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Ayudantı́a V Ĺımite de Sucesiones Profesora: Carolina Becerra Ayudante: Anibal Medina 1. Demuestre la convergencia de las siguientes expresiones al tender n al infinito, mediante la determinación de un N ḿınimo como función de �. a) (−1)n+1 n b) n + 1 2n c) 1 ln n 2. Determine el ĺımite cuando m tiende a infinito de la siguiente expresión. 5m3 + 3m2 + 8 √ 5m + π 3m3 + √ 7m2 + 5m + e 3. Encuentre un criterio general para estudiar la convergencia de funciones del tipo. f (n) = p(n) q(n) con p(n) y q(n) polinomios de grado r y s respectivamente 4. Calcule el valor de la siguiente expresión, dado que |a| < 1 y |b| < 1. lı́m n→∞ 1 + a + a2 + ... + an 1 + b + b2 + ... + bn 5. Demuestre que si an > 0 y lı́m n→∞ an+1 an = c < 1 entonces la sucesión {an} converge a cero. 6. Utilice el problema anterior para probar las siguientes igualdades. a) lı́m n→∞ rn n! = 0 ∀r ∈ R b) lı́m n→∞ nqn = 0, con 0 ≤ q < 1 7. Sea {Xn} la sucesión definida recursivamente más abajo, pruebe que {Xn} es acotada y monótona creciente, además, determine el valor de su ĺımite. x1 = √ 2 xn+1 = √ 2 + xn
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