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Ayudanta 1 - Galasso

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Ayudant́ıa Lunes 20 Agosto
Ayudante: Bastián Galasso D.
1. Sea f(x) =
n∏
k=1
(−1)k+1|x3|x2k−1 para algún n ∈ N dado. Decida si f(x) tiene paridad.
- Solución:
- Para partir veremos que es lo que esta pasando con la función evaluándola en (−x):
f(−x) =
n∏
k=1
(−1)k+1|(−x)3|(−x)2k−1
=
n∏
k=1
(−1)k+1|x3|(−1)x2k−1
= (−1)n
n∏
k=1
(−1)k+1|x3|x2k−1
= (−1)nf(x)
- Por lo tanto, es fácil ver que si n es par, entonces f(x) es par. Y análogamente, si n es impar,
entonces f(x) es impar. En conclusión, f(x) tiene paridad, la cual depende de n.
2. Dada las funciones f : X → Y y g : Y → X, tales que (g ◦ f) = Id (con Id(x) = x, ∀ x ∈ X).
Demuestre que f debe ser 1-1 y g debe ser sobre.
- Demostración:
i) f es 1-1:
- Supongamos que f no es 1-1, es decir, x1 6= x2 ⇒ f(x1) = f(x2). Y por otro lado tenemos
que:
(g ◦ f)(x) = Id(x)
Ahora
(g ◦ f)(x1) = g(f(x1)) = Id(x1) y (g ◦ f)(x2) = g(f(x2)) = Id(x2)
Pero como f(x1) = f(x2), se tiene que:
Id(x1) = Id(x2)⇒ x1 = x2 (→←)
- ∴ f(x) tiene que ser 1-1.
ii) g es sobre:
- Supongamos que g no es sobre, es decir, ∃ y ∈ X tal que g(f(x)) 6= y,∀ x ∈ X, pero
g(f(x)) = Id(x), entonces Id(x) 6= y,∀ x ∈ X (→←).
- ∴ g es sobre.
�
1
3. Dadas las funciones definidas en los numeros naturales:
f(x) = 2x2 − 3x + k y g(x) = 3x + 1
- ¿Para que valor de k existe un único número real x tal que (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x)?.¿cuál es el
número?.
- Solución:
- Queremos que (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x), es decir:
g(2x2 − 3x + k) = f(3x + 1)
3(2x2 − 3x + k) + 1 = 2(3x + 1)2 − 3(3x + 1) + k
6x2 − 9x + 3k + 1 = 2(9x2 + 6x + 1)− 9x− 3 + k
6x2 + 3k + 1 = 18x2 + 12x + k − 1
12x2 + 12x− (2k + 2) = 0
- Y para que una ecuación cuadrática tenga solución única, el discriminante tiene que ser menor
que cero, por lo tanto:
(12)2 − 4 · 12 · (−(2k + 2)) = 144 + 96k + 96 = 240 + 96k = 0 ⇒ k = −5
2
- ∴ con k = − 52 , (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) en un único x ∈ R.
- Ahora buscamos el x en el cual son iguales, esto se hace sacando la solución del polinomio
P (x) = 12x2 + 12x + 3, que en este caso es x = − 1224 = −
1
2 .
4. Si f y g son funciones reales de variable real definidas por:
f(x) =
 x
2 + 2 si x > 0
x + 2 si x ≤ 0
y g(x) =
 2x + 5 si x > 3
x2 si x ≤ 3
Determine (g ◦ f)(x).
- Solución:
- Por la definición de composición, podemos decir lo siguiente:
g(f(x)) =
 2f(x) + 5 si f(x) > 3(f(x))2 si f(x) ≤ 3
- ∴ hay que analizar los valores de x en los cuales f(x) > 3 y f(x) ≤ 3.
2
- Partiremos viendo cuando f(x) > 3:
· Caso x > 0:
- Como x > 0,⇒ f(x) = x2 + 2, entonces:
x2 + 2 > 3
x2 > 1
(x > 1 Y x < −1)
Intersectando con la condición inicial, se tiene:
(x > 1 Y x < −1) ∩ (x > 0)⇒ x > 1
· Caso x ≤ 0:
- En este caso, la función es f(x) = x + 2, entonces:
x + 2 > 3⇒ x > 1
- ∴ es fácil ver que (x ≤ 0) ∩ (x > 1) = {φ}
- Ahora analizaremos los casos en que f(x) ≤ 3:
· Caso x > 0:
- Como x > 0,⇒ f(x) = x2 + 2, entonces:
x2 + 2 ≤ 3
x2 ≤ 1
(−1 ≤ x ≤ 1)
Intersectando con la condición inicial, se tiene:
(−1 ≤ x ≤ 1) ∩ (x > 0)⇒ 0 < x ≤ 1
· Caso x ≤ 0:
- En este caso, la función es f(x) = x + 2, entonces:
x + 2 ≤ 3⇒ x ≤ 1
- ∴ es fácil ver que (x ≤ 0) ∩ (x ≤ 1)⇒ (x ≤ 0)
- ∴ la función compuesta es :
(g ◦ f)(x) =

2x2 + 9 si x > 1
(x2 + 2)2 si 0 < x ≤ 1
(x + 2)2 si x ≤ 0
3
5. Si f y g son funciones definidas en los numeros reales, tales que:
(f ◦ g)(x) = 12x2 − 28x + 16 y g(x) = 2x− 3
Determine la función f(x).
- Solución:
Podemos usar para determinar la función f(x) lo siguiente:
(f ◦ g ◦ g−1)(x) = (f ◦ Id)(x) = f(x)
Para esto primero debemos determinar g−1, que es:
y = 2x− 3⇒ y + 3 = 2x⇒ x = y + 3
2
→ g−1 = x + 3
2
Ahora evaluando (f ◦ g)(g1(x)), nos queda:
(f ◦ g)(g−1(x)) = 12
(
x + 3
2
)2
− 28
(
x + 3
2
)
+ 16
f(x) = 3(x + 3)2 − 14(x + 3) + 16 = 3x2 + 4x + 1
6. Sea la función de Dirichlet definida como:
D(x) =
 1 si x ∈ Q0 si x ∈ I
- Demuestre que cada numero racional es periodo de la función, pero cada numero irracional no lo es.
- Demostración:
- Sea L ∈ I el periodo de D(x), y x ∈ Q, entonces D(x + L) = D(x).
Si x ∈ Q, L ∈ I ⇒ x + L ∈ I
∴ D(x + L) = 0
Pero D(x) = 1, por lo tanto:
D(x + L) 6= D(x)
∴ L no es periodo.
- Sea M ∈ Q el periodo de D(x), entonces D(x + M) = D(x), ∀ x.
Si x ∈ Q, ⇒ x + M ∈ Q, entonces:
D(x + M) = 1 = D(x)
Ahora si x ∈ I ⇒ x + M ∈ I, entonces:
D(x + M) = 0 = D(x)
- ∴ M es periodo de D(x).
- Con lo que podemos concluir que cada numero racional es periodo de la función pero los irra-
cionales no lo son.
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