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Ayudanta 5 - Pato Peralta

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Ayudant́ıa 5 MAT1610 - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com
1. Determinar a, b ∈ R de modo que la siguiente función sea cont́ınua
f(x) =

x2√
1+x2−1 si x < 0
ax + b si 0 ≤ x ≤ 2
x−
√
x+2√
4x+1−3 si x > 2
Respuesta: b = 2, a = −7/16
2. Calcule el ĺımite de la siguiente sucesión
1
5n
·
(
2 +
1
n
)2n
·
n∑
k=1
k
n2
Respuesta: 0
3. Demuestre que si f : [a, b]→ R es cont́ınua tal que f(a) < a y f(b) > b, entonces existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = c.
4. Calcule todas las aśıntotas de la función
f(x) =
x4 − 1
x3 + 2x
Respuesta: x = 0, y = x
5. Sabiendo que
ĺım
n→∞
(
1 +
1
x
)x
= e
Calcule
ĺım
n→−∞
(
1 +
1
x
)x
Respuesta: e
a) ĺım
x→0
tan(3x) + 1− cos(x)
x
b) ĺım
x→0
tan(x)− sen(x)
sen3(x)
c) ĺım
x→ 12
−
|2x− 1|
(2x− 1) [2x− 1]
d) ĺım
h→0
ln(x + h)− ln(x)
h
con x constante
Respuesta: a) 3 b) 12 c) 1 d)
1
x
1

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