Ayudanta 12 - Vargas

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CÁLCULO 1-MAT1503
Ayudant́ıa 12
Rodrigo Vargas
Calcule ĺım
n→∞
an de las siguientes sucesiones:
1. an =
3n2 + 4n
5n2 − 1
2. an =
1 + 2 · 10n
5 + 3 · 10n
3. an =
√
3n2 − 5n + 4
2n− 7
4. an =
√
n + 1−
√
n
5. an =
3
√
n + 1− 3
√
n
6. an =
1√
n2 + 1
+
1√
n2 + 2
+ ... +
1√
n2 + n
7. an =
n
√
n
Soluciones:
1. Usaremos el hecho que ĺım
n→∞
1
nk
= 0 si k ∈ R+, entonces
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
3n2 + 4n
5n2 − 1
= ĺım
n→∞
3n2 + 4n
5n2 − 1
· 1/n
2
1/n2
= ĺım
n→∞
3 · n
2
n2
+ 4 · n
n2
5 · n
2
n2
− 1
n2
= ĺım
n→∞
3 + 4 · 1
n
5− 1
n2
=
ĺım
n→∞
(
3 + 4 · 1
n
)
ĺım
n→∞
(
5− 1
n2
) = ĺımn→∞ 3 + ĺımn→∞ 4 · 1n
ĺım
n→∞
5− ĺım
n→∞
1
n2
=
3 + 4 · 0
5− 0
=
3
5
1
2. Usaremos aqui el hecho que ĺım
n→∞
rn = 0 si y sólo si |r| < 1.
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
1 + 2 · 10n
5 + 3 · 10n
= ĺım
n→∞
1 + 2 · 10n
5 + 3 · 10n
· 1/10
n
1/10n
= ĺım
n→∞
1
10n
+ 2 · 10
n
10n
5
10n
+ 3 · 10
n
10n
=
ĺım
n→∞
(
1
10
)n
+ 2
5 ĺım
n→∞
(
1
10
)n
+ 3
=
2
3
3. Multiplicando en el denominador y numerador por
1
n
obtenemos
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
√
3n2 − 5n + 4
2n− 7
= ĺım
n→∞
√
3
n2
n2
− 5 n
n2
+ 4 · 1
n2
2n
n
− 7
n
= ĺım
n→∞
√
3− 5 1
n
+ 4 · 1
n2
2− 7
n
=
√
3
2
4. Usando la idéntidad a2 − b2 = (a− b)(a + b) obtenemos:
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
√
n + 1−
√
n
= ĺım
n→∞
(
√
n + 1−
√
n) ·
(√
n + 1 +
√
n√
n + 1 +
√
n
)
= ĺım
n→∞
n + 1− n√
n + 1 +
√
n
= ĺım
n→∞
1√
n + 1 +
√
n
= 0
5. Usando la idéntidad a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2) obtenemos que:
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
3
√
n + 1− 3
√
n
= ĺım
n→∞
(
√
n + 1−
√
n) ·
(
3
√
(n + 1)2 + 3
√
(n + 1)n + 3
√
n
3
√
(n + 1)2 + 3
√
(n + 1)n + 3
√
n
)
2
= ĺım
n→∞
n + 1− n
3
√
(n + 1)2 + 3
√
(n + 1)n + 3
√
n
= ĺım
n→∞
1
3
√
(n + 1)2 + 3
√
(n + 1)n + 3
√
n
= 0
6. Utilizaremos aqúı:
Teorema 1 (Teorema del Sandwich) Si ĺım
n→∞
xn = ĺım
n→∞
yn = a y
xn ≤ zn ≤ yn ∀ n ∈ N
entonces ĺım
n→∞
zn = a
Para ello acotamos superior e inferiormente el término general notando
que
an =
1√
n2 + 1
+
1√
n2 + 2
+ ... +
1√
n2 + n
≥ 1√
n2 + n
+
1√
n2 + n
+ ... +
1√
n2 + n
=
n√
n2 + n
y
an =
1√
n2 + 1
+
1√
n2 + 2
+ ... +
1√
n2 + n
≤ 1√
n2 + 1
+
1√
n2 + 1
+ ... +
1√
n2 + 1
=
n√
n2 + 1
Entonces
n√
n2 + n
≤ an ≤
n√
n2 + 1
Como ĺım
n→∞
n√
n2 + n
= ĺım
n→∞
n√
n2 + 1
= 1, obtenemos que
ĺım
n→∞
an = 1
7. Como cualquier ráız de un número mayor que uno es mayor que uno,
podemos escribir:
n
√√
n = 1 + kn
donde kn ≥ 0 y depende de n. Entonces, usando la desigualdad de
Bernoulli, demostrada en ayudantias preteritas obtenemos:
√
n = (1 + kn)
n > 1 + nkn > nkn
3
y por lo tanto, kn <
√
n
n
=
1√
n
. Entonces,
1 < n
√
n = (1 + kn)
2 = 1 + 2kn + k
2
n < 1 +
2√
n
+
1
n
n→∞−−−−→ 1
Usando el Teorema del Sandwich se concluye que
ĺım
n→∞
n
√
n = 1
4