Ayudanta 10a - Medina

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Ayudantı́a X
Derivación II
Profesora: Carolina Becerra
Ayudante: Anibal Medina
1. Exprese el siguiente polinomio en potencias de (x + 1):
P(x) = 3x4 + 4x2 + 2x + 8
2. Un barco navega paralelo a una costa recta a 4 millas por hora, determine la rapidez
de acercamiento a un faro en la costa, en el momento en que la distancia que separa
al barco del faro es 5 millas.
3. Un depósito de agua con forma de cono invertido de altura 10 metros y radio 15
metros, pierde un metro cúbico de ĺıquido por segundo. Determine la razón a la cual
debe vertirse ĺıquido, de manera que cuando el ĺıquido alcance los 2 metros de altura,
la razón de ascenso sea de 4 metros por segundo.
4. El radio de un cilindro circular recto aumenta con un coeficiente de variación constante.
Su altura es una función linea del radio y aumenta tres veces más rápidamente que
éste. Cuando el radio es un metro su altura es seis metros, cuando el radio es seis
metros, el volumen crece a razón de un metro cúbico por segundo. Determine la razón
de crecimiento del volumen cuando el radio es treinta y seis metros.
5. La ecuación x3+ y3+ c = 0 define una o más funciones de x en términos de y, suponga
la existencia de x′ y x′′ y pruebe que se satisfacen las siguientes ecuaciones:
y2 + x2x′ = 0
x′′ + 2x−5y = 0
6. Probar que en la parábola y = ax2 + bx + c, la cuerda que une dos puntos cualquiera
con abscisas x1 y x2, tiene la misma pendiente que la tangente a la parábola en el
punto de abscisa (x1 + x2)/2.
7. Demuestre que para todo b ∈ R, el polinomio p(x) = x3 − 3x + b no tiene más de una
ráız en el intervalo |x| ≤ 1
8. Ejercicio Propuesto:
Definición: Intervalo abierto.
Sea I un intervalo en R, decimos que I es abierto si.
∀x ∈ I, ∃ � > 0 / B(x, �) ⊆ I.
Donde hemos llamado B(x, �) = {y ∈ R : |y − x| < � }.
Demuestre la siguiente proposición:
Sea f continua e inyectiva, y denotemos a f −1(I) = {x ∈ R : f (x) ∈ I}.
Si I ⊆ Rec f es un intervalo abierto, entonces f −1(I) es también un intervalo
abierto.