Ayudanta 3 - Vernica Puga

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Ayudant́ıa 3
Ĺımites, continuidad y TVI
Verónica Puga
Teorema: Si f es continua en [a, b] y f tiene distinto signo en a y en b, entonces f tiene una ráız en
(a, b).
Corolario (Teorema del valor intermedio): Si f es continua en [a, b] y f(a) 6= f(b), entonces ∀y0
entre f(a) y f(b), existe x0 ∈ (a, b) tal que f(x0) = y0.
Problema 1. Calcula:
a) lim
x→0
4x−2x
5x−3x
b) lim
x→0
(1−cosx)3
tan2 x
cot(x
4
2 )
Problema 2. Desarrolla:
a) Es cierto que si f y g son dos funciones que no son continuas en x = c, entonces f + g no
es continua en x = c?
b) El concepto de ĺımites también es útil para analizar el comportamiento de las funciones,
tanto en sus puntos de indefinición como en grandes valores del dominio. Estudia dichos
elementos en la siguiente función:
f(x) =
x3+x2−2x
x2+2x−8
Problema 3. Demuestra que si para todo x e y reales, se cumple que:
|f(x)− f(y)| < |x− y|
entonces f es función continua en todo R.
Problema 4.
a) Si f es continua en [a, b] tal que a ≤ f(a) y f(b) ≤ b, entonces existe c ∈ [a, b] tal que
f(c) = c.
b) El polinomio p(x) = x3 + 3x2 − 1 tiene tres ráıces reales.
c) f(x) = 3x− 2 + cos(π2x) tiene al menos una ráız real.
d) Existe x ∈ R que satisface x = cos(x).
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