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Ayudant́ıa Miércoles 29 Agosto Ayudante: Bastián Galasso D. 1. Calcule n∑ k=1 2k − 1 k(k + 2)2 Usando la identidad: 3 2 n∑ k=1 1 k(k + 2)2 = 1 4 ( 3 2 − 2n + 3 (n + 1)(n + 2) ) - Solución: n∑ k=1 2k − 1 k(k + 2)2 = n∑ k=1 2k − 1 + k2 + 2k + 5− k2 − 2k − 5 k(k + 2)2 = n∑ k=1 (k2 + 4k + 4)− (k2 + 2k)− 5 k(k + 2)2 = n∑ k=1 (k + 2)2 − k(k + 2) k(k + 2)2 − 5 n∑ k=1 1 k(k + 2)2 = n∑ k=1 (k + 2)2 k(k + 2)2 − k(k + 2) k(k + 2)2 − 5 n∑ k=1 1 k(k + 2)2 = n∑ k=1 1 k − 1 k + 2︸ ︷︷ ︸ Propiedad telescopica −5 n∑ k=1 1 k(k + 2)2 = 1 + 1 2 − 1 n + 1 − 1 n + 2 − 5 6 ( 3 2 − 2n + 3 (n + 1)(n + 2) ) = 1 6 ( 3 2 − 2n + 3 (n + 1)(n + 2) ) 2. Calcule n∑ k=1 k · 2k (k + 2)! - Solución: Para resolver es problema, Separaremos el termino k(k+2)! es fracciones parciales, es decir k (k + 2)! = A (k + 1)! + B (k + 2)! = A(k + 2) + B (k + 2)! = Ak + (2A + B) (k + 2)! De lo anterior, deducimos que A = 1 y B = −2, con esto el problema nos queda n∑ k=1 k · 2k (k + 2)! = n∑ k=1 2k (k + 1)! − 2 k+1 (k + 2)!︸ ︷︷ ︸ Propiedad telescopica 1 = 1− 2 n+1 (n + 2)! 3. Calcule n+1∑ k=1 (k + 1)(−3)k - Solución: Llamemos S = n+1∑ k=1 (k + 1)(−3)k. Ahora multipliquemos S por (−3), quedándonos (−3)S = n+1∑ k=1 (k + 1)(−3)k+1 Ahora, restamos S con (−3)S S − (−3)S = n+1∑ k=1 (k + 1)(−3)k − (k + 1)(−3)k+1 = n+1∑ k=1 k(−3)k − (k + 1)(−3)k+1︸ ︷︷ ︸ Propiedad telescopica + n+1∑ k=1 (−3)k︸ ︷︷ ︸ Geometrica = (−3− (n + 2)(−3)n+2) + (−3)− (−3) n+2 4 ⇒ 4S = [ (−3− (n + 2)(−3)n+2) + (−3)− (−3) n+2 4 ] ⇒ S = 1 4 [ (−3− (n + 2)(−3)n+2) + (−3)− (−3) n+2 4 ] 4. Calcule n+1∑ k=2 k + 2 k(k + 1) ( 1 2 )k - Solución: Primero, usaremos fracciones parciales para separar la expresión k+2k(k+1) , del siguiente modo: k + 2 k(k + 1) = A k + B k + 1 = A(k + 1) + B k(k + 1) = K(A + B) + A k(k + 1) Por lo que concluimos, que A = 2 y B = −1, por lo tanto la suma nos queda: n+1∑ k=2 k + 2 k(k + 1) ( 1 2 )k = n+1∑ k=2 ( 2 k − 1 k + 1 )( 1 2 )k = n+1∑ k=2 ( 1 k2k−1 − 1 (k + 1)2k ) ︸ ︷︷ ︸ Propiedad Telescopica = 1 4 − 1 2n+1(n + 2) 2 5. Calcular la suma de los n primeros términos de la sucesión 3, 18, 57, 132, 255, 438, 693, ... - Solución: Consideremos las siguientes sucesiones: a1 = 3 a2 = 18 a3 = 57 a4 = 132 a5 = 255 a6 = 438 a7 = 693 Luego, b1 = a2 − a1 = 15 b2 = a3 − a2 = 39 b3 = a4 − a3 = 75 b4 = a5 − a4 = 123 b5 = a6 − a5 = 183 b6 = a7 − a6 = 255 Y por último, c1 = b2 − b1 = 24 c2 = b3 − b2 = 36 c3 = b4 − b3 = 48 c4 = b5 − b4 = 60 c5 = b6 − b5 = 72 Ahora, como vemos que la sucesión de los {ci}5i=1 es de la forma ci = bi+1− bi, llegamos fácilmente a que bi+1− bi = 12(i+1). Por otro lado, tenemos que la sucesión bi+1 = ai+2−ai+1, por lo tanto, finalmente tenemos: ai+2 − ai+1 − (ai+1 − ai) = 12(i + 1) ai+2 − ai = 12i + 12 n−2∑ i=1 (ai+2 − ai+1)− n−2∑ i=1 (ai+1 − ai) = n−2∑ i=1 12i + 12 an − an−1 − a2 + a1 = 12(n− 1)(n− 2) 2 + 12(n− 2) 3 Por lo tanto, aplicando nuevamente suma, nos queda: n∑ i=1 (ai − ai−1) = n∑ i=1 12(i− 1)(i− 2) 2 + 12(i− 2) + 15 an = ( n∑ i=1 12(i− 1)(i− 2) 2 + 12(i− 2) + 15 ) + 3 Con lo que concluye el problema. 6. Los 12 números de un reloj de pared se desprendieron, y al colocarlos la persona no sabia como colocarlos, por ende cometió algunos errores. Demuestre que existe por lo menos un número que al sumarle los dos números que quedaron a sus lados, se obtiene un resultado igual o mayor que 20. - Solución: Sea el número {ai}, el que quedo en la posición i con i ∈ [1, 12] y considere las siguientes 12 sumas: S1 = a12 + a1 + a2, S2 = a1 + a2 + a3, . . . , S12 = a11 + a12 + a1 Es fácil darse cuenta que cada ai se repite 3 veces considerando las 12 sumas , es decir: 12∑ i=1 Si = 12∑ i=1 3(ai) Ahora como vemos, la suma de los 12 ai no es mas que la suma de los números del 1 al 12, por lo tanto: 12∑ i=1 3(ai) = 3 · 12 · 13 2 = 234 Y como lo que hicimos fue sumar los 12 trios posibles, ahora dividimos nuestro resultado en 12, resultando 19 y resto de 6. Por lo tanto, para algún Si la suma da más de 20. � 4
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