Logo Studenta

Aplicaciones de la derivada 2

Vista previa del material en texto

MAT1610 Cálculo I
Caṕıtulo III: Aplicaciones de la derivada
Pablo Figueroa
Departamento de Matemática
Pontificia Universidad Católica de Chile
14 de enero de 2014
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Aplicaciones de la derivada:
Convexidad y criterio de la segunda derivada
para extremos relativos
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Convexidad
Definición
Una función f se dice cóncava hacia arriba (o convexa) en [a, b]
si para cualesquiera x , y ∈ [a, b] y para todo 0 < λ < 1, se tiene
que
f
(
(1− λ)x + λy
)
≤ (1− λ)f (x) + λf (y).
Se dice que f es cóncava hacia abajo (o cóncava) en [a, b] si
para cualesquiera x , y ∈ [a, b] y para todo 0 < λ < 1, se tiene que
f
(
(1− λ)x + λy
)
≥ (1− λ)f (x) + λf (y).
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Interpretación geométrica
Notar que gráficamente una función es cóncava hacia arriba si para
cualesquiera x , y ∈ [a, b] la gráfica de la función f en el intervalo
[a, b] está por debajo de la recta que pasa por (x , f (x)) y (y , f (y)).
Ejercicio propuesto. Muestre que una función f es cóncava hacia
arriba en un intervalo [a, b] si y sólo si para todo x ∈ (a, b) se tiene
que
f (x)− f (a)
x − a
≤ f (b)− f (a)
b − a
.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Equivalencia
Proposición
Sea f una función definida en [a, b]. Si f es derivable en (a, b)
entonces f es cóncava hacia arriba si y sólo si para cualquier
c ∈ (a, b) se tiene que
f (c) + f ′(c)(x − c) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b].
Notemos que el lado izquierdo de la desigualdad corresponde a la
recta tangente a la gráfica de f en el punto x = c , por lo que la
proposición anterior nos dice que una función es cóncava hacia
arriba si y sólo si cualquier recta tangente a la gráfica de la función
está por debajo de la gráfica de la función en el intervalo.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Consecuencias
Proposición
Sea f una función cóncava hacia arriba en (a, b). Si f es derivable
en dos puntos x1, x2 ∈ (a, b) con x1 < x2 entonces f ′(x1) ≤ f ′(x2).
Corolario
Sea f una función cóncava hacia arriba en (a, b). Si f es dos veces
derivable en x0 ∈ (a, b) entonces f ′′(x0) ≥ 0.
Observación. Notemos que para que exista f ′′(x0) debe existir
f ′(x) para todo x cercano a x0, es decir, que existe δ > 0 tal que
existe f ′(x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Criterio de la segunda derivada concavidad
Teorema
Sea f una función continua en [a, b] y dos veces derivable en
(a, b).
Si f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es cóncava hacia
arriba en (a, b).
Si f ′′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es cóncava hacia
abajo en (a, b).
Observación. Notemos que basta que f ′ sea creciente en (a, b)
para tener f es cóncava hacia arriba en [a, b].
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Punto de inflexión
Definición
Diremos que x0 es un punto de inflexión de la gráfica de la
función f si la función es continua en x0 y a la derecha de x0 es
cóncava hacia arriba y a la izquierda es cóncava hacia abajo ó al
revés, es decir, a la izquierda de x0 es cóncava hacia arriba y a la
derecha es cóncava hacia abajo.
En otras palabras, un punto de inflexión es un punto donde la
función pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo
ó viceversa. Gráficamente se tiene que la recta tangente en el
punto “cruza la gráfica” de la función.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Ejemplos
1. La función f (x) = x2 es cóncava hacia arriba, pues,
f ′′(x) = 2 > 0 para todo x ∈ R.
2. La función f (x) = x3 es cóncava hacia arriba en el intervalo
[0,+∞) y es cóncava hacia abajo en (−∞, 0], pues,
f ′′(x) = 6x > 0 para todo x > 0 y f ′′(x) < 0 para todo x < 0.
Además, x = 0 es un punto de inflexión.
Ejercicio propuesto. Muestre que si f ′′(x0) = 0 y f ′′′(x0) 6= 0
entonces el gráfico de f tiene un punto de inflexión para x = x0.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
Teorema
Sea x0 un punto cŕıtico de f en un intervalo (a, b), esto es,
a < x0 < b y f
′(x0) = 0. Supongamos también que existe la
segunda derivada f ′′ en (a, b).
a) Si f ′′(x0) < 0 entonces f tiene en x0 un máximo relativo.
b) Si f ′′(x0) > 0 entonces f tiene en x0 un ḿınimo relativo.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Ejemplos
3. Utilizar el criterio a las funciones f (x) = x5 − 5x + 3 y
g(x) =
x
x2 + 4
.
4. Grafique una función que satisfaga las siquientes condiciones
f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0.
f ′(x) > 0 si x < 0, o bien, 2 < x < 4.
f ′(x) < 0 si 0 < x < 2, o bien, x > 4.
f ′′(x) > 0 si 1 < x < 3; y
f ′′(x) < 0 si x < 1, o bien, x > 3.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Aplicaciones de la derivada:
Regla de l’Hôpital
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Regla de l’Hôpital
Si sabemos que
ĺım
x→a
f (x) = 0 y ĺım
x→a
g(x) = 0,
entonces el cociente
f (x)
g(x)
puede comportarse de
cualquier forma. Por ejemplo,
ĺım
x→π−
sen x
1 + cos x
= +∞, ĺım
x→π−
1 + cos x
sen x
= 0
y para cualquier a ∈ R
ĺım
x→0
sen ax
x
= a.
Resumimos esto diciendo que 0/0 es una forma indeterminada.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Formas indeterminadas
De manera análoga tenemos una forma indeterminada para
f (x)/g(x) si
ĺım
x→a
f (x) = +∞ (ó −∞) y ĺım
x→a
g(x) = +∞, (ó −∞)
Para estas situaciones usaremos la regla de l’Hôpital. El siguiente
teorema nos da la Regla de l’Hôpital para formas indeterminadas
del tipo 0/0.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Regla de l’Hôpital para formas indeterminadas 0/0
Teorema
Supongamos que cuando x → a+, f (x) y g(x) tienden a cero.
Supongamos además que
ĺım
x→a+
f ′(x)
g ′(x)
= L,
donde L es o bien un número real, o +∞ o −∞. Entonces
ĺım
x→a+
f (x)
g(x)
= L.
Y la misma conclusión es válida con ĺımites laterales por la
izquierda, con ĺımites bilaterales y con ĺımites en x → +∞ o
x → −∞.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Ejemplo
Ejemplo. Verifiquemos que los ĺımites del comienzo
ĺım
x→π−
sen x
1 + cos x
= +∞, ĺım
x→π−
1 + cos x
sen x
= 0
y
ĺım
x→0
sen ax
x
= a.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I
Regla de l’Hôpital para formas indeterminadas ∞/∞
Teorema
Supongamos que cuando x → a+, f (x)→ ±∞ y g(x)→ ±∞.
Adems, si
ĺım
x→a+
f ′(x)
g ′(x)
= L,
donde L es o bien un nmero real o +∞ o −∞. Entonces
ĺım
x→a+
f (x)
g(x)
= L.
Y la misma conclusin es valida con lmites laterales por la izquierda,
con lmites bilaterales y con lmites en x → +∞ o x → −∞.
P. Figueroa TAV, Enero, 2014 MAT1610 Cálculo I

Otros materiales