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Ayudanta 10 - Vargas

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CÁLCULO 1-MAT1503
Ayudant́ıa 10
Rodrigo Vargas
1. Calcular
n∑
k=1
(1 + 2 + 22 + ... + 2k)
(
n
k
)
Solución: Utilizando la siguiente idéntidad demostrada por inducción
en una ayudant́ıa preterita
1 + r + r2 + ... + rn =
rn+1 − 1
r − 1
, r 6= 1 (1)
para r = 2 obtenemos que
n∑
k=1
(1 + 2 + 22 + ... + 2k)
(
n
k
)
=
n∑
k=1
2k+1 − 1
2− 1
(
n
k
)
=
n∑
k=1
2k+1
(
n
k
)
︸ ︷︷ ︸
S1
−
n∑
k=1
(
n
k
)
︸ ︷︷ ︸
S2
= S1 + S2
Notemos que
S1 = 2
n∑
k=1
(
n
k
)
2k
= 2
{
n∑
k=0
(
n
k
)
2k −
(
n
0
)
20
}
= 2
{
n∑
k=0
(
n
k
)
2k · 1n−k −
(
n
0
)
20
}
= 2{(1 + 2)n − 1} = 2(3n − 1)
Además, tenemos que:
S2 =
n∑
k=1
(
n
k
)
=
n∑
k=0
(
n
k
)
−
(
n
0
)
= 2n − 1
Por lo tanto,
S1 + S2 = 2 · 3n − 2− 2n + 1 = 2 · 3n − 2n − 1
1
2. Calcule
n∑
k=1
ak donde ak =
k∑
i=0
1
3k−1
(
k
i
)
Solución:
n∑
k=1
ak =
n∑
k=1
(
k∑
i=0
(
k
i
)
1
3k−i
)
=
n∑
k=1
(
k∑
i=0
(
k
i
)
3i
3k
)
=
n∑
k=1
(
1
3k
)( k∑
i=0
(
k
i
)
3i
)
=
n∑
k=1
(
1
3k
)
(1 + 3)k (Teorema del binomio)
=
n∑
k=1
(
4
3
)k
=
n∑
k=0
(
4
3
)k
−
(
4
3
)0
=
(
4
3
)n+1 − 1
4
3
− 1
− 1 (por la ecuación (1))
= 3
(
4
3
)n+1
− 4
3. Calcule
n∑
k=0
k
(k + 1)!
Solución: Usando la propiedad telescopica obtenemos
n∑
k=0
k
(k + 1)!
=
n∑
k=0
(k + 1)− 1
(k + 1)!
=
n∑
k=0
{
k + 1
(k + 1)!
− 1
(k + 1)!
}
=
n∑
k=0
{
k + 1
(k + 1)k!
− 1
(k + 1)!
}
=
n∑
k=0
{
1
k!
− 1
(k + 1)!
}
2
=
1
0!
− 1
(n + 1)!
=
(n + 1)!− 1
(n + 1)!
4. Demuestre que para cada m ∈ N fijo, se tiene que
n∑
k=0
(
k + m
k
)
=
(
n + m + 1
n
)
∀ n ∈ N
Solución: Por inducción sobre n tenemos que:
·P (1) :
5. Demuestre que para todo n ∈ N se cumple que(
2n
n
)
≤ 4
Solución: Basta observar que:
4n = (1 + 1)2n =
2n∑
k=0
(
2n
k
)
≥
(
2n
n
)
6. Si n es par calcule (
n
2
)
+
(
n
4
)
+ ... +
(
n
n
)
Solución: Tenemos que
2n = (1 + 1)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
=
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
(
n
3
)
+ ... +
(
n
n
)
0 = (1− 1)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)k =
(
n
0
)
−
(
n
1
)
+
(
n
2
)
−
(
n
3
)
+ ... +
(
n
n
)
Sumando los extremos de las igualdades anteriores, obtenemos
2n = 2
(n0
)
︸︷︷︸
1
+
(
n
2
)
+ ... +
(
n
n
)
Entonces, despejando de la igualdad anterior(
n
2
)
+
(
n
4
)
+ ... +
(
n
n
)
= 2n−1 − 1
3
7. Demostrar que el coeficiente de x2y2z6 en (x + y + z)10 es
10!
2! · 2! · 6!
Solución: Usando el Teorema del binomio
(x + y + z)10 =
10∑
k=0
(
10
k
)
(x + y)kz10−k
=
10∑
k=0
(
10
k
)( k∑
j=0
(
k
j
)
xjyk−j
)
z10−k
=
10∑
k=0
k∑
j=0
(
10
k
)(
k
j
)
xjyk−jz10−k
Como queremos el coeficiente de x2y2z6 entonces j = 2, k − j = 2 y
10− k = 6, es decir, j = 2 y k = 4, luego el cioeficiente pedido es:(
10
4
)(
4
2
)
=
10!
4!6!
· 4!
2!2!
=
10!
2! · 2! · 6!
8. Determine el valor de la constante c de modo que el coeficiente de x4y8
es el desarrollo de
(2x3 − 4y)12
(
cxy +
1
x2
)7
sea 25
Solución: Usando el teorema del binomio para ambos factores que
designaremos por la letra S, obtenemos:
S = 212(x3 − 2y)12
(
cxy +
1
x2
)7
= 212
12∑
i=0
(
12
i
)
x3i(−2y)12−i
7∑
j=0
(
7
j
)
(cxy)j
(
1
x2
)7−j
= 212
12∑
i=0
7∑
j=0
(
12
i
)(
7
j
)
(−2)12−icjx(3i+3j−14)y(12−i+j)
El coeficiente de x4y8 es obtenido cuando
3i + 3j − 14 = 4
−i + j + 12 = 8 ⇒
{
i = 5
j = 5
4
Luego, el coeficiente que queremos que sea 25 es:
212
(
12
5
)(
7
1
)
(−2)12−5c1 = 25
Por lo tanto,
c =
25
219 · 7 ·
(
12
5
)
5

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