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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Robert Auffarth 1. Demuestre que ∀a, b ∈ R+ con a 6= b, a2 + b2 + 1 > ab + a + b Demostración Primero, vamos a demostrar un lema: Lema 0.1 ∀a, b, c ∈ R+ tal que a 6= b 6= c, a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac. Demostración: Sabemos que (a− b)2 > 0, lo cual implica que a2 + b2 > 2ab. De la misma manera vemos que (b− c)2 > 0 =⇒ b2 + c2 > 2bc (a− c)2 > 0 =⇒ a2 + c2 > 2ac Si sumamos las tres desigualdades, se siguen cumpliendo, pues cada término es mayor que cero. Quedamos con 2a2 + 2b2 + 2c2 > 2ab + 2bc + 2ac =⇒ a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac, lo cual demuestra el lema. 2 Para demostrar el ejercicio, elegimos c = 1, y se tiene que a2 + b2 + 1 > ab + a + b, lo cual demuestra lo pedido. 2 1
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