Ayudanta 8 - Pato Peralta

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∇ Ayudant́ıa 8 MAT1610 ∇ - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com
1. Sea f(x) una función tal que f ′′(x) ≥ 0. Demuestre que
f
(
x1 + x2
2
)
≤ f(x1) + f(x2)
2
2. Un movil sigue la trayectoria dada por la recta de ecuación 3x− 2y + 12 = 0, con rapidez 80km/h. Una cámara de televisión,
ubicada en el origen, observa de forma fija y cont́ınua al movil. Determinar la velocidad angular de la cámara.
Respuesta: 3840
13x2+72x+144
3. El perfil de un cerro tiene la forma de la curva y = −x2 + 7x − 10, con 2 ≤ x ≤ 5. Un pato escapa -sin poder volar- cerro
arriba, de un cazador -o alumno- que se encuentra en el punto (0, 0), apuntando de forma fija hacia el pato. ¿A partir de
qué punto el pato se encuentra a salvo?
Respuesta: (
√
10, 7
√
10− 20)
4. Sea f(x) = 3
√
(x− 1)2 · (x + 1)2
a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento ∀x ∈ R
b) Encuentre el valor mı́nimo y máximo de f(x), con x ∈ [ 0, 2]
Respuestas:
a) f(x) decreciente en x < 1 y 1/2 ≤ x ≤ 1, creciente en −1 ≤ x ≤ 1/2 y x > 1.
b) Máximo en x = 2 y mı́nimo en x = 1
5. Trace un gráfico aproximado de f(x) = (3− x)
√
x
6. Considere la función
f(x) =
ex
(x− 1)2
a) Determine todos sus puntos cŕıticos
b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento
c) Determine sus intervalos de convexidad y concavidad, mirando la función desde abajo
d) Determine sus máximos y mı́nimos locales
e) Determine sus aśıntotas
f) Grafique la función
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