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CÁLCULO 1-MAT1503 Ayudant́ıa 10 Rodrigo Vargas 1. Calcular n∑ k=1 (1 + 2 + 22 + ... + 2k) ( n k ) Solución: Utilizando la siguiente idéntidad demostrada por inducción en una ayudant́ıa preterita 1 + r + r2 + ... + rn = rn+1 − 1 r − 1 , r 6= 1 (1) para r = 2 obtenemos que n∑ k=1 (1 + 2 + 22 + ... + 2k) ( n k ) = n∑ k=1 2k+1 − 1 2− 1 ( n k ) = n∑ k=1 2k+1 ( n k ) ︸ ︷︷ ︸ S1 − n∑ k=1 ( n k ) ︸ ︷︷ ︸ S2 = S1 + S2 Notemos que S1 = 2 n∑ k=1 ( n k ) 2k = 2 { n∑ k=0 ( n k ) 2k − ( n 0 ) 20 } = 2 { n∑ k=0 ( n k ) 2k · 1n−k − ( n 0 ) 20 } = 2{(1 + 2)n − 1} = 2(3n − 1) Además, tenemos que: S2 = n∑ k=1 ( n k ) = n∑ k=0 ( n k ) − ( n 0 ) = 2n − 1 Por lo tanto, S1 + S2 = 2 · 3n − 2− 2n + 1 = 2 · 3n − 2n − 1 1 2. Calcule n∑ k=1 ak donde ak = k∑ i=0 1 3k−1 ( k i ) Solución: n∑ k=1 ak = n∑ k=1 ( k∑ i=0 ( k i ) 1 3k−i ) = n∑ k=1 ( k∑ i=0 ( k i ) 3i 3k ) = n∑ k=1 ( 1 3k )( k∑ i=0 ( k i ) 3i ) = n∑ k=1 ( 1 3k ) (1 + 3)k (Teorema del binomio) = n∑ k=1 ( 4 3 )k = n∑ k=0 ( 4 3 )k − ( 4 3 )0 = ( 4 3 )n+1 − 1 4 3 − 1 − 1 (por la ecuación (1)) = 3 ( 4 3 )n+1 − 4 3. Calcule n∑ k=0 k (k + 1)! Solución: Usando la propiedad telescopica obtenemos n∑ k=0 k (k + 1)! = n∑ k=0 (k + 1)− 1 (k + 1)! = n∑ k=0 { k + 1 (k + 1)! − 1 (k + 1)! } = n∑ k=0 { k + 1 (k + 1)k! − 1 (k + 1)! } = n∑ k=0 { 1 k! − 1 (k + 1)! } 2 = 1 0! − 1 (n + 1)! = (n + 1)!− 1 (n + 1)! 4. Demuestre que para cada m ∈ N fijo, se tiene que n∑ k=0 ( k + m k ) = ( n + m + 1 n ) ∀ n ∈ N Solución: Por inducción sobre n tenemos que: ·P (1) : 5. Demuestre que para todo n ∈ N se cumple que( 2n n ) ≤ 4 Solución: Basta observar que: 4n = (1 + 1)2n = 2n∑ k=0 ( 2n k ) ≥ ( 2n n ) 6. Si n es par calcule ( n 2 ) + ( n 4 ) + ... + ( n n ) Solución: Tenemos que 2n = (1 + 1)n = n∑ k=0 ( n k ) = ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ( n 3 ) + ... + ( n n ) 0 = (1− 1)n = n∑ k=0 ( n k ) (−1)k = ( n 0 ) − ( n 1 ) + ( n 2 ) − ( n 3 ) + ... + ( n n ) Sumando los extremos de las igualdades anteriores, obtenemos 2n = 2 (n0 ) ︸︷︷︸ 1 + ( n 2 ) + ... + ( n n ) Entonces, despejando de la igualdad anterior( n 2 ) + ( n 4 ) + ... + ( n n ) = 2n−1 − 1 3 7. Demostrar que el coeficiente de x2y2z6 en (x + y + z)10 es 10! 2! · 2! · 6! Solución: Usando el Teorema del binomio (x + y + z)10 = 10∑ k=0 ( 10 k ) (x + y)kz10−k = 10∑ k=0 ( 10 k )( k∑ j=0 ( k j ) xjyk−j ) z10−k = 10∑ k=0 k∑ j=0 ( 10 k )( k j ) xjyk−jz10−k Como queremos el coeficiente de x2y2z6 entonces j = 2, k − j = 2 y 10− k = 6, es decir, j = 2 y k = 4, luego el cioeficiente pedido es:( 10 4 )( 4 2 ) = 10! 4!6! · 4! 2!2! = 10! 2! · 2! · 6! 8. Determine el valor de la constante c de modo que el coeficiente de x4y8 es el desarrollo de (2x3 − 4y)12 ( cxy + 1 x2 )7 sea 25 Solución: Usando el teorema del binomio para ambos factores que designaremos por la letra S, obtenemos: S = 212(x3 − 2y)12 ( cxy + 1 x2 )7 = 212 12∑ i=0 ( 12 i ) x3i(−2y)12−i 7∑ j=0 ( 7 j ) (cxy)j ( 1 x2 )7−j = 212 12∑ i=0 7∑ j=0 ( 12 i )( 7 j ) (−2)12−icjx(3i+3j−14)y(12−i+j) El coeficiente de x4y8 es obtenido cuando 3i + 3j − 14 = 4 −i + j + 12 = 8 ⇒ { i = 5 j = 5 4 Luego, el coeficiente que queremos que sea 25 es: 212 ( 12 5 )( 7 1 ) (−2)12−5c1 = 25 Por lo tanto, c = 25 219 · 7 · ( 12 5 ) 5
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