Ayudantía 7 sección 3

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
MAT1610-3 Cálculo I 2019-1
Profesor: Iason Efraimidis
Ayudante: Maximiliano González R. (mfgonzalez7@uc.cl)
Ayudant́ıa 7
Problema 1.
Sea f una función derivable y tal que f ′(x) < 0 para todo x ∈ R. Determine los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la función g(x) dada por g(x) = f(x2).
Problema 2.
Suponga que f(0) = 3 y que f ′(x) ≤ 5 para todo valor de x. ¿Cuál es el mayor valor que f(2)
puede tomar?
Problema 3.
Use el Teorema del valor medio para demostrar que si x > 0 entonces
arctan(x) < x
Problema 4.
si a y b son parámetros positivos, encuentre el máximo de la función f(x) = xa(1 − x)b en el
intervalo [0, 1].
Problema 5.
Considere la función
f(x) = xe1/x
Determine las aśıntotas de f
intervalos de monotońıa y extremos locales
intervalos de concavidad y puntos de inflexión
bosquejo del gráfico de f
Problema 6.
Sea f una función continua en R con f(0) = 1. A continuación se presenta el gráfico de f ′(x):
A partir de esta información, determine:
(a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(b) Valores extremos.
(c) Puntos de inflexión
1
(d) Intervalos de concavidad
(e) Esbozo del gráfico de f(x)
Problema 7. Principio del Hipódromo
Demuestre el denominado Principio del Hipódromo: sean f y g funciones diferenciables en (a, b)
tales que f(a) = g(a) y f ′(x) ≥ g′(x) para todo x ∈ (a, b), entonces f(x) ≥ g(x) para todo
x ∈ (a, b).
Problema 8.
Sea f una función continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que f(a) = f(b) = 0. Demuestre
que, dado cualquier número real k existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = kf(c). Indicación: Utilice la
función f(x)e−kx
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