Ayudanta 10b - Medina

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Ayudantı́a X
Derivación III
Profesora: Carolina Becerra
Ayudante: Anibal Medina
1. El radio de un cilindro circular recto aumenta con un coeficiente de variación constante.
Su altura es una función linea del radio y aumenta tres veces más rápidamente que
éste. Cuando el radio es un metro su altura es seis metros, cuando el radio es seis
metros, el volumen crece a razón de un metro cúbico por segundo. Determine la razón
de crecimiento del volumen cuando el radio es treinta y seis metros.
2. La función f tiene derivada de segundo orden en el intervalo (a, b), pruebe que si el
segmento que une (a, f (a)) con (b, f (b)) intersecta al menos en un punto a la gráfica
de f , digamos en (c, f (c)), existe un punto x0 en (a, b) tal que
d2 f
dx2 (x0) = 0.
3. Calcule la derivada de las siguientes funciones.
a) f (x) = ln(x2 ln x)
b) g(x) = (x +
√
1 + x2)2k con k ∈ N
c) h(x) = x3 sin x (5 + x2)−9
4. Calcule valor de los siguientes ĺımites.
a) lı́m
x→0
ln(cos ax)
ln(cos bx)
b) lı́m
x→1
∑n
k=1 x
k − n
x − 1