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Ayudanta 1

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemática
Primer Semestre de 2008
Ayudant́ıa 1
Números Reales
Ejercicio 1. ¿Para qué enteros k es cierto que si m2 es múltiplos de k también lo es m?
Ejercicio 2. Diseñe una forma de obtener directamente el número m/n sobre la recta
numérica usando regla y compás, pero sin pasar primero por 1/n.
Ejercicio 3. Caracterizar todos los enteros n tales que el número racional 1/n tiene una
representación decimal finita.
Ejercicio 4. Demuestre que el inverso aditivo de x ∈ R es único.
Ejercicio 5. Escribir como unión de intervalos el siguiente conjunto de números reales y
graficar el resultado.
{x ∈ R : (x > 1 & x ≥ 3) o (x < 0 & x ≥ 5) o (x ≤ 1)}
Ejercicio 6. Demuestre que si a · b = 0 entonces a = 0 o bien b = 0.
Ejercicio 7. Demuestre que si a > 0, b > 0, a 6= b entonces
a
b
+
b
a
> 2
Ejercicio 8. Si x e y son números reales positivos con x 6= y, entonces pruebe que
1
x
+
1
y
>
2
x + y
Ejercicio 9. Demuestre que si a > 0 entonces
a +
1
a
≤ a3 + 1
a3
Ejercicio 10. Demuestre que si a, b son números reales positivos y distintos, entonces:
a3 + b3 > a2b + ab2.
Ejercicio 11. Demuestre que si a, b, c y d son números reales positivos y distintos tales
que a + b + c + d = s, entonces:
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) > 81 abcd
2
Solución 1. Supongamos que k = p un número primo. Como m es un entero positivo,
luego
m = pn1
1
· pn2
2
· · · pnNN
es su descomposición en números primos. Si p|m2 entonces existe 1 ≤ i ≤ N tal que p|p2nii .
Como p y pi son números primos, se debe satisfacer que pi = p, con lo que se deduce la
demostración en el caso que k = p es primo.
Razonamiento análogo se puede hacer para k producto de primos (donde cada pri-
mo está elevado a la potencia 0 o 1). Este resultado no se puede seguir extendiendo al
considerar el siguiente ejemplo: sea k = 4 y m = 6.
Solución 2. Por Tales y la figura que presenta a continuación se determina una manera
gráfica para encontrar el racional m/n.
m
n
m
m · n
m
Solución 3. Si n es un entero tal que x = 1/n tiene expresión decimal finita, entonces
existe N y a1, a2, . . . , aN ∈ {0, 1, . . . , 9} tales que
1
n
= 0, a1a2 . . . aN =
N
∑
k=1
ak
10k
Es inmediato que al multiplicar 1/n por 10N obtenemos un número natural, más aun se
puede afirmar que dicho número está dado por
10N
n
= a1a2 . . . aN
concluyendo aśı que n debe ser un divisor de 10N . Más expĺıcitamente n = 2i · 5j con
i, j ∈ N.
Solución 4. Sea x un número real y supondremos que existen a y b números reales
diferentes tales que x + a = 0 y x + b = 0. Como el cero (0) es único se tiene
x + a = x + b / + b
(x + b) + a = (x + b) + b
0 + a = 0 + b
a = b
3
Solución 5. El primer conjunto está dado por [3,∞), el segundo es vaćıo y el tercero
está dado por (−∞, 1]. De este modo el conjunto que buscamos está dado por [3,∞) ∪
(−∞, 1].
Solución 6. Suponer que ambos son distintos de cero pero su producto es cero, eso da
una contradicción que termina por demostrar el ejercicio.
Solución 7. Si a 6= b entonces (a− b)2 > 0, de donde se deduce la desigualdad a2 − b2 >
2ab. El resto sigue de dividir por el número positivo ab.
Solución 8. A partir de la desigualdad 2
√
xy = x + y se puede deducir que
2
1
x
+ 1
y
=
2xy
x + y
≤ √xy
≤ x + y
2
≤ x + y
de donde se deduce lo que deseamos demostrar (la última desigualdad es cierta gracias a
que x, y son número positivos).
Solución 9. Consideremos la siguiente identidad
x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
luego
a3 +
1
a3
=
(
a +
1
a
) (
a2 − 1 + 1
a2
)
> a +
1
a
dado que a2 + 1/a2 > 2 y a > 0.
Solución 10. Si a, b son reales positivos y diferentes, entonces
(a + b)(a − b)2 > 0
(a2 − b2)(a − b) > 0
a3 − ab2 − a2b + b3 > 0
de donde se concluye la demostración.
Solución 11. Sean x1, x2 y x3 reales positivos. Luego,
x1 + x2 + x3
3
> 3
√
x1x2x3
De este modo,
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
34
> 3
√
(bcd)(acd)(abd)(abc) =
3
√
abcd

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