = +∞, (ó −∞) Para estas situaciones usaremos la regla de l’Hôpital. El siguiente teorema nos da la Regla de l’Hôpital para formas indeterminadas del tipo 0/0. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Regla de l’Hôpital para formas indeterminadas 0/0 Teorema Supongamos que cuando x → a+, f (x) y g(x) tienden a cero. Supongamos además que ĺım x→a+ f ′(x) g ′(x) = L, donde L es o bien un número real, o +∞ o −∞. Entonces ĺım x→a+ f (x) g(x) = L. Y la misma conclusión es válida con ĺımites laterales por la izquierda, con ĺımites bilaterales y con ĺımites en x → +∞ o x → −∞. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Ejemplo Ejemplo. Verifiquemos que los ĺımites del comienzo ĺım x→π− sen x 1 + cos x = +∞, ĺım x→π− 1 + cos x sen x = 0 y ĺım x→0 sen ax x = a. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I Regla de l’Hôpital para formas indeterminadas ∞/∞ Teorema Supongamos que cuando x → a+, f (x)→ ±∞ y g(x)→ ±∞. Adems, si ĺım x→a+ f ′(x) g ′(x) = L, donde L es o bien un nmero real o +∞ o −∞. Entonces ĺım x→a+ f (x) g(x) = L. Y la misma conclusin es valida con lmites laterales por la izquierda, con lmites bilaterales y con lmites en x → +∞ o x → −∞. P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
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