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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MAT1610-3 Cálculo I 2019-1 Profesor: Iason Efraimidis Ayudante: Maximiliano González R. (mfgonzalez7@uc.cl) Ayudant́ıa 8 (Repaso I2) Problema 1. Sean f(x) y g(x) funciones derivables y definidas en R+ tales que f ′(x) = arctan(x) y g′(x) = 1x . Si se define h(x) = 1 2 g(1 + x2)− xf ′(x) Demuestre que f + h es una función constante en R+ Problema 2. Calcule la función derivada de f(x) = arctan(2x)xln (x 2) Problema 3. Calcule ĺım x→0+ x 1 ln(ex − 1) Problema 4. La siguiente ecuación define impĺıcitamente a y como función de x. Encuentre dydx 1− arctan ( x y ) = x2 + y2 2 Problema 5. La función f(x) = √ a + bx− x2 tiene máximo global en el punto (1, 2). Determine los valores de a y b. Problema 6. Determine los números que satisfacen el teorema del valor medio para f(x) = x3 − x2 − 6x− 1 para x ∈ [−1, 1] Problema 7. Demuestre que la siguiente ecuación tiene solo una raiz en los reales 2x + cos (x) = 0 1 Problema 8. Propuestos para Control 2 a) Estudie la función f(x) = x − 3x 13 , determinando sus ráıces, simetŕıas, intervalos de creci- miento, máximos y mı́nimos locales, el sentido de la concavidad de f y si el gráfico posee aśıntotas (y de ser aśı, cuáles). Con esta información, esboce su gráfico. b) Realice lo mismo anterior, pero para las funciones g(x) = xe1/x y h(x) = √ x2 + 1− x. c) Encuentre las dimensiones del trapecio isósceles de área máxima que puede ser inscrito en un semićırculo de radio r 2
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