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Ayudant́ıa Lunes 20 Agosto Ayudante: Bastián Galasso D. 1. Sea f(x) = n∏ k=1 (−1)k+1|x3|x2k−1 para algún n ∈ N dado. Decida si f(x) tiene paridad. - Solución: - Para partir veremos que es lo que esta pasando con la función evaluándola en (−x): f(−x) = n∏ k=1 (−1)k+1|(−x)3|(−x)2k−1 = n∏ k=1 (−1)k+1|x3|(−1)x2k−1 = (−1)n n∏ k=1 (−1)k+1|x3|x2k−1 = (−1)nf(x) - Por lo tanto, es fácil ver que si n es par, entonces f(x) es par. Y análogamente, si n es impar, entonces f(x) es impar. En conclusión, f(x) tiene paridad, la cual depende de n. 2. Dada las funciones f : X → Y y g : Y → X, tales que (g ◦ f) = Id (con Id(x) = x, ∀ x ∈ X). Demuestre que f debe ser 1-1 y g debe ser sobre. - Demostración: i) f es 1-1: - Supongamos que f no es 1-1, es decir, x1 6= x2 ⇒ f(x1) = f(x2). Y por otro lado tenemos que: (g ◦ f)(x) = Id(x) Ahora (g ◦ f)(x1) = g(f(x1)) = Id(x1) y (g ◦ f)(x2) = g(f(x2)) = Id(x2) Pero como f(x1) = f(x2), se tiene que: Id(x1) = Id(x2)⇒ x1 = x2 (→←) - ∴ f(x) tiene que ser 1-1. ii) g es sobre: - Supongamos que g no es sobre, es decir, ∃ y ∈ X tal que g(f(x)) 6= y,∀ x ∈ X, pero g(f(x)) = Id(x), entonces Id(x) 6= y,∀ x ∈ X (→←). - ∴ g es sobre. � 1 3. Dadas las funciones definidas en los numeros naturales: f(x) = 2x2 − 3x + k y g(x) = 3x + 1 - ¿Para que valor de k existe un único número real x tal que (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x)?.¿cuál es el número?. - Solución: - Queremos que (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x), es decir: g(2x2 − 3x + k) = f(3x + 1) 3(2x2 − 3x + k) + 1 = 2(3x + 1)2 − 3(3x + 1) + k 6x2 − 9x + 3k + 1 = 2(9x2 + 6x + 1)− 9x− 3 + k 6x2 + 3k + 1 = 18x2 + 12x + k − 1 12x2 + 12x− (2k + 2) = 0 - Y para que una ecuación cuadrática tenga solución única, el discriminante tiene que ser menor que cero, por lo tanto: (12)2 − 4 · 12 · (−(2k + 2)) = 144 + 96k + 96 = 240 + 96k = 0 ⇒ k = −5 2 - ∴ con k = − 52 , (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) en un único x ∈ R. - Ahora buscamos el x en el cual son iguales, esto se hace sacando la solución del polinomio P (x) = 12x2 + 12x + 3, que en este caso es x = − 1224 = − 1 2 . 4. Si f y g son funciones reales de variable real definidas por: f(x) = x 2 + 2 si x > 0 x + 2 si x ≤ 0 y g(x) = 2x + 5 si x > 3 x2 si x ≤ 3 Determine (g ◦ f)(x). - Solución: - Por la definición de composición, podemos decir lo siguiente: g(f(x)) = 2f(x) + 5 si f(x) > 3(f(x))2 si f(x) ≤ 3 - ∴ hay que analizar los valores de x en los cuales f(x) > 3 y f(x) ≤ 3. 2 - Partiremos viendo cuando f(x) > 3: · Caso x > 0: - Como x > 0,⇒ f(x) = x2 + 2, entonces: x2 + 2 > 3 x2 > 1 (x > 1 Y x < −1) Intersectando con la condición inicial, se tiene: (x > 1 Y x < −1) ∩ (x > 0)⇒ x > 1 · Caso x ≤ 0: - En este caso, la función es f(x) = x + 2, entonces: x + 2 > 3⇒ x > 1 - ∴ es fácil ver que (x ≤ 0) ∩ (x > 1) = {φ} - Ahora analizaremos los casos en que f(x) ≤ 3: · Caso x > 0: - Como x > 0,⇒ f(x) = x2 + 2, entonces: x2 + 2 ≤ 3 x2 ≤ 1 (−1 ≤ x ≤ 1) Intersectando con la condición inicial, se tiene: (−1 ≤ x ≤ 1) ∩ (x > 0)⇒ 0 < x ≤ 1 · Caso x ≤ 0: - En este caso, la función es f(x) = x + 2, entonces: x + 2 ≤ 3⇒ x ≤ 1 - ∴ es fácil ver que (x ≤ 0) ∩ (x ≤ 1)⇒ (x ≤ 0) - ∴ la función compuesta es : (g ◦ f)(x) = 2x2 + 9 si x > 1 (x2 + 2)2 si 0 < x ≤ 1 (x + 2)2 si x ≤ 0 3 5. Si f y g son funciones definidas en los numeros reales, tales que: (f ◦ g)(x) = 12x2 − 28x + 16 y g(x) = 2x− 3 Determine la función f(x). - Solución: Podemos usar para determinar la función f(x) lo siguiente: (f ◦ g ◦ g−1)(x) = (f ◦ Id)(x) = f(x) Para esto primero debemos determinar g−1, que es: y = 2x− 3⇒ y + 3 = 2x⇒ x = y + 3 2 → g−1 = x + 3 2 Ahora evaluando (f ◦ g)(g1(x)), nos queda: (f ◦ g)(g−1(x)) = 12 ( x + 3 2 )2 − 28 ( x + 3 2 ) + 16 f(x) = 3(x + 3)2 − 14(x + 3) + 16 = 3x2 + 4x + 1 6. Sea la función de Dirichlet definida como: D(x) = 1 si x ∈ Q0 si x ∈ I - Demuestre que cada numero racional es periodo de la función, pero cada numero irracional no lo es. - Demostración: - Sea L ∈ I el periodo de D(x), y x ∈ Q, entonces D(x + L) = D(x). Si x ∈ Q, L ∈ I ⇒ x + L ∈ I ∴ D(x + L) = 0 Pero D(x) = 1, por lo tanto: D(x + L) 6= D(x) ∴ L no es periodo. - Sea M ∈ Q el periodo de D(x), entonces D(x + M) = D(x), ∀ x. Si x ∈ Q, ⇒ x + M ∈ Q, entonces: D(x + M) = 1 = D(x) Ahora si x ∈ I ⇒ x + M ∈ I, entonces: D(x + M) = 0 = D(x) - ∴ M es periodo de D(x). - Con lo que podemos concluir que cada numero racional es periodo de la función pero los irra- cionales no lo son. � 4
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