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Guia 3 2

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segundo Semestre 2009.
MAT 1610 ∗ GUIA N◦3.2
Derivadas II
Problemas del texto gúıa. (Edición 2002)
Sección 3.2: 1− 26 , 31− 36
Sección 3.5: 1− 42 , 39− 45
Sección 3.6: 1− 30 , 65− 68
Problemas adicionales.
1. Calcule la derivada de f(x) usando la Regla de la Cadena. Simplifique.
a) f(x) =
√
1− x
1 + x
b) f(x) =
x√
1− x2
c) f(x) = sen
(
x
x− 1
)
d) f(x) =
sen x− x cos x
cos x + x sen x
e) f(x) =
√
x +
√
x +
√
x +
√
x
h) f(x) =
(
x2 + 1
x3 + 4
)1/5
i) f(x) =
√
sen (x3 − 1) + x
j) f(x) = arc sen ( tg(x) + x )
j) f(x) =
√
1− (arc sen x)2
2. Cada una de las siguientes ecuaciones define a y = f(x) como función impĺıcita de x, usando
ésto determine en cada caso
dy
dx
a) y + cos 3x = xy
b) x + xy = 2
c)
x2
25
− y
2
16
= 1
d) y2 =
x
y + x
e) x2 y3 = 1
3. La ecuación x sen(x y) + 2x2 = 0 , define a y = f(x) como función impĺıcita de x, demuestre
que y satisface la ecuación diferencial:
y ′ x2 cos(xy) + 4x + xy cos(xy) + sen(xy) = 0
4. Determine una expresión para la derivada de orden n, (n ∈ N) de las siguientes funciones:
a) f(x) = sen(x)
b) f(x) =
1
x + 1
c) f(x) =
x
x + 1
d) f(x) = (1 + x)n cos(x)
e) f(x) = x20 sen(x)
5. Determine los valores de y ′, y ′′ e y ′′′, en el punto (4, 3) sobre la circunferencia x2 + y2 = 25
6. Dada la función f(x) = x3 + 5x2 − 3x + 2 . Determine (f−1) ′(9)
7. Sea f(x) = x3 − 3x2 − 1 , x ≥ 2 . Determine (f−1) ′(−1).
8. Sea f(x) es una función derivable e invertible, y tal que la recta tangente a f en (2, 4) tiene
pendiente
1
3
. Calcule (f−1) ′(4).
9. Usando la derivada de la función inversa, calcule en cada caso la derivada de
a) f(x) = Arctg(
√
x)
b) f(x) = Arcsen
(
3x
4
)
10. Dada f(x) = x ·
√
1− x2 + Arcsen(x)
a) Calcule f ′(x)
b) Determine k ∈ R tal que f
′(x)√
1− x2
= k
11. a) Demuestre que la función f(x) = sen(x) + (x2 + a) cos(x) , a constante, es solución de la
Ecuación Diferencial:
dy
dx
+ y tg(x) = sec(x) + 2 x cos(x)
b) Demuestre que la función f(x) = tg (
√
1− x2)+a , a constante, es solución de la Ecuación
Diferencial:
x (1 + y2) +
√
1− x2 dy
dx
= 0
c) Demuestre que la función f(x) = 2 sen(x)+cos(x) es solución de la Ecuación Diferencial:
d2y
dx2
+ y = 0

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