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Ayudanta 5 - Medina

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Ayudantı́a V
Ĺımite de Sucesiones
Profesora: Carolina Becerra
Ayudante: Anibal Medina
1. Demuestre la convergencia de las siguientes expresiones al tender n al infinito, mediante
la determinación de un N ḿınimo como función de �.
a)
(−1)n+1
n
b)
n + 1
2n
c)
1
ln n
2. Determine el ĺımite cuando m tiende a infinito de la siguiente expresión.
5m3 + 3m2 + 8
√
5m + π
3m3 +
√
7m2 + 5m + e
3. Encuentre un criterio general para estudiar la convergencia de funciones del tipo.
f (n) =
p(n)
q(n)
con p(n) y q(n) polinomios de grado r y s respectivamente
4. Calcule el valor de la siguiente expresión, dado que |a| < 1 y |b| < 1.
lı́m
n→∞
1 + a + a2 + ... + an
1 + b + b2 + ... + bn
5. Demuestre que si an > 0 y
lı́m
n→∞
an+1
an
= c < 1
entonces la sucesión {an} converge a cero.
6. Utilice el problema anterior para probar las siguientes igualdades.
a) lı́m
n→∞
rn
n!
= 0 ∀r ∈ R
b) lı́m
n→∞
nqn = 0, con 0 ≤ q < 1
7. Sea {Xn} la sucesión definida recursivamente más abajo, pruebe que {Xn} es acotada y
monótona creciente, además, determine el valor de su ĺımite.
x1 =
√
2
xn+1 =
√
2 + xn

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