Ayudanta 20 - Vargas

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CÁLCULO 1-MAT1503
Ayudant́ıa 20
Rodrigo Vargas
1. Calcule por definición las derivadas de las siguientes funciones
(a) f(x) =
√
cos x en x = 0
(b) f(x) =
√
2x− 1 en x = 5
(c) f(x) = log x en x = a
Solución:
(a) Por definción de la deriva obtenemos que
f ′(0) = ĺım
x→0
f(x)− f(0)
x− 0
= ĺım
x→0
√
cos x− 1
x
= ĺım
x→0
√
cos x− 1
x
·
√
cos x + 1√
cos x + 1
= ĺım
x→0
cos x− 1
x(
√
cos x + 1)
· cos x + 1
cos x + 1
= ĺım
x→0
cos2 x− 1
x(
√
cos x + 1)(cos x + 1)
= − ĺım
x→0
sin2 x
x(
√
cos x + 1)(cos x + 1)
= −
(
ĺım
x→0
sin x
x
)
· ĺım
x→0
sin x
(
√
cos x + 1)(cos x + 1)
= −(1) · 0
(2)(2)
= 0
(b)
f ′(5) = ĺım
x→5
f(x)− f(5)
x− 5
= ĺım
x→5
√
2x− 1− 3
x− 5
= ĺım
x→5
(2x− 1)− 9
(x− 5)(
√
2x− 1 + 3)
= ĺım
x→5
2(x− 5)
(x− 5)(
√
2x− 1 + 3)
= ĺım
x→5
2√
2x− 1 + 3
=
2
3 + 3
=
1
3
1
(c)
f ′(a) = ĺım
x→a
f(x)− f(a)
x− a
= ĺım
x→a
log x− log a
x− a
= ĺım
x→a
log
(x
a
)
x− a
= ĺım
x→a
(
1
x− a
)
log
(x
a
)
= ĺım
x→a
log
(x
a
) 1
x−a
Haciendo el cambio de variable n = 1/(x− a) tenemos que cuando
x→ a entonces n→∞. Despejando obtenemos que
n =
1
x− a
⇒ nx− na = 1⇒ nx = na + 1⇒ x = na + 1
n
Entonces,
f ′(a) = ĺım
n→∞
log
(
na + 1
na
)n
= ĺım
n→∞
log
(
1 +
1/a
n
)n
= log
(
ĺım
n→∞
(
1 +
1/a
n
)n)
= log(e1/a) =
1
a
2. Derive las funciones
(a) f(x) = (x + 1)2(x− 3)5
(b) g(x) =
√
x2 + 1
(c) h(x) =
1√
1− x2
(d) k(x) =
√
x− 5√
x + 5
(e) l(x) =
√
1 + sin x
1− sin x
(f) r(x) = log(x +
√
1 + x2)
Solución:
(a) Derivamos usando la regla de derivación para el producto de fun-
ciones
f ′(x) =
(
d
dx
(x + 1)2
)
(x− 3)5 + (x + 1)2
(
d
dx
(x− 3)5
)
= 2(x + 1)(x− 3)5 + (x + 1)2 · 5(x− 3)4
= (x + 1)(x− 3)4[2(x− 3) + 5(x + 1)]
= (x + 1)(x− 3)4(7x− 1)
2
(b) Usando la regla de la cadena, para la composición de funciones,
junto con
d
dx
(
x
1
r
)
=
1
r
x
1
r
− 1
g ′(x) =
1
2
(x2 + 1)
1
2
− 1
(
d
dx
(x2 + 1)
)
=
1
2
√
x2 + 1
· 2x = x√
x2 + 1
(c) Usando la regla de derivación para el producto de funciones y la
regla de la cadena obtenemos que
h ′(x) =
(
d
dx
(1)
)√
1− x2 + 1 ·
(
d
dx
√
1− x2
)
= 0 ·
√
1− x2 + 1
2
(1− x2)
1
2
− 1 ·
(
d
dx
(1− x2)
)
=
1
2
√
1− x2
· (−2x) = − x√
1− x2
(d) Usando la regla de derivación para el cuociente de dos funciones
junto con la regla de la cadena obtenemos
k ′(x) =
(
d
dx
√
x− 5
)√
x + 5−
√
x− 5
(
d
dx
√
x + 5
)
(
√
x + 5)2
=
1
(x + 5)
·
(
1
2
√
x− 5
√
x + 5−
√
x− 5 1
2
√
x + 5
)
=
1
(x + 5)
· (x + 5)− (x− 5)
2
√
x− 5
√
x + 5
=
10
2
√
x− 5 · (x + 5)3/2
=
5√
x− 5 · (x + 5)3/2
(e) Usando la regla de derivación para el cuociente de funciones, la
regla de la cadena y sabiendo que
d
dx
sin x = cos x
3
l ′(x) =
(
d
dx
√
1 + sin x
)
·
√
1− sin x−
√
1 + sin x ·
(
d
dx
√
1− sin x
)
(
√
1− sin x)2
=
1
1− sin x
(
1
2
√
1 + sin x
·
(
d
dx
(1 + sin x)
)√
1− sin x−
√
1 + sin x
1
2
√
1− sin x
·
(
d
dx
(1− sin x)
))
=
1
1− sin x
( √
1− sin x
2
√
1 + sin x
· cos x−
√
1 + sin x
2
√
1− sin x
· (− cos x)
)
=
1
1− sin x
(
(1− sin x) cos x + (1 + sin x) cos x
2
√
1 + sin x
√
1− sin x
)
=
1
1− sin x
(
2 cos x
2
√
1 + sin x
√
1− sin x
)
=
cos x
2
√
1 + sin x · (1− sin x)3/2
(f) Usando la regla de la cadena y usando que
d
dx
log x =
1
x
r ′(x) =
1
x +
√
1 + x2
(
d
dx
(x +
√
1 + x2)
)
=
1
x +
√
1 + x2
(
1 +
1
2
√
1 + x2
(
d
dx
(1 + x2)
))
=
1
x +
√
1 + x2
(
1 +
1
2
√
1 + x2
(2x)
)
=
1
x +
√
1 + x2
(
1 +
x√
1 + x2
)
=
1
x +
√
1 + x2
(√
1 + x2 + x√
1 + x2
)
=
1√
1 + x2
4