Ayudanta 4 - Pato Peralta

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Ayudant́ıa 4 MAT1610 - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com
1. Determinar a, b ∈ R de modo que la siguiente función sea cont́ınua
f(x) =

sin(ax)−sin(bx)
x si x > 0
3 si x = 0
b
√
4x2+x3
x si x < 0
Respuesta: a = 3/2, b = −3/2
2. Estudie la f(x) es cont́ınua para n ∈ Z
f(x) =
[x] + [−x]
2
Respuesta: No es cont́ınua, pero el ĺımite śı existe.
3. Utilice el TVI para demostrar que, en un anillo circular, siempre existen dos puntos, opuestos el uno del otro, a una misma
temperatura. Asuma la temperatura cont́ınua.
Hint: Defina una función que implique diferencia de temperaturas.
4. Sea f : R→ R una función cont́ınua en x = 0, que además satisface
f(x + y) = f(x) + f(y)
Demuestre que f(x) es cont́ınua ∀x ∈ R
5. Sea
f(x)

x
[
1
x
]
+ a · sen(x)x si x < 0√
x− [x] + [x] si 0 ≤ x ≤ 1
bx ·
[
1
x
]
+
3
√
x−1
x−1 si x > 1
Determine a, b ∈ R tal que f(x) sea cont́ınua.
Respuesta: a = −1, y ∀b ∈ R la función no es cont́ınua en x = 1.
6. Demuestre que el polinomio p(x) = x3 + 3x2 − 1 tiene tres ráıces reales. Justifique su respuesta.
7. Determine el comportamiento asintótico de
f(x) =
x3
x2 − 1
8. Estudie la continuidad de la siguiente función cerca de x = 0
f(x)
 (1 + x)
2cosec(x)
si x 6= 0
e2 si x = 0
Respuesta: La función śı es cont́ınua
1