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Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas Departamento de Matemática Primer Semestre de 2008 Ayudant́ıa 1 Números Reales Ejercicio 1. ¿Para qué enteros k es cierto que si m2 es múltiplos de k también lo es m? Ejercicio 2. Diseñe una forma de obtener directamente el número m/n sobre la recta numérica usando regla y compás, pero sin pasar primero por 1/n. Ejercicio 3. Caracterizar todos los enteros n tales que el número racional 1/n tiene una representación decimal finita. Ejercicio 4. Demuestre que el inverso aditivo de x ∈ R es único. Ejercicio 5. Escribir como unión de intervalos el siguiente conjunto de números reales y graficar el resultado. {x ∈ R : (x > 1 & x ≥ 3) o (x < 0 & x ≥ 5) o (x ≤ 1)} Ejercicio 6. Demuestre que si a · b = 0 entonces a = 0 o bien b = 0. Ejercicio 7. Demuestre que si a > 0, b > 0, a 6= b entonces a b + b a > 2 Ejercicio 8. Si x e y son números reales positivos con x 6= y, entonces pruebe que 1 x + 1 y > 2 x + y Ejercicio 9. Demuestre que si a > 0 entonces a + 1 a ≤ a3 + 1 a3 Ejercicio 10. Demuestre que si a, b son números reales positivos y distintos, entonces: a3 + b3 > a2b + ab2. Ejercicio 11. Demuestre que si a, b, c y d son números reales positivos y distintos tales que a + b + c + d = s, entonces: (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) > 81 abcd 2 Solución 1. Supongamos que k = p un número primo. Como m es un entero positivo, luego m = pn1 1 · pn2 2 · · · pnNN es su descomposición en números primos. Si p|m2 entonces existe 1 ≤ i ≤ N tal que p|p2nii . Como p y pi son números primos, se debe satisfacer que pi = p, con lo que se deduce la demostración en el caso que k = p es primo. Razonamiento análogo se puede hacer para k producto de primos (donde cada pri- mo está elevado a la potencia 0 o 1). Este resultado no se puede seguir extendiendo al considerar el siguiente ejemplo: sea k = 4 y m = 6. Solución 2. Por Tales y la figura que presenta a continuación se determina una manera gráfica para encontrar el racional m/n. m n m m · n m Solución 3. Si n es un entero tal que x = 1/n tiene expresión decimal finita, entonces existe N y a1, a2, . . . , aN ∈ {0, 1, . . . , 9} tales que 1 n = 0, a1a2 . . . aN = N ∑ k=1 ak 10k Es inmediato que al multiplicar 1/n por 10N obtenemos un número natural, más aun se puede afirmar que dicho número está dado por 10N n = a1a2 . . . aN concluyendo aśı que n debe ser un divisor de 10N . Más expĺıcitamente n = 2i · 5j con i, j ∈ N. Solución 4. Sea x un número real y supondremos que existen a y b números reales diferentes tales que x + a = 0 y x + b = 0. Como el cero (0) es único se tiene x + a = x + b / + b (x + b) + a = (x + b) + b 0 + a = 0 + b a = b 3 Solución 5. El primer conjunto está dado por [3,∞), el segundo es vaćıo y el tercero está dado por (−∞, 1]. De este modo el conjunto que buscamos está dado por [3,∞) ∪ (−∞, 1]. Solución 6. Suponer que ambos son distintos de cero pero su producto es cero, eso da una contradicción que termina por demostrar el ejercicio. Solución 7. Si a 6= b entonces (a− b)2 > 0, de donde se deduce la desigualdad a2 − b2 > 2ab. El resto sigue de dividir por el número positivo ab. Solución 8. A partir de la desigualdad 2 √ xy = x + y se puede deducir que 2 1 x + 1 y = 2xy x + y ≤ √xy ≤ x + y 2 ≤ x + y de donde se deduce lo que deseamos demostrar (la última desigualdad es cierta gracias a que x, y son número positivos). Solución 9. Consideremos la siguiente identidad x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) luego a3 + 1 a3 = ( a + 1 a ) ( a2 − 1 + 1 a2 ) > a + 1 a dado que a2 + 1/a2 > 2 y a > 0. Solución 10. Si a, b son reales positivos y diferentes, entonces (a + b)(a − b)2 > 0 (a2 − b2)(a − b) > 0 a3 − ab2 − a2b + b3 > 0 de donde se concluye la demostración. Solución 11. Sean x1, x2 y x3 reales positivos. Luego, x1 + x2 + x3 3 > 3 √ x1x2x3 De este modo, (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) 34 > 3 √ (bcd)(acd)(abd)(abc) = 3 √ abcd
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