Ayudanta 8 - Vargas

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CÁLCULO 1-MAT1503
Ayudant́ıa 8
Rodrigo Vargas
1. Demuestre que para todo n ∈ N se tiene que (22n − 3n− 1) es divible
por 9
Solución: Válido para n = 1
p(1) : (22n − 3n− 1)
∣∣
n=1
= 22 − 3− 1 = 0 = 9 · 0
Ahora, debemos probar que si suponemos que P es válida para el
número n, entonces se tiene que P también es válida para n + 1, en
forma abreviada si P (n) ⇒ P (n + 1).
Nuestra hipótesis de inducción es:
P (n) : 22n − 3n− 1 = 9r para algún r ∈ Z
Por demostrar:
P (n) : 22(n+1) − 3(n + 1)− 1 = 9k para algún k ∈ Z
En Efecto,
22(n+1) − 3(n + 1)− 1 = 22 · 22n − 3n− 3− 1
= (3 + 1) · 22n − 3n− 3− 1
= (22n − 3n− 1) + 3 · 22n − 3
= 9r + 3 · 22n − 3
Utilizaremos nuevamente la inducción para probar que 3 · 22n − 3 es
divisible por 9. Para P (1) se tiene
(3 · 22n − 3)
∣∣
n=1
= 3 · 22 − 3 = 9 = 9 · 1
es decir es válida para n = 1. Ahora P (n) ⇒ P (n+1). Nuestra h̀ıpótesis
inductiva es
P (n) : 3 · 22n − 3 = 9u para algún u ∈ Z
Por demostrar que
P (n + 1) : 3 · 22(n+1) − 3 = 9w para algún w ∈ Z
1
Luego, tenemos
3 · 22(n+1) − 3 = 3 · 22 · 22n − 3
= 3(3 + 1) · 22n − 3
= 3 · 22n − 3 + 9 · 22n
= 9u + 9 · 22n
= 9 (u + 22n)︸ ︷︷ ︸
s
= 9s
con s ∈ Z. Por lo tanto para todo número natural 3 · 22n es divisible
por 9. Regresando, teniamos que
22(n+1) − 3(n + 1)− 1 = 9r + 3 · 22n − 3 = 9r + 9s = 9(r + s) = 9k
esto concluye la demostración.
2. Demuestre que para todo n ∈ N y r fijo con r 6= 1 se tiene que
1 + r + r2 + ... + rn−1 =
rn − 1
r − 1
Solución: Veamos si la propiedad P es válida para el número 1
P (1) :
(
rn − 1
r − 1
)∣∣∣∣
n=1
=
(
r − 1
r − 1
)
= 1
Ahora, debemos probar que si suponemos que P es válida para el
número n, entonces se tiene que P también es válida para n + 1, en
forma abreviada si P (n) ⇒ P (n + 1).
Nuestra hipótesis de inducción
P (n) : 1 + r + r2 + ... + rn−1 =
rn − 1
r − 1
Por demostrar que
P (n + 1) : 1 + r + r2 + ... + rn−1 + rn =
rn+1 − 1
r − 1
Entonces,
1 + r + r2 + ... + rn−1 + rn =
rn − 1
r − 1
+ rn (hip. inductiva)
=
rn − 1 + rn(r − 1)
r − 1
=
rn − 1 + rn+1 − rn
r − 1
=
rn+1 − 1
r − 1
2
Entonces, P es válida para todos los números naturales.
3. Demuestre la desigualdad de Bernoulli: Para todo n ∈ N se tiene
(1 + x)n ≥ 1 + nx
para todo x ≥ −1
Solución: Veamos si la propiedad P es válida para el número 1
P (1) :
(1 + x)n|n=1 = 1 + x
(1 + nx)|n=1 = 1 + x
}
⇒ (1 + x)n|n=1 ≥ (1 + nx)|n=1
Ahora, si P (n) ⇒ P (n + 1).
Nuestra hipótesis de inducción
P (n) : (1 + x)n ≥ 1 + nx para todo x ≥ −1
Por demostrar que
P (n + 1) : (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x para todo x ≥ −1
En efecto, si P (n) es cierta entonces tenemos que
(1 + x)n ≥ 1 + nx para todo x ≥ −1
multiplicando ambos lados por (1 + x) ≥ 0, obtenemos
(1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) (1)
y note que
(1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x (2)
La última desigualdad se debe al hecho que como nx2 ≥ 0 entonces
1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x. Entonces por transitividad de (1) y
(2) obtenemos que
(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x para todo x ≥ −1
como queriamos probar.
4. Demuestre que para todo n ∈ N se tiene que
2n ≥ 1 + n
3
Solución: Podriamos probar esto utilizando inducción, pero podemos
hacerlo de manera directa utilizando la desigualdad de Bernoulli de-
mostrada en el problema previo. Sabemos que para todo n ∈ N se tiene
que (1 + x)n ≥ 1 + nx para todo x ≥ −1. En particular, para x = 1
obtenemos
(1 + x)n|x=1 = (1 + 1)
n = 2n ≥ (1 + nx)|x=1 = 1 + n
es decir, 2n ≥ 1 + n para todo n ∈ N
5. Demuestre que para todo n ∈ N se tiene que
1 + 2 · 2 + 3 · 22 + ... + n2n−1 = 1 + (n− 1)2n
Solución: Veamos si la propiedad P es válida para el número 1
P (1) : (1 + (n− 1)2n)|n=1 = 1
Ahora, debemos probar que si suponemos que P es válida para el
número n, entonces se tiene que P también es válida para n + 1, en
forma abreviada si P (n) ⇒ P (n + 1).
Nuestra hipótesis de inducción
P (n) : 1 + 2 · 2 + 3 · 22 + ... + n2n−1 = 1 + (n− 1)2n
Por demostrar que
P (n + 1) : 1 + 2 · 2 + 3 · 22 + ... + n2n−1 + (n + 1)2n = 1 + n2n+1
Entonces,
1 + 2 · 2 + 3 · 22 + ... + n2n−1 + (n + 1)2n = 1 + (n− 1)2n + (n + 1)2n
= 1 + n2n − 2n + n2n + 2n
= 1 + 2 · n2n
= 1 + n2n+1
Entonces, P es válida para todos los números naturales.
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