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Ayudant́ıa 6 MAT1610 - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com 1. Halle todos los valores del parámetro a para los cuales la función f(x) = { a2x si x ≤ 2 x2 − 3x+ 2− 2a · |a| si x > 2 Sea derivable en todo su dominio. Respuesta: a = −1 2. Determine A,B ∈ R de modo que f(x) sea derivable en x = 0 f(x) = { ex5 + √ π 17 x 2 + 6 si x < 0 A cos(x) sin(πx) +B(x+ 1) si x ≥ 0 Respuesta: B = 6, A = −6 π 3. Calcule la derivada de las siguientes funciones a)f(x) = ( x cos(x) x3 + 4 )1/5 b)f(x) = ln(ex 2 · 3 √ x2 + x) c)f(x) = sin(sec(tan(x2 + 7 cos(x))4)) d)f(x) = 2x 2+cos(x) Respuesta: a) 1 5 · x cos(x) x3+4 · (cos(x)−x sin(x))(x 3+4)−3x3 cos(x) (x3+4)2 , b) 2x + 1 3 · 2x+1 x2+x c) cos(sec(tan(x2 + 7 cos(x))4) · tan(tan(x2 + 7 cos(x))4) · sec(tan(x2 + 7cos(x))4) · 4(x2 + 7 cos(x))3 · (2x− 7 sin(x)) d) 2x 2+cos(x)(2x− sin(x)) ln(2) 4. Calcule la n-ésima derivada de la función y = 4 4x2 − 1 Respuesta: f (n)(x) = (−1)n · 2n! · (2x− 1)−n−1 · 2n + (−1)n+1 · 2n!(2x + 1)−n−1 · 2n 5. Sea f : R→ R una función definida por f(x) = { 2− 2x− x3 si x > 0 x2 + 3x + 2 si x ≤ 0 Demuestre que la ecuación tiene solo una ráız en el intervalo ]−1, 1] 6. Sea f ∈ R una función par e infinitamente derivable. Demuestre que f (2n−1)(0) = 0, ∀n ∈ N 7. Determine si f(x) = sin(x [x]) es derivable en x = 0 Respuesta: No lo es. 8. Si la función g(x) = xf(x) es derivable en x0 6= 0, con g′(x0) = l y f(x) es cont́ınua en x0, demuestre que f tiene derivada en x0 1
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