Ayudantía 8 sección 3

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
MAT1610-3 Cálculo I 2019-1
Profesor: Iason Efraimidis
Ayudante: Maximiliano González R. (mfgonzalez7@uc.cl)
Ayudant́ıa 8 (Repaso I2)
Problema 1.
Sean f(x) y g(x) funciones derivables y definidas en R+ tales que f ′(x) = arctan(x) y g′(x) = 1x .
Si se define
h(x) =
1
2
g(1 + x2)− xf ′(x)
Demuestre que f + h es una función constante en R+
Problema 2.
Calcule la función derivada de f(x) = arctan(2x)xln (x
2)
Problema 3.
Calcule
ĺım
x→0+
x
1
ln(ex − 1)
Problema 4.
La siguiente ecuación define impĺıcitamente a y como función de x. Encuentre dydx
1− arctan
(
x
y
)
=
x2 + y2
2
Problema 5.
La función f(x) =
√
a + bx− x2 tiene máximo global en el punto (1, 2). Determine los valores
de a y b.
Problema 6.
Determine los números que satisfacen el teorema del valor medio para f(x) = x3 − x2 − 6x− 1
para x ∈ [−1, 1]
Problema 7.
Demuestre que la siguiente ecuación tiene solo una raiz en los reales
2x + cos (x) = 0
1
Problema 8. Propuestos para Control 2
a) Estudie la función f(x) = x − 3x 13 , determinando sus ráıces, simetŕıas, intervalos de creci-
miento, máximos y mı́nimos locales, el sentido de la concavidad de f y si el gráfico posee
aśıntotas (y de ser aśı, cuáles). Con esta información, esboce su gráfico.
b) Realice lo mismo anterior, pero para las funciones g(x) = xe1/x y h(x) =
√
x2 + 1− x.
c) Encuentre las dimensiones del trapecio isósceles de área máxima que puede ser inscrito en un
semićırculo de radio r
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