Ayudanta 1 - Auffarth

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CÁLCULO I
Robert Auffarth
AYUDANTIA 1
Axiomas de los Números Reales: Para todo a, b, c ∈ R,
i. a + (b + c) = (a + b) + c (Asociatividad)
ii. Existe un elemento “0”tal que 0 + a = a + 0
iii. Para cada a existe un elemento −a tal que a + (−a) = 0
iv. a + b = b + a (Conmutatividad)
v. a · (b · c) = (a · b) · c (Asociatividad)
vi. Existe un elemento “1”tal que a · 1 = 1 · a = a
vii. Si a 6= 0, existe un elemento a−1 tal que a−1 · a = 1
viii. a · b = b · a (Conmutatividad)
ix. a · (b + c) = a · b + a · c
Axiomas de Orden:
i. Existe un conjunto no vaćıo P tal que para cada x ∈ R, una y sólo una de las siguientes
afirmaciones es verdadera:
a. x = 0
b. x ∈ P
c. −x ∈ P
ii. Si a, b ∈ P entonces a + b ∈ P
iii. Si a, b ∈ P entonces a · b ∈ P
En este caso, P = R+
Axiomas de Campo:
i. R es cerrado
ii. + es conmutativa
iii. + es asociativa
iv. Existe un neutro (identidad) para + (0)
v. Existe un inverso aditivo de a ∈ R (−a)
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Ejercicios:
1. Si a > b y c > d, demuestre que a + c > b + d.
Demostración Como a > b y c > d, entonces a− b ∈ P y c− d ∈ P . Por el segundo
axioma de orden, (a− b) + (c− d) ∈ P . Por el axioma de la asociatividad, podemos
decir entonces que (a + c)− (b + d) ∈ P . Es decir, a + c > b + d.
2. Demuestre que para todo a ∈ R, a · 0 = 0.
Demostración
(a · 0) + (a · 0) = a(0 + 0) = a · 0
=⇒ a · 0 + a · 0 = a · 0
=⇒ −a · 0 + a · 0 + a · 0 = −a · 0 + a · 0
=⇒ a · 0 = 0
3. Demuestre que 1 > 0.
Demostración Supongamos que 1 < 0, y entonces −1 ∈ R+. Ahora, (−1) · (−1) =
1 ∈ R+ por los axiomas de orden (=⇒⇐=).
4. Demuestre que si (x > 0 ∧ x < y) → 1x >
1
y .
Demostración Debemos demostrar que 1x −
1
y ∈ R
+, es decir y−xxy ∈ R
+.
Sabemos que y ∈ R+, pues por el enunciado y−x ∈ R+ y x ∈ R+, y por el axioma de
orden ii., (y− x) + x = y− x + x = y ∈ R+. No es dif́ıcil de demostrar que si x ∈ R+,
entonces 1x ∈ R. Esa demostración se la dejo a ustedes.
Entonces, podemos decir que 1x y
1
y están en R
+, y por el axioma de orden iii. 1xy ∈
R+. Usando el mismo argumento, como y − x ∈ R+, entonces y−xxy ∈ R
+, y queda
demostrado.
5. Demuestre que para todo x, y ∈ R, |x + y| ≤ |x|+ |y|.
Demostración Sabemos por las propiedades del valor absoluto que se cumple que
−|x| ≤ x ≤ |x|, y que −|y| ≤ y ≤ |y|. Sumando estas dos desigualdades, quedamos
con que −(|x|+ |y|) ≤ x+ y ≤ |x|+ |y|. Ahora sea a = x+ y, y b = |x|+ |y|. Tenemos
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que −b ≤ a ≤ b. Existe otra propiedad que nos dice que como −b ≤ a ≤ b, entonces
|a| ≤ b. Por lo tanto |x + y| ≤ |x|+ |y|.
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