Ayudanta extra i2 - Pato Peralta

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
MAT 1610-7 Cálculo I
? Ayudant́ıa Extra I2 ?
Patricio Peralta Fierro
pato.peralta@gmail.com
Problema 1. Calcule los siguientes ĺımites usando la regla de L’Hôpital
a)
ĺım
x→0
sen(x)x
b)
ĺım
x→2
(x
2
) 1
x−2
c)
ĺım
h→0
(
1
f(a + h)− f(a)
− 1
hf ′(a)
)
d)
ĺım
x→0
ex − 1− x− x2/2
sin(x)− x cos(x)
Respuesta: a) 1 b)
√
e c) −f
′′(a)
2f ′(a)2
d) 1/2
Problema 2. Analizar el comportamiento de la función
f(x) =
x2
x2 + 1
Problema 3. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, coronado por un domo
semiesférico. Si el domo semiesférico cuesta el doble por metro cuadrado que las paredes ciĺındricas, ¿cuáles
son las dimensiones más económicas para un volumen dado?.
Respuesta: r = 12
3
√
3V
π h =
3
√
3V
π
Problema 4. Sean f y g continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Suponga que f(a) = g(a) y que f ′(x) < g′(x)
para a < x < b. Demuestre que f(b) < g(b).
Hint: Aplique el teorema del valor medio a la función h = f − g.
Problema 5. Use lo probado en el ejercicio anterior para demostrar que:
√
1 + x < 1 +
1
2
x
Problema 6. Demuestre que x2 = x sin (x) + cos (x) tiene exactamente dos ráıces reales.
1