Ayudanta 28 - Vargas

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CÁLCULO 1-MAT1503
Ayudant́ıa 28
Rodrigo Vargas
Jean Bernoulli en 1694, hab́ıa descubierto que si f(x) y g(x) son
funciones diferenciables en x = a tales que f(a) = g(a) = 0 y existe el
ĺımite
lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
, entonces lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
.
Sin embargo, Bernoulli, durante su estanćıa en Paŕıs, firmó un con-
trato con el márquez de L’Hôpital, según el cual, a cambio de un
salario regular, se compromet́ıa a enviar a L’Hôpital sus descubrim-
ientos.
Esta regla es conocida por el nombre de L’Hôpital, porque éste la in-
corporó en un texto de cálculo diferencial que apareció publicado en
Paŕıs en 1696.
1. Calcular lim
x→π
sin
(x
2
)
+ cos x
1 + sin2 x + cos x
Solución: La expresión
sin
(x
2
)
+ cos x
1 + sin2 x + cos x
evaluada en x = π da una forma indeterminada del tipo
0
0
. Aplicando
la regla de L’Hôpital se tiene:
lim
x→π
f(x) = lim
x→π
1
2
cos
(
x
2
)
− sin x
2 sin x cos x− sin x
Esta espresión también es una forma indeterminada del tipo
0
0
, por lo
cual nuevamente debe aplicarse la regla de L’Hôpital.
lim
x→π
f(x) = lim
x→π
−1
4
sin
(
x
2
)
− cos x
2 cos(2x)− cos x
=
−1
4
+ 1
2− (−1)
=
1
4
2. Calcular lim
x→0
(
cotan x− 1
x
)
1
Solución: Este ĺımite corresponde a una forma indeterminada del tipo
∞−∞.
cotan x− 1
x
=
cos x
sin x
− 1
x
=
x cos x− sin x
x sin x
esta última expresión es una forma del tipo
0
0
aplicando la regla de
L’Hôpital se obtiene
f ′(x)
g′(x)
=
−x sin x
sin x + x cos x
=
−x
1 +
x
sin x
cos x
Por lo tanto,
lim
x→π
(
cotan x− 1
x
)
=
3. Calcular lim
x→1
(
2
x2 − 1
− 1
x− 1
)
Solución:
lim
x→1
(
2
x2 − 1
− 1
x− 1
)
= lim
x→1
2(x− 1)− (x2 − 1)
(x2 − 1)(x− 1)
= lim
x→1
2x− x2 − 1
(x2 − 1)(x− 1)
= lim
x→1
−(x− 1)2
(x + 1)(x− 1)2
= lim
x→1
−1
(x + 1)
= −1
2
4. Calcular lim
x→0
(
1
sin x
− 1
x
)
.
Solución: Aplicando dos veces la regla de L’Hôpital se obtiene que:
lim
x→0
(
1
sin x
− 1
x
)
= lim
x→0
x− sin x
x sin x
= lim
x→0
1− cos x
sin x + x cos x
= lim
x→0
sin x
cos x + cos x− x sin x
= 0
2
5. Calcule lim
x→0
1− cos2 x
x tan x
Solución: Evaluando
1− cos2 x
x tan x
en x = 0, se obtiene una forma inde-
terminada del tipo
0
0
, por lo cual de debe aplicar regla de L’Hôpital.
lim
x→0
1− cos2 x
x tan x
= lim
x→0
−2 cos x(− sin x)
tan x + x sec2 x
= lim
x→0
2 cos x sin x
tan x + x sec2 x
Evaluando la última expresión se obtine una forma
0
0
. Aplicando nue-
vamente la regla de L’Hôpital:
lim
x→0
−2 sin2 x + 2 cos2 x
sec2 x + sec2 x + 2x sec2 x tan x
= 1
6. Calcule lim
x→+∞
√
x(π − 2 arctan
√
x)
Solución: El cálculo directo de lim
x→+∞
√
x(π − 2 arctan
√
x) conduce
a una forma indeterminada de tipo 0 · +∞. Para aplicar la regla de
L’Hôpital se debe transformar en una forma de tipo
0
0
.
lim
x→+∞
√
x(π − 2 arctan
√
x) = lim
x→+∞
(π − 2 arctan
√
x)
1√
x
= 2
7. Calcular lim
x→+∞
x
(
π − 2 arcsin
(
x√
x2 + 1
))
Solución: La evaluación directa de este ĺımite da lugar a una forma
indeterminada de tipo ∞ · 0, por lo tanto se debe transformar en una
del tipo
0
0
.
lim
x→+∞
x
(
π − 2 arcsin
(
x√
x2 + 1
))
= lim
x→+∞
π − 2 arcsin
(
x√
x2+1
)
1
x
= lim
x→+∞
−2√
1− x2
x2+1
·
(√
x2 + 1− 2x2
2
√
x2+1
x2 + 1
)
− 1
x2
3
= lim
x→+∞
2x2
√
x2 + 1 · 1
(x2 + 1)
√
x2 + 1
= lim
x→+∞
2x2
x2 + 1
= 2
8. Demuestre que
lim
x→1
ax2 − 2ax + a
bx2 − 2bx + b
=
a
b
Solución: La evaluación directa de este ĺımite es una expresión de la
forma
0
0
entonces usando la regla de L’Hôpital obtenemos
lim
x→1
ax2 − 2ax + b
bx2 − 2bx + b
= lim
x→1
2ax− 2a
2bx− 2b
= lim
x→1
2a(x− 1)
2b(x− 1)
=
a
b
4