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Ayudanta 6 - Pato Peralta

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Ayudant́ıa 6 MAT1610 - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com
1. Halle todos los valores del parámetro a para los cuales la función
f(x) =
{
a2x si x ≤ 2
x2 − 3x+ 2− 2a · |a| si x > 2
Sea derivable en todo su dominio.
Respuesta: a = −1
2. Determine A,B ∈ R de modo que f(x) sea derivable en x = 0
f(x) =
{
ex5 +
√
π
17 x
2 + 6 si x < 0
A cos(x) sin(πx) +B(x+ 1) si x ≥ 0
Respuesta: B = 6, A = −6
π
3. Calcule la derivada de las siguientes funciones
a)f(x) =
(
x cos(x)
x3 + 4
)1/5
b)f(x) = ln(ex
2
· 3
√
x2 + x)
c)f(x) = sin(sec(tan(x2 + 7 cos(x))4))
d)f(x) = 2x
2+cos(x)
Respuesta:
a) 1
5
· x cos(x)
x3+4
· (cos(x)−x sin(x))(x
3+4)−3x3 cos(x)
(x3+4)2
,
b) 2x + 1
3
· 2x+1
x2+x
c) cos(sec(tan(x2 + 7 cos(x))4) · tan(tan(x2 + 7 cos(x))4) · sec(tan(x2 + 7cos(x))4) · 4(x2 + 7 cos(x))3 · (2x− 7 sin(x))
d) 2x
2+cos(x)(2x− sin(x)) ln(2)
4. Calcule la n-ésima derivada de la función y =
4
4x2 − 1
Respuesta: f (n)(x) = (−1)n · 2n! · (2x− 1)−n−1 · 2n + (−1)n+1 · 2n!(2x + 1)−n−1 · 2n
5. Sea f : R→ R una función definida por
f(x) =
{
2− 2x− x3 si x > 0
x2 + 3x + 2 si x ≤ 0
Demuestre que la ecuación tiene solo una ráız en el intervalo ]−1, 1]
6. Sea f ∈ R una función par e infinitamente derivable. Demuestre que f (2n−1)(0) = 0, ∀n ∈ N
7. Determine si f(x) = sin(x [x]) es derivable en x = 0
Respuesta: No lo es.
8. Si la función g(x) = xf(x) es derivable en x0 6= 0, con g′(x0) = l y f(x) es cont́ınua en x0, demuestre que f tiene derivada en x0
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