Ayudanta 4 - Vernica Puga

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Ayudant́ıa 4
Derivadas y razón de cambio
Verónica Puga
Problema 1. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) f(x) = x2ex
b) f(x) = e
x
x2
c) f(x) = 1
1+x2
. Encuentra la recta tangente en el punto (−1, 1/2).
Problema 2. Determina si:
f(x) =

|x| sin(x)
x si x 6= 0
0 si x = 0
es derivable en x0 = 0.
Problema 3. Demuestra por definición los siguientes ĺımites:
a) lim
x→1
2x+3
x+1 = 5/2
b) lim
x→∞
√
1+x2−sin(x)
x = 1
Problema 4. Calcula los siguientes ĺımites si es que existen:
a) lim
x→7
2−
√
x−3
x2−49
b) lim
x→0
cos(x)−cos(2x)
1−cos(x)
c) lim
x→0
sin(x[x])
x
d) lim
x→0+
2(sin(π/x))
√
x
Problema 5. Sea f : [0, 1] → R continua y tal que f(0) = f(1). Demuestra que existe x ∈ [0, 1] tal
que f(x) = f(x + 1/2).
Problema 6. Un punto en el plano se mueve sobre la curva y = 1/x de modo que su abcisa x
aumenta a razón de 2cm/s. Calcular la velocidad a la que vaŕıa su ordenada y cuando pasa por
el punto (1,1).
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