Ayudanta 8 - Galasso

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Ayudant́ıa Miércoles 3 Octubre
Nombre: Bastián Galasso D.
1. Calcular el siguiente ĺımite:
ĺım
x→0
sin2(3x)√
1 + x sin(x)− cos(x)
Solución:
ĺım
x→0
sin2(3x)√
1 + x sin(x)− cos(x)
= ĺım
x→0
sin2(3x)(
√
1 + x sin(x) + cos(x))
1 + x sin(x)− cos2(x)
= ĺım
x→0
sin2(3x)
9x2 · 9
sin(x)
x +
sin2(x)
x2
(
√
1 + x sin(x) + cos(x))
= 9 · 1
1 + 1
· (1 + 1)
= 9
�
2. Calcular el limite:
ĺım
x→1
x
1
1−x
Solución:
- Usaremos un cambio de variables conveniente, digamos u = 1− x, entonces cuando
x→ 1 tenemos que u → 0, Por lo tanto, el limite nos queda:
ĺım
u→0
(1− u) 1u = e−1
�
3. Calcular el limite:
ĺım
x→0
xx
Solución:
- Usaremos un cambio de variables conveniente, digamos t = 1x , entonces cuando
x→ 0 tenemos que t →∞, Por lo tanto, el limite nos queda:
ĺım
t→∞
(
1
t
) 1
t
= ĺım
t→∞
1
t
1
t
= 1
�
1
4. Calcular el limite:
ĺım
x→π2
(
x
cot(x)
− π
2 cos(x)
)
Solución:
ĺım
x→π2
x
cot(x)
− π
2 cos(x)
= ĺım
x→π2
x
cot(x)
− π
2 cos(x)
= ĺım
x→π2
2x sin(x)− π
2 cos(x)
Usando un cambio de variable conveniente, digamos u = x − π/2, entonces cuando
x→ π/2 entonces u → 0, luego, el limite nos queda:
ĺım
x→π2
2x sin(x)− π
2 cos(x)
= ĺım
u→0
(
(2u + π) sin(u + π/2)− π
2 cos(u + π/2)
)
= ĺım
u→0
(
(2u + π) cos(u)− π
−2 sin(u)
)
= ĺım
u→0
(
(−u) cos(u)
sin(u)
+ π · 1− cos(u)
2 sin(u)
)
= ĺım
u→0
(
(−u) cos(u)
sin(u)
+ u · π
2
· 1− cos(u)
u2
u
sin(u)
)
= −1
�
5. Calcular el limite:
ĺım
x→1
(1− x) tan(π
2
x)
Solución:
ĺım
x→1
(1− x) tan(π
2
x) = ĺım
x→1
(1− x)
cos(π2 x)
sin(
π
2
x)
= ĺım
x→1
2
π
π
2 (1− x)
sin(π2 (1− x))
sin(
π
2
x)
=
2
π
�
6. Calcular el limite:
ĺım
x→π2
√
1 + cos(2x)
π
2 − x
Solución:
ĺım
x→π2
√
1 + cos(2x)
π
2 − x
= ĺım
x→π2
√
1 + cos2(x)− sin2(x)
π
2 − x
= ĺım
x→π2
√
2 cos2(x)
π
2 − x
2
= ĺım
x→π2
√
2 cos(x)
π
2 − x
= ĺım
x→π2
√
2 sin(π2 − x)
π
2 − x
=
√
2
�
Problema Preguntado en ayudant́ıa:
Aqúı la solución de un problema preguntado en ayudant́ıa por uno de sus compañeros.
Calcular el limite:
ĺım
x→0
√
x2 + p2 − p√
x2 + q2 − q
Solución:
ĺım
x→0
√
x2 + p2 − p√
x2 + q2 − q
= ĺım
x→0
√
x2 + p2 − p√
x2 + q2 − q
·
√
x2 + p2 + p√
x2 + p2 + p
·
√
x2 + q2 + q√
x2 + q2 + q
= ĺım
x→0
x2 + p2 − p2
x2 + q2 − q2
·
√
x2 + q2 + q√
x2 + p2 + p
= ĺım
x→0
x2
x2
·
√
x2 + q2 + q√
x2 + p2 + p
= ĺım
x→0
√
x2 + q2 + q√
x2 + p2 + p
=
2q
2p
=
q
p
�
3