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Ayudantia - Auffarth

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS
Robert Auffarth
1. Demuestre que ∀a, b ∈ R+ con a 6= b,
a2 + b2 + 1 > ab + a + b
Demostración Primero, vamos a demostrar un lema:
Lema 0.1 ∀a, b, c ∈ R+ tal que a 6= b 6= c,
a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac.
Demostración: Sabemos que (a− b)2 > 0, lo cual implica que a2 + b2 > 2ab. De la misma
manera vemos que
(b− c)2 > 0 =⇒ b2 + c2 > 2bc
(a− c)2 > 0 =⇒ a2 + c2 > 2ac
Si sumamos las tres desigualdades, se siguen cumpliendo, pues cada término es mayor que
cero. Quedamos con
2a2 + 2b2 + 2c2 > 2ab + 2bc + 2ac
=⇒ a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac,
lo cual demuestra el lema.
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Para demostrar el ejercicio, elegimos c = 1, y se tiene que
a2 + b2 + 1 > ab + a + b,
lo cual demuestra lo pedido.
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