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Ayudant́ıa 5 MAT1610 - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com 1. Determinar a, b ∈ R de modo que la siguiente función sea cont́ınua f(x) = x2√ 1+x2−1 si x < 0 ax + b si 0 ≤ x ≤ 2 x− √ x+2√ 4x+1−3 si x > 2 Respuesta: b = 2, a = −7/16 2. Calcule el ĺımite de la siguiente sucesión 1 5n · ( 2 + 1 n )2n · n∑ k=1 k n2 Respuesta: 0 3. Demuestre que si f : [a, b]→ R es cont́ınua tal que f(a) < a y f(b) > b, entonces existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = c. 4. Calcule todas las aśıntotas de la función f(x) = x4 − 1 x3 + 2x Respuesta: x = 0, y = x 5. Sabiendo que ĺım n→∞ ( 1 + 1 x )x = e Calcule ĺım n→−∞ ( 1 + 1 x )x Respuesta: e a) ĺım x→0 tan(3x) + 1− cos(x) x b) ĺım x→0 tan(x)− sen(x) sen3(x) c) ĺım x→ 12 − |2x− 1| (2x− 1) [2x− 1] d) ĺım h→0 ln(x + h)− ln(x) h con x constante Respuesta: a) 3 b) 12 c) 1 d) 1 x 1
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