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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Segundo Semestre 2009. MAT 1610 ∗ GUIA N◦3.2 Derivadas II Problemas del texto gúıa. (Edición 2002) Sección 3.2: 1− 26 , 31− 36 Sección 3.5: 1− 42 , 39− 45 Sección 3.6: 1− 30 , 65− 68 Problemas adicionales. 1. Calcule la derivada de f(x) usando la Regla de la Cadena. Simplifique. a) f(x) = √ 1− x 1 + x b) f(x) = x√ 1− x2 c) f(x) = sen ( x x− 1 ) d) f(x) = sen x− x cos x cos x + x sen x e) f(x) = √ x + √ x + √ x + √ x h) f(x) = ( x2 + 1 x3 + 4 )1/5 i) f(x) = √ sen (x3 − 1) + x j) f(x) = arc sen ( tg(x) + x ) j) f(x) = √ 1− (arc sen x)2 2. Cada una de las siguientes ecuaciones define a y = f(x) como función impĺıcita de x, usando ésto determine en cada caso dy dx a) y + cos 3x = xy b) x + xy = 2 c) x2 25 − y 2 16 = 1 d) y2 = x y + x e) x2 y3 = 1 3. La ecuación x sen(x y) + 2x2 = 0 , define a y = f(x) como función impĺıcita de x, demuestre que y satisface la ecuación diferencial: y ′ x2 cos(xy) + 4x + xy cos(xy) + sen(xy) = 0 4. Determine una expresión para la derivada de orden n, (n ∈ N) de las siguientes funciones: a) f(x) = sen(x) b) f(x) = 1 x + 1 c) f(x) = x x + 1 d) f(x) = (1 + x)n cos(x) e) f(x) = x20 sen(x) 5. Determine los valores de y ′, y ′′ e y ′′′, en el punto (4, 3) sobre la circunferencia x2 + y2 = 25 6. Dada la función f(x) = x3 + 5x2 − 3x + 2 . Determine (f−1) ′(9) 7. Sea f(x) = x3 − 3x2 − 1 , x ≥ 2 . Determine (f−1) ′(−1). 8. Sea f(x) es una función derivable e invertible, y tal que la recta tangente a f en (2, 4) tiene pendiente 1 3 . Calcule (f−1) ′(4). 9. Usando la derivada de la función inversa, calcule en cada caso la derivada de a) f(x) = Arctg( √ x) b) f(x) = Arcsen ( 3x 4 ) 10. Dada f(x) = x · √ 1− x2 + Arcsen(x) a) Calcule f ′(x) b) Determine k ∈ R tal que f ′(x)√ 1− x2 = k 11. a) Demuestre que la función f(x) = sen(x) + (x2 + a) cos(x) , a constante, es solución de la Ecuación Diferencial: dy dx + y tg(x) = sec(x) + 2 x cos(x) b) Demuestre que la función f(x) = tg ( √ 1− x2)+a , a constante, es solución de la Ecuación Diferencial: x (1 + y2) + √ 1− x2 dy dx = 0 c) Demuestre que la función f(x) = 2 sen(x)+cos(x) es solución de la Ecuación Diferencial: d2y dx2 + y = 0
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