Ayudanta 5 - Galasso

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Ayudant́ıa Lunes 3 de Septiembre
Ayudante: Bastián Galasso D.
1. Calcule
n∑
k=1
sin(kθ)
- Solución:
Definamos Sn =
n∑
k=1
sin(kθ), y multipliquemos Sn por −2 sin
(
θ
2
)
, y nos queda:
−2 sin
(
θ
2
)
Sn = −2 sin
(
θ
2
) n∑
k=1
sin(kθ)
=
n∑
k=1
−2 sin (kθ) sin
(
θ
2
)
Usando la identidad −2 sin(kθ) sin
(
θ
2
)
= cos
(
θ
2 (2k + 1)
)
− cos
(
θ
2 (2k11)
)
, nos queda:
−2 sin
(
θ
2
)
Sn =
n∑
k=1
cos
(
θ
2
(2k + 1)
)
− cos
(
θ
2
(2k11)
)
︸ ︷︷ ︸
Propiedad Telescopica
= cos
(
θ
2
(2n + 1)
)
− cos
(
θ
2
)
⇒ Sn =
cos
(
θ
2 (2n + 1)
)
− cos
(
θ
2
)
−2 sin
(
θ
2
)
2. Calcular
n∑
k=1
(
n
k
)
(a + bk).
- Solución:
Primero separaremos las sumas, de la siguiente manera
n∑
k=1
(
n
k
)
(a + bk) =
n∑
k=1
(
n
k
)
a︸ ︷︷ ︸
(1)
+
n∑
k=1
(
n
k
)
bk︸ ︷︷ ︸
(2)
Ahora calcularemos (1),
n∑
k=1
(
n
k
)
a = a
n∑
k=1
(
n
k
)
= a
[
n∑
k=0
(
n
k
)
− 1
]
= a(2n − 1)
1
Y ahora vamos por (2)
n∑
k=1
(
n
k
)
bk = b
n∑
k=1
(
n
k
)
k
= bn
n∑
k=1
(
n− 1
k − 1
)
= bn
n−1∑
k=0
(
n− 1
k
)
= bn2n−1
Por lo tanto, la suma buscada es
n∑
k=1
(
n
k
)
(a + bk) = a(2n − 1) + bn2n−1
3. Encontrar los n ∈ N tal que (x2 − x)(x + 1)n no tenga x10 en su desarrollo.
- Solución:
Partiremos dando los casos triviales, para luego encontrar si es que existen, los casos no triv-
iales.
Los triviales son: n = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Ahora busquemos los nos triviales, viendo el desarrollo del binomio en cuestión.
(x2 − x)(x + 1)n = (x2 − x)
n∑
k=0
(
n
k
)
xk =
n∑
k=0
(
n
k
)
xk+2︸ ︷︷ ︸
(∗)
−
n∑
k=0
(
n
k
)
xk+1︸ ︷︷ ︸
(∗∗)
De (∗) podemos ver que el único caso donde tenemos x10 es cuando k = 8 y del mismo modo, en
(∗∗) vemos que la única opción es k = 9. Por lo tanto podemos ver que para que la condición de
no tener x10 en el desarrollo es lo que se muestra a continuación
(
n
8
)
−
(
n
9
)
= 0(
n
8
)
=
(
n
9
)
n!
(n− 8)!8!
=
n!
(n− 9)!9!
9 = n− 8
n = 17
Luego, los n que buscábamos son n = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 17}.
2
4. Encontrar el coeficiente que se repite en dos potencias consecutivas de (3x + 2)19.
- Solución:
Viendo el desarrollo de binomio, nos queda
(3x + 2)19 =
19∑
k=0
(
19
k
)
(3x)k219−k
Y como necesitamos dos potencias consecutivas, es decir xk y xk+1, nos queda que
(
19
k
)
3k2192−k =
(
19
k + 1
)
3k+12192−(k+1)
2 · 19!
(19− k)!k!
= 3 · 19!
(19− k − 1)!(k + 1)!
2(k + 1)
(19− k)!
=
3
(18− k)!
2(k + 1) = 3(19− k)
2k + 2 = 57− 3x
5k = 55
k = 11
Por lo tanto, el termino que se repite en 2 potencias consecutivas es
(
19
11
)
31128.
5. Encontrar el coeficiente de x−20 en el desarrollo de (x4 − 1x2 )
16(x2 + 1)6
- Solución:
Escribiendo el desarrollo nos queda
[
16∑
k=0
(
16
k
)
(x4)16−k
(
−1
x2
)k] [ 6∑
i=0
(
6
i
)
(x2)i
]
⇒
16∑
k=0
6∑
i=0
(
16
k
)(
6
i
)
(x4)16−k
(
−1
x2
)k
(x2)i
⇒
16∑
k=0
6∑
i=0
(
16
k
)(
6
i
)
x64−4k(−1)kx−2kx2i
⇒
16∑
k=0
6∑
i=0
(
16
k
)(
6
i
)
x64−6k+2i(−1)k
Y como queremos encontrar el término a la -20, entonces nos queda:
64− 6k + 2i = −20
32− 3k + i = −10
i = 3k − 42
3
Y con la condición de que 0 ≤ k ≤ 16 y 0 ≤ i ≤ 6, podemos deducir fácilmente que los valores que
nos sirven de k e i son {14 y 0, 15 y 3, 16 y 6} respectivamente. Por lo tanto, el coeficiente buscado
es (
16
14
)(
6
0
)
−
(
16
15
)(
6
3
)
+
(
16
16
)(
6
6
)
= 120− 320 + 1 = −199
Problemas Propuestos:
1. Encuentre el término libre de (2x + 1)(1 + 2x )
70.(Respuesta: 281)
2.Determinar el valor de la constante c, de modo que el coeficiente de x4y8 en el desarrollo de
(2x3 − 4y)12(cxy + 1x2 )
7 sea 25.
(Respuesta: c =
−25
225
(
7
1
)(
12
7
) ).
4